登录
12. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABD=∠C，如果AD=3，BD=4，那么BC=
$\frac{16}{3}$
。答案
12. $\frac{16}{3}$.
解析
【分析】
首先根据AD平行于BC的条件，利用平行线的性质可得一组内错角相等，结合题目给出的∠ABD=∠C，可通过两角对应相等判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可计算出BC的长度。
【解析】
解：$\because AD// BC$
$\therefore ∠ ADB=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ ABD=∠ C$（已知）
$\therefore △ ABD ∽ △ DCB$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{BC}$
将$AD=3$，$BD=4$代入上式：
$\frac{3}{4}=\frac{4}{BC}$
交叉相乘得$3BC=16$，解得$BC=\frac{16}{3}$。
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是结合平行线性质找到相等的角证明三角形相似，再通过比例式求解未知边，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
首先根据AD平行于BC的条件，利用平行线的性质可得一组内错角相等，结合题目给出的∠ABD=∠C，可通过两角对应相等判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可计算出BC的长度。
【解析】
解：$\because AD// BC$
$\therefore ∠ ADB=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ ABD=∠ C$（已知）
$\therefore △ ABD ∽ △ DCB$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{BC}$
将$AD=3$，$BD=4$代入上式：
$\frac{3}{4}=\frac{4}{BC}$
交叉相乘得$3BC=16$，解得$BC=\frac{16}{3}$。
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是结合平行线性质找到相等的角证明三角形相似，再通过比例式求解未知边，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 如图，四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$关于原点位似，点D、$D'$的坐标分别为$(5,2)$、$(2,\dfrac{4}{5})$。如果AD的长为$\sqrt{3}$，那么$A_1D_1$的长为________。
答案
13. $\frac{2\sqrt{3}}{5}$.
解析
【分析】
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先回忆平面直角坐标系中关于原点位似的图形的性质：关于原点位似的两个图形，对应点的横、纵坐标的比值都等于位似比；其次位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比。我们可以先通过已知的对应点D、D'的坐标求出位似比，再结合AD的长度，利用对应边的比等于位似比计算对应边的长度即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$关于原点位似，点D、$D'$的坐标分别为$(5,2)$、$(2,\dfrac{4}{5})$，
∴ 四边形$A'B'C'D'$与四边形ABCD的位似比$k=\dfrac{2}{5}$（验证：纵坐标比$\dfrac{\dfrac{4}{5}}{2}=\dfrac{2}{5}$，比值一致）。
∵ 位似图形对应边的比等于位似比，
∴ $\dfrac{A'D'}{AD}=k=\dfrac{2}{5}$，
又
∵ $AD=\sqrt{3}$，
∴ $A'D'=\sqrt{3}×\dfrac{2}{5}=\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题属于位似的基础题型，解题的关键是熟练掌握关于原点位似的图形的坐标特征，明确位似比和对应边长度的关系，计算过程难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先回忆平面直角坐标系中关于原点位似的图形的性质：关于原点位似的两个图形，对应点的横、纵坐标的比值都等于位似比；其次位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比。我们可以先通过已知的对应点D、D'的坐标求出位似比，再结合AD的长度，利用对应边的比等于位似比计算对应边的长度即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$关于原点位似，点D、$D'$的坐标分别为$(5,2)$、$(2,\dfrac{4}{5})$，
∴ 四边形$A'B'C'D'$与四边形ABCD的位似比$k=\dfrac{2}{5}$（验证：纵坐标比$\dfrac{\dfrac{4}{5}}{2}=\dfrac{2}{5}$，比值一致）。
∵ 位似图形对应边的比等于位似比，
∴ $\dfrac{A'D'}{AD}=k=\dfrac{2}{5}$，
又
∵ $AD=\sqrt{3}$，
∴ $A'D'=\sqrt{3}×\dfrac{2}{5}=\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题属于位似的基础题型，解题的关键是熟练掌握关于原点位似的图形的坐标特征，明确位似比和对应边长度的关系，计算过程难度较低。
【难度系数】
0.8
14. 已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，∠ABD=2∠CAD。如果∠ABC=102°，那么∠ACD=
68
°。答案
14. 68.
