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1. 下列各组中的四条线段成比例的是 （
A.1 cm、2 cm、20 cm、40 cm;
B.1 cm、2 cm、4 cm、6 cm;
C.25 cm、35 cm、45 cm、55 cm;
D.4 cm、2 cm、1 cm、3 cm.
A
）A.1 cm、2 cm、20 cm、40 cm;
B.1 cm、2 cm、4 cm、6 cm;
C.25 cm、35 cm、45 cm、55 cm;
D.4 cm、2 cm、1 cm、3 cm.
答案
1. A.
解析
【分析】
判断四条线段是否成比例的核心思路为：①先将四条线段的长度按从小到大（或从大到小）的顺序排序；②根据成比例线段的性质，若排序后四条线段为$a≤b≤c≤d$，只需验证最小线段与最大线段的乘积$a×d$是否等于中间两条线段的乘积$b×c$即可，乘积相等则四条线段成比例，反之则不成比例，用乘积验证比直接计算比值更简便、不易出错。
【解析】
根据成比例线段的判定方法逐一分析选项：
A选项：将线段按从小到大排序为1cm、2cm、20cm、40cm，计算得$1×40=40$，$2×20=40$，两者乘积相等，故四条线段成比例，符合要求；
B选项：排序为1cm、2cm、4cm、6cm，计算得$1×6=6$，$2×4=8$，$6≠8$，不成比例，排除；
C选项：排序为25cm、35cm、45cm、55cm，计算得$25×55=1375$，$35×45=1575$，$1375≠1575$，不成比例，排除；
D选项：排序为1cm、2cm、3cm、4cm，计算得$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不成比例，排除。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
成比例线段的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查成比例线段的判定方法，解题时先对线段长度排序再验证乘积相等，可有效提升解题的正确率和速度，熟练掌握判定方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
判断四条线段是否成比例的核心思路为：①先将四条线段的长度按从小到大（或从大到小）的顺序排序；②根据成比例线段的性质，若排序后四条线段为$a≤b≤c≤d$，只需验证最小线段与最大线段的乘积$a×d$是否等于中间两条线段的乘积$b×c$即可，乘积相等则四条线段成比例，反之则不成比例，用乘积验证比直接计算比值更简便、不易出错。
【解析】
根据成比例线段的判定方法逐一分析选项：
A选项：将线段按从小到大排序为1cm、2cm、20cm、40cm，计算得$1×40=40$，$2×20=40$，两者乘积相等，故四条线段成比例，符合要求；
B选项：排序为1cm、2cm、4cm、6cm，计算得$1×6=6$，$2×4=8$，$6≠8$，不成比例，排除；
C选项：排序为25cm、35cm、45cm、55cm，计算得$25×55=1375$，$35×45=1575$，$1375≠1575$，不成比例，排除；
D选项：排序为1cm、2cm、3cm、4cm，计算得$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不成比例，排除。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
成比例线段的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查成比例线段的判定方法，解题时先对线段长度排序再验证乘积相等，可有效提升解题的正确率和速度，熟练掌握判定方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 如果线段$a$是线段$b$、$c$的比例中项，$a:b=2:3$，那么下列结论中，正确的是（
