17. 如图，已知直线$l_1 // l_2 // l_3$，等腰直角三角形$ABC$的三个顶点$A$、$B$、$C$分别在$l_1$、$l_2$、$l_3$上，$∠ ACB=90°$，$AC$与$l_2$交于点$D$。如果$l_1$与$l_2$的距离为1，$l_2$与$l_3$的距离为3，那么$\frac{AB}{BD}$的值为。

17. $\frac{4\sqrt{2}}{5}$. 提示：如图，过点A作$AE⊥l_3$，垂足为E，交$l_2$与点G，过点B作$BF⊥l_3$，垂足为F.
由$l_1// l_2// l_3$，$l_1$与$l_2$的距离为1，$l_2$与$l_3$的距离为3，得$AG=1$，$BF=3$，$AE=4$.
可证$△ ACE≌△ CBF$，则$CE=BF=3$，$CF=AE=4$，故$BG=EF=CF+CE=7$.
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$AB=\sqrt{BG^2+AG^2}=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt{2}$.
由$l_2// l_3$，得$\frac{DG}{CE}=\frac{AG}{AE}=\frac{1}{4}$，则$DG=\frac{1}{4}CE=\frac{3}{4}$，$BD=BG-DG=7-\frac{3}{4}=\frac{25}{4}$，故$\frac{AB}{BD}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{25}{4}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$.

【分析】
要求$\frac{AB}{BD}$的值，首先可通过作辅助线将平行线间的距离转化为可利用的垂线段长度：过点A作$l_3$的垂线、过点B作$l_3$的垂线，结合等腰直角三角形的特征证明$△ ACE$与$△ CBF$全等，得到相关线段长度后即可求出AB的长；再利用平行线分线段成比例的性质求出DG的长度，进而得到BD的长，最终计算两者的比值即可。
【解析】
解：过点A作$AE⊥l_3$，垂足为E，AE交$l_2$于点G；过点B作$BF⊥l_3$，垂足为F。
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，$l_1$与$l_2$的距离为1，$l_2$与$l_3$的距离为3，
∴ $AG=1$，$BF=3$，$AE=1+3=4$。
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ BCF = 90°$，
又
∵ $Rt△ ACE$中，$∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ CAE = ∠ BCF$。
在$△ ACE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}∠ AEC = ∠ CFB = 90° \\∠ CAE = ∠ BCF \\AC = BC\end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ CBF$（AAS），
∴ $CE=BF=3$，$CF=AE=4$，
∴ $BG=EF=CE+CF=3+4=7$。
在$Rt△ ABG$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BG^2 + AG^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = 5\sqrt{2}$。
∵ $l_2 // l_3$，
∴ $\frac{DG}{CE} = \frac{AG}{AE} = \frac{1}{4}$，
∴ $DG = \frac{1}{4} × 3 = \frac{3}{4}$，
∴ $BD = BG - DG = 7 - \frac{3}{4} = \frac{25}{4}$，
∴ $\frac{AB}{BD} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{25}{4}} = \frac{4\sqrt{2}}{5}$。
【答案】
$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是合理构造辅助线，将平行线间的距离转化为可计算的垂线段，结合全等三角形、平行线分线段成比例、勾股定理的知识逐步求解，能较好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6

18 如图，已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=4$。D是边AC上一点，将$△ BCD$沿着BD折叠，点C落在点E处，连接AE。如果$AE// BD$，DE与边AB交于点F，那么$\frac{AF}{BF}$的值为。

18. $\frac{18}{25}$. 提示：如图，连接CE，交BD于点H，则$BC=BE=4$，$CD=DE$，$∠BDC=∠BDE$. 由$AE// BD$，得$∠BDC=∠EAD$，$∠BDE=∠AED$. 所以，$AD=DE=CD=\frac{1}{2}AC=3$.
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=5$. 由等腰三角形三线合一，得$DH⊥CE$，故$AE⊥CE$. 由$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC · CD=\frac{1}{2}BD · CH$，得$CH=\frac{BC · CD}{BD}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$，$CE=2CH=\frac{24}{5}$，则$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\frac{18}{5}$.
由$AE// BD$，得$△ AFE∽△ BFD$，则$\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BD}=\frac{\frac{18}{5}}{5}=\frac{18}{25}$.

【分析】
解题时首先结合折叠的性质，得到对应边、对应角相等，且对称轴BD垂直平分对应点连线CE；再根据AE//BD的平行线性质，推导角相等得到AD=DE=CD，确定CD长度后用勾股定理计算BD的长度；接着利用三角形面积法求出CE的高CH，得到CE全长，结合BD⊥CE推出AE⊥CE，用勾股定理计算AE的长度；最后由AE//BD判定△AFE和△BFD相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{AF}{BF}$的比值。
【解析】
1. 连接CE，交BD于点H。由折叠的性质可得：$BC=BE=4$，$CD=DE$，$∠BDC=∠BDE$，且BD垂直平分CE，即$BD⊥CE$，$CH=HE$。
2. 因为$AE// BD$，根据平行线内错角相等，得$∠BDC=∠EAD$，$∠BDE=∠AED$，因此$∠EAD=∠AED$，可得$AD=DE$，结合$CD=DE$得$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
3. 在$Rt△BCD$中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
4. 利用$△BCD$的面积两种计算方式：$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BC· CD=\frac{1}{2}BD· CH$，代入数值解得：$CH=\frac{BC· CD}{BD}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$，因此$CE=2CH=\frac{24}{5}$。
5. 因为$BD⊥CE$，$AE// BD$，所以$AE⊥CE$，在$Rt△ACE$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$。
6. 因为$AE// BD$，所以$△AFE∽△BFD$，根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BD}=\frac{\frac{18}{5}}{5}=\frac{18}{25}$。
【答案】
$\frac{18}{25}$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，将折叠变换、平行线性质、勾股定理、相似三角形等知识点结合考查，解题的突破口是利用折叠和平行线的性质推导线段等量关系，再结合面积法和相似性质求解线段比值，需要具备一定的逻辑推理和知识点综合运用能力。
【难度系数】
0.6

三、解答题
19. 已知$x:y=3:5$，$3y=2z$，求$\frac{x+y+z}{2x - y + z}$的值。

19. $\frac{31}{17}$.

【分析】
本题给出x与y的比例关系、y与z的等量关系，要求分式的值，解题核心是将三个未知数用同一个参数表示，消去参数后即可求出分式的定值。首先根据x:y=3:5设参数表示x和y，再通过3y=2z用该参数表示z，最后将x、y、z代入分式化简，参数会自动约去，得到最终结果。
【解析】
解：
∵$x:y=3:5$，
∴可设$x=3k$，$y=5k$（$k≠0$），
又
∵$3y=2z$，
∴$z=\frac{3y}{2}$，把$y=5k$代入得：
$z=\frac{3×5k}{2}=\frac{15k}{2}$，
将$x=3k$，$y=5k$，$z=\frac{15k}{2}$代入$\frac{x+y+z}{2x - y + z}$得：
分子：$x+y+z=3k + 5k + \frac{15k}{2}=\frac{31k}{2}$，
分母：$2x - y + z=2×3k -5k +\frac{15k}{2}=\frac{17k}{2}$，
∴原式$=\frac{\frac{31k}{2}}{\frac{17k}{2}}=\frac{31}{17}$。
【答案】
$\frac{31}{17}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值，参数法解题
【点评】
本题属于比例与分式结合的基础计算题，解题关键是根据已知的比例关系引入参数，将三个未知量统一用同一参数表示，代入分式后参数可直接消去得到结果，计算过程中注意参数不能为0即可。
【难度系数】
0.7