登录
二、填空题
7. 如果两个相似三角形的面积比为$\frac{16}{9}$，那么它们的周长比是
7. 如果两个相似三角形的面积比为$\frac{16}{9}$，那么它们的周长比是
$\frac{4}{3}$
.答案
7. $\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
解决这道题的核心是熟练运用相似三角形的性质。首先回忆相似三角形面积比和相似比的关系：相似三角形的面积比等于相似比的平方，我们可以根据已知的面积比反推出相似比；再回忆相似三角形周长比和相似比的关系：相似三角形的周长比等于相似比，就能直接得到周长比的结果，注意相似比是正数，开方时取正根即可。
【解析】
解：设两个相似三角形的相似比为$k$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$k^2=\frac{16}{9}$
由于相似比为正数，因此$k=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$
又因为相似三角形的周长比等于相似比，
所以这两个相似三角形的周长比为$\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
1. 相似三角形面积比与相似比的关系
2. 相似三角形周长比与相似比的关系
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题关键是牢记相似三角形的面积比、周长比与相似比的对应关系，计算时注意相似比取正值即可，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是熟练运用相似三角形的性质。首先回忆相似三角形面积比和相似比的关系：相似三角形的面积比等于相似比的平方，我们可以根据已知的面积比反推出相似比；再回忆相似三角形周长比和相似比的关系：相似三角形的周长比等于相似比，就能直接得到周长比的结果，注意相似比是正数，开方时取正根即可。
【解析】
解：设两个相似三角形的相似比为$k$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$k^2=\frac{16}{9}$
由于相似比为正数，因此$k=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$
又因为相似三角形的周长比等于相似比，
所以这两个相似三角形的周长比为$\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
1. 相似三角形面积比与相似比的关系
2. 相似三角形周长比与相似比的关系
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题关键是牢记相似三角形的面积比、周长比与相似比的对应关系，计算时注意相似比取正值即可，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
8. 已知线段AB的长为4 cm，如果P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，那么线段AP的长为
$2\sqrt{5}-2$
cm.答案
8. $2\sqrt{5}-2$.
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：线段AB长4cm，P是AB的黄金分割点且AP＞BP。首先回忆黄金分割的定义：若点分线段得到的较长线段与整条线段的比值等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。本题中AP是较长线段，因此只需用AB的长度乘以黄金比，即可求出AP的长度。
【解析】
解：
∵P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$，
∴较长线段AP与AB的比值为黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵$AB=4\mathrm{cm}$，
∴$AP=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$（cm）。
【答案】
$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是牢记黄金分割的比例关系，同时注意题干中$AP＞BP$的限定条件，确认AP为较长线段后再代入计算，避免混淆长短段的比例关系出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干关键信息：线段AB长4cm，P是AB的黄金分割点且AP＞BP。首先回忆黄金分割的定义：若点分线段得到的较长线段与整条线段的比值等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为线段的黄金分割点。本题中AP是较长线段，因此只需用AB的长度乘以黄金比，即可求出AP的长度。
【解析】
解：
∵P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$，
∴较长线段AP与AB的比值为黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵$AB=4\mathrm{cm}$，
∴$AP=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$（cm）。
【答案】
$2\sqrt{5}-2$
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是牢记黄金分割的比例关系，同时注意题干中$AP＞BP$的限定条件，确认AP为较长线段后再代入计算，避免混淆长短段的比例关系出错。
【难度系数】
0.8
9. 如图，已知直线 $ l_1 // l_2 // l_3 $，$ AB = 2 $，$ AC = 5 $，$ EF = 4 $，那么 $ DE $ 的长是
$\frac{8}{3}$
.答案
9. $\frac{8}{3}$.