A.$a:c=2:3$；
B.$a:c=3:2$；
C.$b:c=2:3$；
D.$b:c=3:2$。
B
）A.$a:c=2:3$；
B.$a:c=3:2$；
C.$b:c=2:3$；
D.$b:c=3:2$。
答案
2. B.
解析
【分析】
解题首先要明确比例中项的定义：若a是b、c的比例中项，则满足比例式b:a=a:c，交叉相乘可得a²=bc。已知a与b的比值，我们可以两种思路求解：一是直接利用比例的传递性，由a:b的比值推导b:a的比值，再结合比例中项的比例式直接得到a:c的比值；二是采用设参数法，将a、b用含同一正参数的式子表示，代入a²=bc求出c的表达式，再逐一计算各选项的比例判断正误，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
解：
∵线段a是线段b、c的比例中项，
∴根据比例中项的定义可得$\frac{b}{a}=\frac{a}{c}$，即$a^2 = bc$。
已知$a:b=2:3$，即$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，因此$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$。
结合比例中项的比例式$\frac{b}{a}=\frac{a}{c}$，可得$\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，即$a:c=3:2$，故B正确，A错误。
我们可通过设参数法验证其余选项：设$a=2k$（$k＞0$，线段长度为正），由$a:b=2:3$得$b=3k$。
将$a=2k$、$b=3k$代入$a^2=bc$得：
$(2k)^2=3k· c$，即$4k^2=3kc$，
∵$k≠0$，两边同除以k得$c=\frac{4}{3}k$。
因此$b:c=3k:\frac{4}{3}k=9:4$，故C、D均错误。
【答案】
B
【知识点】
比例中项；比例的基本性质
【点评】
本题核心考查比例中项的概念和比例的基本运算，解题的易错点是混淆比例中项对应的比例式中各项的顺序，通过设参数的方法可以将抽象的比例关系转化为具体的数值运算，有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确比例中项的定义：若a是b、c的比例中项，则满足比例式b:a=a:c，交叉相乘可得a²=bc。已知a与b的比值，我们可以两种思路求解：一是直接利用比例的传递性，由a:b的比值推导b:a的比值，再结合比例中项的比例式直接得到a:c的比值；二是采用设参数法，将a、b用含同一正参数的式子表示，代入a²=bc求出c的表达式，再逐一计算各选项的比例判断正误，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
解：
∵线段a是线段b、c的比例中项，
∴根据比例中项的定义可得$\frac{b}{a}=\frac{a}{c}$，即$a^2 = bc$。
已知$a:b=2:3$，即$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，因此$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$。
结合比例中项的比例式$\frac{b}{a}=\frac{a}{c}$，可得$\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，即$a:c=3:2$，故B正确，A错误。
我们可通过设参数法验证其余选项：设$a=2k$（$k＞0$，线段长度为正），由$a:b=2:3$得$b=3k$。
将$a=2k$、$b=3k$代入$a^2=bc$得：
$(2k)^2=3k· c$，即$4k^2=3kc$，
∵$k≠0$，两边同除以k得$c=\frac{4}{3}k$。
因此$b:c=3k:\frac{4}{3}k=9:4$，故C、D均错误。
【答案】
B
【知识点】
比例中项；比例的基本性质
【点评】
本题核心考查比例中项的概念和比例的基本运算，解题的易错点是混淆比例中项对应的比例式中各项的顺序，通过设参数的方法可以将抽象的比例关系转化为具体的数值运算，有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
3. 在比例尺为1：200的地图中，某广场的面积约为20 dm²，那么这个广场的实际面积约为（
A.400 m²；
B.4 000 m²；
C.8 000 m²；
D.80 000 m².
C
）A.400 m²；
B.4 000 m²；
C.8 000 m²；
D.80 000 m².
