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20. 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，AE=2BE，$S_{△ ABC}=36$，求正方形CDEF的面积.
答案
20. 16.
解析
【分析】
首先由正方形CDEF的性质可得DE//BC，进而可判定△ADE与△ABC相似；结合AE=2BE可得到两个三角形的相似比为2:3。接下来设正方形的边长为a，利用相似三角形对应边成比例的性质，将△ABC的两条直角边AC、BC用含a的式子表示，最后结合△ABC的面积为36列方程，求解得到a²的值即为正方形的面积。
【解析】
设正方形CDEF的边长为$ a $。
∵ 四边形CDEF是正方形，$ ∠ C=90° $，
∴ $ DE// BC $，$ DE=DC=a $，$ ∠ ADE=∠ C=90° $，
又
∵ $ ∠ A=∠ A $，
∴ $ △ ADE ∽ △ ACB $（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ $ AE=2BE $，
∴ $ \frac{AE}{AB}=\frac{AE}{AE+BE}=\frac{2}{3} $，即两三角形的相似比为$ \frac{2}{3} $。
由相似三角形对应边成比例可得：
$ \frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3} $。
先处理$ \frac{AD}{AC}=\frac{2}{3} $：
∵ $ AD=AC-DC=AC-a $，
∴ $ \frac{AC-a}{AC}=\frac{2}{3} $，解得$ AC=3a $。
再处理$ \frac{DE}{BC}=\frac{2}{3} $：
∵ $ DE=a $，
∴ $ \frac{a}{BC}=\frac{2}{3} $，解得$ BC=\frac{3}{2}a $。
已知$ S_{△ ABC}=36 $，由直角三角形面积公式：
$ \frac{1}{2} · AC · BC =36 $，
将$ AC=3a $，$ BC=\frac{3}{2}a $代入得：
$ \frac{1}{2} × 3a × \frac{3}{2}a =36 $，
化简得$ \frac{9}{4}a^2=36 $，
解得$ a^2=16 $，即正方形CDEF的面积为16。
【答案】
16
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过正方形边平行的性质构造相似三角形，利用相似比建立边长关系，再结合面积条件求解，解题时要注意对应边的比例关系不要混淆，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
首先由正方形CDEF的性质可得DE//BC，进而可判定△ADE与△ABC相似；结合AE=2BE可得到两个三角形的相似比为2:3。接下来设正方形的边长为a，利用相似三角形对应边成比例的性质，将△ABC的两条直角边AC、BC用含a的式子表示，最后结合△ABC的面积为36列方程，求解得到a²的值即为正方形的面积。
【解析】
设正方形CDEF的边长为$ a $。
∵ 四边形CDEF是正方形，$ ∠ C=90° $，
∴ $ DE// BC $，$ DE=DC=a $，$ ∠ ADE=∠ C=90° $，
又
∵ $ ∠ A=∠ A $，
∴ $ △ ADE ∽ △ ACB $（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ $ AE=2BE $，
∴ $ \frac{AE}{AB}=\frac{AE}{AE+BE}=\frac{2}{3} $，即两三角形的相似比为$ \frac{2}{3} $。
由相似三角形对应边成比例可得：
$ \frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3} $。
先处理$ \frac{AD}{AC}=\frac{2}{3} $：
∵ $ AD=AC-DC=AC-a $，
∴ $ \frac{AC-a}{AC}=\frac{2}{3} $，解得$ AC=3a $。
再处理$ \frac{DE}{BC}=\frac{2}{3} $：
∵ $ DE=a $，
∴ $ \frac{a}{BC}=\frac{2}{3} $，解得$ BC=\frac{3}{2}a $。
已知$ S_{△ ABC}=36 $，由直角三角形面积公式：
$ \frac{1}{2} · AC · BC =36 $，
将$ AC=3a $，$ BC=\frac{3}{2}a $代入得：
$ \frac{1}{2} × 3a × \frac{3}{2}a =36 $，
化简得$ \frac{9}{4}a^2=36 $，
解得$ a^2=16 $，即正方形CDEF的面积为16。
【答案】
16
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过正方形边平行的性质构造相似三角形，利用相似比建立边长关系，再结合面积条件求解，解题时要注意对应边的比例关系不要混淆，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
21. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$∠ B=70°$，D、E分别是边AB、AC上的点，$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，E为边AC的中点，$∠ ADE=50°$。求$\frac{AB}{AC}$的值。
答案
21. $\frac{\sqrt{10}}{4}$. 提示：易证$△ AED∽△ ABC$，得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$. 由$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，E为边AC的中点，得$\frac{AB}{AC}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{4}{5}AB}$，即$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{5}{8}$，故$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{4}$.