解析
【分析】
首先观察题目已知条件，存在三条互相平行的直线，被两条不同的截线所截，符合平行线分线段成比例定理的适用条件。第一步先计算出线段BC的长度，第二步找准两条截线上的对应线段，根据平行线分线段成比例定理列出比例关系式，最后代入已知数值计算即可得到DE的长度。
【解析】
解：$\because l_1 // l_2 // l_3$
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
$\because AC=5,AB=2$
$\therefore BC=AC-AB=5-2=3$
将$AB=2,BC=3,EF=4$代入比例式：
$\frac{2}{3}=\frac{DE}{4}$
解得$DE=\frac{2×4}{3}=\frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是准确识别平行线截得的对应线段，避免因对应线段混淆列错比例式，整体计算量较小。
【难度系数】
0.8
首先观察题目已知条件，存在三条互相平行的直线，被两条不同的截线所截，符合平行线分线段成比例定理的适用条件。第一步先计算出线段BC的长度，第二步找准两条截线上的对应线段，根据平行线分线段成比例定理列出比例关系式，最后代入已知数值计算即可得到DE的长度。
【解析】
解：$\because l_1 // l_2 // l_3$
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
$\because AC=5,AB=2$
$\therefore BC=AC-AB=5-2=3$
将$AB=2,BC=3,EF=4$代入比例式：
$\frac{2}{3}=\frac{DE}{4}$
解得$DE=\frac{2×4}{3}=\frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是准确识别平行线截得的对应线段，避免因对应线段混淆列错比例式，整体计算量较小。
【难度系数】
0.8
10.《九章算术》中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”其大意是：一座正方形小城DEFG的示意图如图所示，北门H位于DG的中点处，南门K位于EF的中点处，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C处，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木（即点D在直线AB上），那么该正方形小城的边长为
250
步。答案
10. 250.
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：首先设正方形小城的边长为x步，结合题意找到相关线段的长度表达式；再根据正方形对边平行的性质，判定两个直角三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求解一元二次方程后取符合实际意义的正根，即可得到小城的边长。
【解析】
设正方形小城DEFG的边长为x步。
由题意可知：AH=20步，CK=14步，BC=1775步。
∵H是DG的中点，
∴$DH=\frac{1}{2}x$；
A到C的总距离$AC=AH+HK+CK=20+x+14=x+34$。
∵$DG// BC$，$∠ AHD=∠ ACB=90°$，$∠ A$为公共角，
∴$△ AHD ∽ △ ACB$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AH}{AC}=\frac{DH}{BC}$
代入对应线段长度：
$\frac{20}{x+34}=\frac{\frac{x}{2}}{1775}$
交叉相乘整理得一元二次方程：
$x^2+34x-71000=0$
解方程，判别式$\Delta=34^2+4×71000=285156=534^2$，
∴$x=\frac{-34\pm534}{2}$，
∵边长为正数，故舍去负根，得$x=\frac{-34+534}{2}=250$。
【答案】
250
【知识点】
相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，正方形的性质
【点评】
本题结合古代数学典籍的实际问题，考查几何与代数的综合应用，解题的关键是准确找到相似三角形，结合线段关系建立方程求解，同时要注意对求解结果进行实际意义的取舍。
【难度系数】
0.65
本题是相似三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：首先设正方形小城的边长为x步，结合题意找到相关线段的长度表达式；再根据正方形对边平行的性质，判定两个直角三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求解一元二次方程后取符合实际意义的正根，即可得到小城的边长。
【解析】
设正方形小城DEFG的边长为x步。
由题意可知：AH=20步，CK=14步，BC=1775步。
∵H是DG的中点，
∴$DH=\frac{1}{2}x$；
A到C的总距离$AC=AH+HK+CK=20+x+14=x+34$。
∵$DG// BC$，$∠ AHD=∠ ACB=90°$，$∠ A$为公共角，
∴$△ AHD ∽ △ ACB$。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AH}{AC}=\frac{DH}{BC}$
代入对应线段长度：
$\frac{20}{x+34}=\frac{\frac{x}{2}}{1775}$
交叉相乘整理得一元二次方程：
$x^2+34x-71000=0$
解方程，判别式$\Delta=34^2+4×71000=285156=534^2$，
∴$x=\frac{-34\pm534}{2}$，
∵边长为正数，故舍去负根，得$x=\frac{-34+534}{2}=250$。
【答案】
250
【知识点】
相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，正方形的性质
【点评】
本题结合古代数学典籍的实际问题，考查几何与代数的综合应用，解题的关键是准确找到相似三角形，结合线段关系建立方程求解，同时要注意对求解结果进行实际意义的取舍。
【难度系数】
0.65
11. 如图(1)，手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的. 如图(2)，我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段. 在一次游戏中，手距离墙壁3 m，光源与手的距离为1 m. 在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1 m，那么手影的高度变为原来的
$\frac{5}{8}$
.（填几分之几）答案
11. $\frac{5}{8}$.