解析
【分析】
解题时先从已知的线段比例关系入手，结合对顶角相等证明三角形相似，得到角相等的关系；再结合已知的二倍角条件，对∠ABC进行拆分求解，得到∠ABD的度数；最后通过角的等量关系判定四点共圆，利用圆周角定理即可求出∠ACD的度数。
【解析】
1. 证明△AOD∽△BOC：
已知$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，且∠AOD和∠BOC是对顶角，故∠AOD=∠BOC。根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△AOD∽△BOC。
2. 推导角的等量关系：
由相似三角形对应角相等，得∠OAD=∠OBC，即∠CAD=∠CBD。
3. 求解∠CBD和∠ABD的度数：
已知∠ABD=2∠CAD，代入∠CAD=∠CBD得∠ABD=2∠CBD。
又∠ABC=∠ABD+∠CBD=102°，代入得$2∠CBD + ∠CBD = 102°$，即$3∠CBD=102°$，解得∠CBD=34°，因此∠ABD=$2×34°=68°$。
4. 判定四点共圆求∠ACD：
由∠CAD=∠CBD，可知两点C、D在线段AB同侧，且对线段AB的张角相等，因此A、B、C、D四点共圆。
根据同弧所对的圆周角相等，弧AD所对的圆周角∠ACD和∠ABD相等，故∠ACD=∠ABD=68°。
【答案】
68
【知识点】
相似三角形的判定与性质；四点共圆的判定；圆周角定理
【点评】
本题综合性较强，解题的突破口是通过相似三角形得到角的等量关系，再结合角度的和差关系和共圆的性质即可快速求解，需要学生熟练掌握几何基本定理并能灵活应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的线段比例关系入手，结合对顶角相等证明三角形相似，得到角相等的关系；再结合已知的二倍角条件，对∠ABC进行拆分求解，得到∠ABD的度数；最后通过角的等量关系判定四点共圆，利用圆周角定理即可求出∠ACD的度数。
【解析】
1. 证明△AOD∽△BOC：
已知$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，且∠AOD和∠BOC是对顶角，故∠AOD=∠BOC。根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△AOD∽△BOC。
2. 推导角的等量关系：
由相似三角形对应角相等，得∠OAD=∠OBC，即∠CAD=∠CBD。
3. 求解∠CBD和∠ABD的度数：
已知∠ABD=2∠CAD，代入∠CAD=∠CBD得∠ABD=2∠CBD。
又∠ABC=∠ABD+∠CBD=102°，代入得$2∠CBD + ∠CBD = 102°$，即$3∠CBD=102°$，解得∠CBD=34°，因此∠ABD=$2×34°=68°$。
4. 判定四点共圆求∠ACD：
由∠CAD=∠CBD，可知两点C、D在线段AB同侧，且对线段AB的张角相等，因此A、B、C、D四点共圆。
根据同弧所对的圆周角相等，弧AD所对的圆周角∠ACD和∠ABD相等，故∠ACD=∠ABD=68°。
【答案】
68
【知识点】
相似三角形的判定与性质；四点共圆的判定；圆周角定理
【点评】
本题综合性较强，解题的突破口是通过相似三角形得到角的等量关系，再结合角度的和差关系和共圆的性质即可快速求解，需要学生熟练掌握几何基本定理并能灵活应用。
【难度系数】
0.6
15. 如图，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，D、E是线段AC、AB与小正方形边的交点，那么DE的长为
$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
。答案
15. $\frac{2\sqrt{5}}{3}$.