解析
【分析】
首先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠C的度数，对比已知的∠ADE的度数，结合公共角∠A可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，将已知的AD与AB的关系、E是AC中点的条件代入比例式，通过变形计算即可求出$\frac{AB}{AC}$的比值。
【解析】
1. 计算∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-60°-70°=50°$。
2. 证明三角形相似：
已知$∠ ADE=50°$，因此$∠ ADE=∠ C$，
又$∠ A$是△AED和△ABC的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ AED ∽ △ ABC$。
3. 列比例式并代入条件：
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$。
已知$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，即$AD=\frac{4}{5}AB$；E为AC中点，即$AE=\frac{1}{2}AC$，代入上式得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{4}{5}AB}$。
4. 变形计算比值：
交叉相乘整理得$\frac{4}{5}AB^2=\frac{1}{2}AC^2$，即$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{5}{8}$，
由于线段长度为正数，因此$\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{5}{8}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{4}$
【知识点】
三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，比例运算
【点评】
本题是三角形相似的典型应用题，解题突破口是通过角度计算找到相等的角，证明三角形相似，再结合给出的线段关系代入比例式求解，需要熟练掌握相似三角形的相关性质和比例运算技巧。
【难度系数】
0.6
首先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠C的度数，对比已知的∠ADE的度数，结合公共角∠A可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，将已知的AD与AB的关系、E是AC中点的条件代入比例式，通过变形计算即可求出$\frac{AB}{AC}$的比值。
【解析】
1. 计算∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-60°-70°=50°$。
2. 证明三角形相似：
已知$∠ ADE=50°$，因此$∠ ADE=∠ C$，
又$∠ A$是△AED和△ABC的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ AED ∽ △ ABC$。
3. 列比例式并代入条件：
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$。
已知$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，即$AD=\frac{4}{5}AB$；E为AC中点，即$AE=\frac{1}{2}AC$，代入上式得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{4}{5}AB}$。
4. 变形计算比值：
交叉相乘整理得$\frac{4}{5}AB^2=\frac{1}{2}AC^2$，即$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{5}{8}$，
由于线段长度为正数，因此$\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{5}{8}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{4}$
【知识点】
三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，比例运算
【点评】
本题是三角形相似的典型应用题，解题突破口是通过角度计算找到相等的角，证明三角形相似，再结合给出的线段关系代入比例式求解，需要熟练掌握相似三角形的相关性质和比例运算技巧。
【难度系数】
0.6
22. 如图，已知：在$△ ABC$中，D、E分别是边AC、AB上的点，EC和BD相交于点O，$∠ ABD=∠ ACE$，连接DE.
（1）求证：$AD · AC=AB · AE$.
（2）如果$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，求$\frac{AE}{AC}$的值.
（1）求证：$AD · AC=AB · AE$.
（2）如果$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，求$\frac{AE}{AC}$的值.
答案
22. （1）略.
（2）提示：由$△ ABD∽△ ACE$，得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$. 又由$∠A=∠A$，得$△ AED∽△ ACB$. 因为$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$.
（2）提示：由$△ ABD∽△ ACE$，得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$. 又由$∠A=∠A$，得$△ AED∽△ ACB$. 因为$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
（1）要证明$AD · AC=AB · AE$，可先将乘积式转化为比例式$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，只需证明包含这四条边的$△ ABD$与$△ ACE$相似即可。已知两个三角形有公共角$∠ A$，且题目给出$∠ ABD=∠ ACE$，满足两角分别相等的相似判定条件，得到相似后推导出比例式，再转化为乘积式即可得证。
（2）由（1）中$△ ABD∽△ ACE$可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，结合公共角$∠ A$，可根据两边成比例且夹角相等证明$△ AED∽△ ACB$，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知的$\frac{DE}{BC}$的值即可求出$\frac{AE}{AC}$。
【解析】
（1）证明：在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ABD=∠ACE \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴$△ ABD ∽ △ ACE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
交叉相乘得：$AD · AC=AB · AE$，得证。
（2）解：由（1）知$△ ABD ∽ △ ACE$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
在$△ AED$和$△ ACB$中：
$\begin{cases}\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB} \\∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
∴$△ AED ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∵$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，第一问将待证乘积式转化为比例式，结合已知角相等的条件即可快速找到证明相似的思路；第二问承接第一问的相似结论，再次判定三角形相似即可求解，解题时要注意前后问的逻辑关联，灵活运用相似的判定和性质。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$AD · AC=AB · AE$，可先将乘积式转化为比例式$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，只需证明包含这四条边的$△ ABD$与$△ ACE$相似即可。已知两个三角形有公共角$∠ A$，且题目给出$∠ ABD=∠ ACE$，满足两角分别相等的相似判定条件，得到相似后推导出比例式，再转化为乘积式即可得证。
（2）由（1）中$△ ABD∽△ ACE$可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，结合公共角$∠ A$，可根据两边成比例且夹角相等证明$△ AED∽△ ACB$，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知的$\frac{DE}{BC}$的值即可求出$\frac{AE}{AC}$。
【解析】
（1）证明：在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ABD=∠ACE \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴$△ ABD ∽ △ ACE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
交叉相乘得：$AD · AC=AB · AE$，得证。
（2）解：由（1）知$△ ABD ∽ △ ACE$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
在$△ AED$和$△ ACB$中：
$\begin{cases}\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB} \\∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
∴$△ AED ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∵$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，第一问将待证乘积式转化为比例式，结合已知角相等的条件即可快速找到证明相似的思路；第二问承接第一问的相似结论，再次判定三角形相似即可求解，解题时要注意前后问的逻辑关联，灵活运用相似的判定和性质。
【难度系数】
0.7