解析
【分析】
本题结合手影的实际场景，可利用相似三角形的性质求解。首先根据光沿直线传播的特点，手平行于墙面，因此光源、手两端点构成的三角形与光源、手影两端点构成的三角形为相似三角形，相似比等于光源到手的距离与光源到墙面的距离之比。我们可以先设手的高度为定值，分别计算光源移动前后手影的高度，再求二者的比值即可得到结果。
【解析】
设手的高度为$ h $，光源与手距离为1m时，手影高度为$ H_1 $；光源与手距离增加1m后，手影高度为$ H_2 $。
1. 计算初始状态手影高度：
光源到墙面的距离为$ 1+3=4\ \mathrm{m} $，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{h}{H_1}=\frac{光源到手的距离}{光源到墙的距离}=\frac{1}{4}$
解得$ H_1=4h $。
2. 计算光源移动后手影高度：
此时光源与手的距离为$ 1+1=2\ \mathrm{m} $，光源到墙面的距离为$ 2+3=5\ \mathrm{m} $，同理可得：
$\frac{h}{H_2}=\frac{2}{5}$
解得$ H_2=\frac{5}{2}h $。
3. 计算比值：
$\frac{H_2}{H_1}=\frac{\frac{5}{2}h}{4h}=\frac{5}{8}$
【答案】
$\frac{5}{8}$
【知识点】
相似三角形的性质；中心投影
【点评】
本题结合生活中常见的手影游戏出题，将物理知识与数学相似三角形的应用相结合，解题的关键是准确找到相似三角形的对应比例关系，能有效考查学生将所学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
本题结合手影的实际场景，可利用相似三角形的性质求解。首先根据光沿直线传播的特点，手平行于墙面，因此光源、手两端点构成的三角形与光源、手影两端点构成的三角形为相似三角形，相似比等于光源到手的距离与光源到墙面的距离之比。我们可以先设手的高度为定值，分别计算光源移动前后手影的高度，再求二者的比值即可得到结果。
【解析】
设手的高度为$ h $，光源与手距离为1m时，手影高度为$ H_1 $；光源与手距离增加1m后，手影高度为$ H_2 $。
1. 计算初始状态手影高度：
光源到墙面的距离为$ 1+3=4\ \mathrm{m} $，由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{h}{H_1}=\frac{光源到手的距离}{光源到墙的距离}=\frac{1}{4}$
解得$ H_1=4h $。
2. 计算光源移动后手影高度：
此时光源与手的距离为$ 1+1=2\ \mathrm{m} $，光源到墙面的距离为$ 2+3=5\ \mathrm{m} $，同理可得：
$\frac{h}{H_2}=\frac{2}{5}$
解得$ H_2=\frac{5}{2}h $。
3. 计算比值：
$\frac{H_2}{H_1}=\frac{\frac{5}{2}h}{4h}=\frac{5}{8}$
【答案】
$\frac{5}{8}$
【知识点】
相似三角形的性质；中心投影
【点评】
本题结合生活中常见的手影游戏出题，将物理知识与数学相似三角形的应用相结合，解题的关键是准确找到相似三角形的对应比例关系，能有效考查学生将所学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