解析
【分析】
要计算DE的长度，我们可以先观察图形特征，发现DE与BC平行，可借助相似三角形的性质求解：首先用勾股定理计算BC的长度，再求出△ADE与△ACB的相似比，即可得到DE的长度；也可以通过建立平面直角坐标系，求出D、E两点的坐标，利用两点间距离公式计算。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算BC的长度：由网格可得，B、C两点的横向距离为4，纵向距离为2，根据勾股定理，$BC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 判定相似：观察网格可得DE//BC，因此∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，可证△ADE∽△ACB。
3. 求相似比：结合网格特征，可得AD与AC的长度比为$1:3$，即两个三角形的相似比为$\frac{1}{3}$。
4. 计算DE：根据相似三角形对应边成比例，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，代入$BC=2\sqrt{5}$，得$DE=\frac{1}{3} × 2\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，网格图形计算
【点评】
本题是网格背景下的线段长度计算问题，解题的关键是观察到线段的平行关系，利用相似三角形简化计算，也可通过坐标法直接求解，考查学生的图形观察能力和基础几何计算能力。
【难度系数】
0.6
要计算DE的长度，我们可以先观察图形特征，发现DE与BC平行，可借助相似三角形的性质求解：首先用勾股定理计算BC的长度，再求出△ADE与△ACB的相似比，即可得到DE的长度；也可以通过建立平面直角坐标系，求出D、E两点的坐标，利用两点间距离公式计算。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算BC的长度：由网格可得，B、C两点的横向距离为4，纵向距离为2，根据勾股定理，$BC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 判定相似：观察网格可得DE//BC，因此∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，可证△ADE∽△ACB。
3. 求相似比：结合网格特征，可得AD与AC的长度比为$1:3$，即两个三角形的相似比为$\frac{1}{3}$。
4. 计算DE：根据相似三角形对应边成比例，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，代入$BC=2\sqrt{5}$，得$DE=\frac{1}{3} × 2\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，网格图形计算
【点评】
本题是网格背景下的线段长度计算问题，解题的关键是观察到线段的平行关系，利用相似三角形简化计算，也可通过坐标法直接求解，考查学生的图形观察能力和基础几何计算能力。
【难度系数】
0.6
16. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，$EF // AD$，G为线段EF上的点，连接CG并延长，交DA的延长线于点H，连接DG. 如果四边形BCFE的面积为6，$\frac{AH}{AD}=\frac{1}{3}$，那么$△ CDG$的面积为
4
.答案
16. 4. 提示：记AE与HG的交点为M. 设$AH=a$，$AM=b$，$ME=c$，则$BC=3a$，$BE=3b-c$. 由 $3a(3b-c)=6$，得 $3ab-ac=2$. 又由 $CD=4b$，$FG=3a-\frac{ac}{b}$，得
$S_{△ CDG}=\frac{1}{2}CD · FG=\frac{1}{2} · 4b · (3a-\frac{ac}{b})=6ab-2ac=4$.
$S_{△ CDG}=\frac{1}{2}CD · FG=\frac{1}{2} · 4b · (3a-\frac{ac}{b})=6ab-2ac=4$.