答案
3. C.
解析
【分析】
解题时首先要明确比例尺的定义：比例尺是图上长度与实际长度的比值，属于长度比。而面积是长度的二次量，因此图上面积与实际面积的比是比例尺的平方。解题步骤可分为三步：第一步根据比例尺求出图上面积与实际面积的比值；第二步结合已知的图上面积计算出实际面积的平方分米数；第三步将平方分米换算为平方米，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知比例尺为1:200，是图上长度与实际长度的比，因此图上面积与实际面积的比为$(\frac{1}{200})^2=\frac{1}{40000}$。
设广场的实际面积为$S$，则$\frac{20\ \mathrm{dm}^2}{S}=\frac{1}{40000}$，
解得$S=20×40000=800000\ \mathrm{dm}^2$。
因为$1\ \mathrm{m}^2=100\ \mathrm{dm}^2$，所以$800000\ \mathrm{dm}^2=\frac{800000}{100}\ \mathrm{m}^2=8000\ \mathrm{m}^2$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
比例尺的性质，面积比与长度比的关系，面积单位换算
【点评】
本题是比例尺应用的常见题型，易错点有两处：一是误将长度比直接当做面积比计算，二是面积单位换算时进率出错，解题时需注意区分长度比和面积比的关系，做完后检查单位换算是否正确。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确比例尺的定义：比例尺是图上长度与实际长度的比值，属于长度比。而面积是长度的二次量，因此图上面积与实际面积的比是比例尺的平方。解题步骤可分为三步：第一步根据比例尺求出图上面积与实际面积的比值；第二步结合已知的图上面积计算出实际面积的平方分米数；第三步将平方分米换算为平方米，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知比例尺为1:200，是图上长度与实际长度的比，因此图上面积与实际面积的比为$(\frac{1}{200})^2=\frac{1}{40000}$。
设广场的实际面积为$S$，则$\frac{20\ \mathrm{dm}^2}{S}=\frac{1}{40000}$，
解得$S=20×40000=800000\ \mathrm{dm}^2$。
因为$1\ \mathrm{m}^2=100\ \mathrm{dm}^2$，所以$800000\ \mathrm{dm}^2=\frac{800000}{100}\ \mathrm{m}^2=8000\ \mathrm{m}^2$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
比例尺的性质，面积比与长度比的关系，面积单位换算
【点评】
本题是比例尺应用的常见题型，易错点有两处：一是误将长度比直接当做面积比计算，二是面积单位换算时进率出错，解题时需注意区分长度比和面积比的关系，做完后检查单位换算是否正确。
【难度系数】
0.6
4. 如图，四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$关于原点位似，点A的坐标为$(2,0)$，点A'的坐标为$(3,0)$。如果CD的长为3，那么$C'D'$的长为（
A.$\dfrac{7}{2}$；
B.4；
C.$\dfrac{9}{2}$；
D.5.
C
）A.$\dfrac{7}{2}$；
B.4；
C.$\dfrac{9}{2}$；
D.5.
答案
4. C.
解析
【分析】
首先明确本题考查位似图形的相关性质，解题思路如下：1. 位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比，而位似比等于对应点到位似中心（本题为原点）的距离之比；2. 先根据已知点A、A'的坐标求出两点到原点的距离，进而得到位似比；3. 最后利用相似图形对应边成比例的性质，结合已知CD的长度计算$C'D'$的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$关于原点位似
∴四边形ABCD∽四边形$A'B'C'D'$，且位似比等于对应点到原点的距离之比
已知点A坐标为$(2,0)$，点$A'$坐标为$(3,0)$
∴$OA=2$，$OA'=3$，即位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{3}{2}$
根据相似图形对应边成比例，可得$\frac{C'D'}{CD}=k=\frac{3}{2}$
又
∵$CD=3$
∴$C'D'=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$
【答案】
C
【知识点】
1. 位似图形性质
2. 相似对应边成比例
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题的核心是准确求出位似比，注意不要将位似比的前后对应关系搞反，熟练掌握位似和相似的关联是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先明确本题考查位似图形的相关性质，解题思路如下：1. 位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比，而位似比等于对应点到位似中心（本题为原点）的距离之比；2. 先根据已知点A、A'的坐标求出两点到原点的距离，进而得到位似比；3. 最后利用相似图形对应边成比例的性质，结合已知CD的长度计算$C'D'$的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$关于原点位似
∴四边形ABCD∽四边形$A'B'C'D'$，且位似比等于对应点到原点的距离之比
已知点A坐标为$(2,0)$，点$A'$坐标为$(3,0)$
∴$OA=2$，$OA'=3$，即位似比$k=\frac{OA'}{OA}=\frac{3}{2}$
根据相似图形对应边成比例，可得$\frac{C'D'}{CD}=k=\frac{3}{2}$
又
∵$CD=3$
∴$C'D'=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$
【答案】
C
【知识点】
1. 位似图形性质
2. 相似对应边成比例
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题的核心是准确求出位似比，注意不要将位似比的前后对应关系搞反，熟练掌握位似和相似的关联是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$D$、$E$是边$BC$上的两点，连接$AD$、$AE$，$AD=AE$. 如果$△ ABE ∽ △ CBA$，那么下列等式中，错误的是 （
A.$AB^2 = BE · BC$；
B.$CD · AB = AD · AC$；
C.$AE^2 = CD · BE$；
D.$AB · AC = BE · CD$.