解析
【分析】
本题是矩形背景下的面积计算问题，解题可按以下思路思考：首先由矩形对边平行的性质，可得多组平行线，进而得到相似三角形，对应边成比例；接下来我们可以通过设参数的方式表示各相关线段的长度，结合已知的线段比例$\frac{AH}{AD}=\frac{1}{3}$和四边形BCFE的面积条件，得到参数之间的数量关系；最后将参数关系代入△CDG的面积公式，消去参数即可求出面积。
【解析】
记AE与HG的交点为M。
1. 设参数表示线段长度：设$AH=a$，$AM=b$，$ME=c$。
由$\frac{AH}{AD}=\frac{1}{3}$得$AD=3a$，矩形中$BC=AD=3a$，$HD=AH+AD=4a$。
2. 利用相似三角形得到边的比例：
因为$AB// CD$，$∠ H$为公共角，$∠ HAM=∠ HDC=90°$，所以$△ HAM ∽ △ HDC$，相似比为$\frac{AH}{HD}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}$，因此$\frac{AM}{CD}=\frac{1}{4}$，即$CD=4AM=4b$。
又因为$EF// AD$，$AM// EG$，所以$△ HAM ∽ △ HEG$，可得$\frac{AH}{EG}=\frac{AM}{ME}$，即$\frac{a}{EG}=\frac{b}{c}$，解得$EG=\frac{ac}{b}$。
3. 结合四边形BCFE的面积建立参数关系：
四边形BCFE是矩形，面积为$BC· BE=6$，其中$BE=AB - AE=CD - (AM+ME)=4b-(b+c)=3b-c$，代入得：
$3a(3b-c)=6$，化简得$9ab-3ac=6$，即$3ab-ac=2$。
4. 计算$△ CDG$的面积：
$EF=BC=3a$，因此$FG=EF-EG=3a-\frac{ac}{b}$。
$△ CDG$以$CD$为底，$FG$为底边上的高（因为$EF⊥ CD$），所以：
$S_{△ CDG}=\frac{1}{2}· CD· FG=\frac{1}{2}×4b×(3a-\frac{ac}{b})=6ab-2ac=2(3ab-ac)$
将$3ab-ac=2$代入，得$S_{△ CDG}=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题通过设参数结合相似三角形的比例关系，将已知面积条件和待求面积关联起来，消参即可得到结果，解题的核心是合理设参数，准确找到相似三角形的对应边比例关系。
【难度系数】
0.4
本题是矩形背景下的面积计算问题，解题可按以下思路思考：首先由矩形对边平行的性质，可得多组平行线，进而得到相似三角形，对应边成比例；接下来我们可以通过设参数的方式表示各相关线段的长度，结合已知的线段比例$\frac{AH}{AD}=\frac{1}{3}$和四边形BCFE的面积条件，得到参数之间的数量关系；最后将参数关系代入△CDG的面积公式，消去参数即可求出面积。
【解析】
记AE与HG的交点为M。
1. 设参数表示线段长度：设$AH=a$，$AM=b$，$ME=c$。
由$\frac{AH}{AD}=\frac{1}{3}$得$AD=3a$，矩形中$BC=AD=3a$，$HD=AH+AD=4a$。
2. 利用相似三角形得到边的比例：
因为$AB// CD$，$∠ H$为公共角，$∠ HAM=∠ HDC=90°$，所以$△ HAM ∽ △ HDC$，相似比为$\frac{AH}{HD}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}$，因此$\frac{AM}{CD}=\frac{1}{4}$，即$CD=4AM=4b$。
又因为$EF// AD$，$AM// EG$，所以$△ HAM ∽ △ HEG$，可得$\frac{AH}{EG}=\frac{AM}{ME}$，即$\frac{a}{EG}=\frac{b}{c}$，解得$EG=\frac{ac}{b}$。
3. 结合四边形BCFE的面积建立参数关系：
四边形BCFE是矩形，面积为$BC· BE=6$，其中$BE=AB - AE=CD - (AM+ME)=4b-(b+c)=3b-c$，代入得：
$3a(3b-c)=6$，化简得$9ab-3ac=6$，即$3ab-ac=2$。
4. 计算$△ CDG$的面积：
$EF=BC=3a$，因此$FG=EF-EG=3a-\frac{ac}{b}$。
$△ CDG$以$CD$为底，$FG$为底边上的高（因为$EF⊥ CD$），所以：
$S_{△ CDG}=\frac{1}{2}· CD· FG=\frac{1}{2}×4b×(3a-\frac{ac}{b})=6ab-2ac=2(3ab-ac)$
将$3ab-ac=2$代入，得$S_{△ CDG}=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题通过设参数结合相似三角形的比例关系，将已知面积条件和待求面积关联起来，消参即可得到结果，解题的核心是合理设参数，准确找到相似三角形的对应边比例关系。
【难度系数】
0.4