D
）A.$AB^2 = BE · BC$；
B.$CD · AB = AD · AC$；
C.$AE^2 = CD · BE$；
D.$AB · AC = BE · CD$.
答案
5. D.
解析
【分析】
解题时首先利用已知的$△ ABE ∽ △ CBA$，根据相似三角形的性质得到对应边成比例、对应角相等，再结合$AD=AE$的等腰三角形性质得到等角，推导其他相似三角形，逐个验证四个选项是否成立，找出错误的等式即可。
【解析】
已知$△ ABE ∽ △ CBA$，根据相似三角形的性质可得：
对应边成比例：$\frac{AB}{CB}=\frac{BE}{BA}=\frac{AE}{CA}$，对应角相等：$∠ BAE=∠ C$，$∠ AEB=∠ BAC$。
1. 验证选项A：
由$\frac{AB}{CB}=\frac{BE}{BA}$交叉相乘得$AB^2=BE·BC$，故A正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
由$AD=AE$得$∠ ADE=∠ AED$，因此$∠ ADC=∠ AEB=∠ BAC$。
在$△ ADC$和$△ BAC$中：$∠ C$为公共角，$∠ ADC=∠ BAC$，故$△ ADC ∽ △ BAC$，得$\frac{AD}{BA}=\frac{CD}{AC}$，交叉相乘得$CD·AB=AD·AC$，故B正确，不符合题意。
3. 验证选项C：
由$∠ AEB=∠ ADC$，$∠ BAE=∠ C$，可得$△ ABE ∽ △ CAD$，故$\frac{AE}{CD}=\frac{BE}{AD}$。
又因为$AD=AE$，代入得$\frac{AE}{CD}=\frac{BE}{AE}$，交叉相乘得$AE^2=CD·BE$，故C正确，不符合题意。
4. 验证选项D：
由$△ ABE ∽ △ CAD$可得$\frac{AB}{CA}=\frac{BE}{AD}$，即$AB·AD=AC·BE$，结合$AD=AE$也无法推出$AB·AC=BE·CD$，故D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题需要熟练运用相似三角形的对应边、对应角关系，结合等腰三角形等边对等角的性质推导多组角相等，进而证明新的相似三角形，解题时要注意相似三角形的对应边不要混淆，可通过对应角对应关系确认边的比例。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用已知的$△ ABE ∽ △ CBA$，根据相似三角形的性质得到对应边成比例、对应角相等，再结合$AD=AE$的等腰三角形性质得到等角，推导其他相似三角形，逐个验证四个选项是否成立，找出错误的等式即可。
【解析】
已知$△ ABE ∽ △ CBA$，根据相似三角形的性质可得：
对应边成比例：$\frac{AB}{CB}=\frac{BE}{BA}=\frac{AE}{CA}$，对应角相等：$∠ BAE=∠ C$，$∠ AEB=∠ BAC$。
1. 验证选项A：
由$\frac{AB}{CB}=\frac{BE}{BA}$交叉相乘得$AB^2=BE·BC$，故A正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
由$AD=AE$得$∠ ADE=∠ AED$，因此$∠ ADC=∠ AEB=∠ BAC$。
在$△ ADC$和$△ BAC$中：$∠ C$为公共角，$∠ ADC=∠ BAC$，故$△ ADC ∽ △ BAC$，得$\frac{AD}{BA}=\frac{CD}{AC}$，交叉相乘得$CD·AB=AD·AC$，故B正确，不符合题意。
3. 验证选项C：
由$∠ AEB=∠ ADC$，$∠ BAE=∠ C$，可得$△ ABE ∽ △ CAD$，故$\frac{AE}{CD}=\frac{BE}{AD}$。
又因为$AD=AE$，代入得$\frac{AE}{CD}=\frac{BE}{AE}$，交叉相乘得$AE^2=CD·BE$，故C正确，不符合题意。
4. 验证选项D：
由$△ ABE ∽ △ CAD$可得$\frac{AB}{CA}=\frac{BE}{AD}$，即$AB·AD=AC·BE$，结合$AD=AE$也无法推出$AB·AC=BE·CD$，故D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题需要熟练运用相似三角形的对应边、对应角关系，结合等腰三角形等边对等角的性质推导多组角相等，进而证明新的相似三角形，解题时要注意相似三角形的对应边不要混淆，可通过对应角对应关系确认边的比例。
【难度系数】
0.6
6. 如图，已知在$△ ABC$中，点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上，四边形$DEGF$是平行四边形，点$F$、$G$在边$BC$上，$AN// DF$，$AN$交$BC$于点$N$。甲、乙两名学生在研究这个图形时，分别得出了以下两个结论：①$\frac{BF}{BN}+\frac{NG}{CN}=1$；②$\frac{DE}{BC}+\frac{DF}{AN}=1$。下列关于这两个结论的说法中，正确的是（
A.①正确，②错误；
B.①错误，②正确；
C.①②均正确；
D.①②均错误。
C
）A.①正确，②错误；
B.①错误，②正确；
C.①②均正确；
D.①②均错误。
答案
6. C.
解析
【分析】
要判断两个结论是否正确，可结合平行四边形性质、平行线分线段成比例及相似三角形的性质推导。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到$DE// BC$、$DF// EG$、$DE=FG$、$DF=EG$；再结合$AN// DF$，可得$AN// DF// EG$，进而得到多组成比例的线段，分别对两个结论做等量代换验证即可。
【解析】
1. 验证结论②：
∵ 四边形$DEGF$是平行四边形，
∴ $DE// BC$，$DF// EG$，$DF=EG$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，得 $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
∵ $AN// DF$，
∴ $△ BDF ∽ △ BAN$，得 $\frac{DF}{AN}=\frac{BD}{AB}$。
∴ $\frac{DE}{BC}+\frac{DF}{AN}=\frac{AD}{AB}+\frac{BD}{AB}=\frac{AD+BD}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$，结论②正确。
2. 验证结论①：
由$AN// DF$、$DF// EG$，得$AN// EG$，
∴ $△ CEG ∽ △ CAN$，得 $\frac{EG}{AN}=\frac{CG}{CN}$。
又$EG=DF$，结合$△ BDF ∽ △ BAN$的结论$\frac{DF}{AN}=\frac{BF}{BN}$，可得 $\frac{BF}{BN}=\frac{CG}{CN}$。
∵ $CG=CN-NG$，代入得：$\frac{BF}{BN}=\frac{CN-NG}{CN}=1-\frac{NG}{CN}$。
移项得：$\frac{BF}{BN}+\frac{NG}{CN}=1$，结论①正确。
综上，①②均正确。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合应用题型，解题的核心是通过平行线找到对应成比例的线段，再借助等量代换完成比例式的验证，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要判断两个结论是否正确，可结合平行四边形性质、平行线分线段成比例及相似三角形的性质推导。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到$DE// BC$、$DF// EG$、$DE=FG$、$DF=EG$；再结合$AN// DF$，可得$AN// DF// EG$，进而得到多组成比例的线段，分别对两个结论做等量代换验证即可。
【解析】
1. 验证结论②：
∵ 四边形$DEGF$是平行四边形，
∴ $DE// BC$，$DF// EG$，$DF=EG$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，得 $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
∵ $AN// DF$，
∴ $△ BDF ∽ △ BAN$，得 $\frac{DF}{AN}=\frac{BD}{AB}$。
∴ $\frac{DE}{BC}+\frac{DF}{AN}=\frac{AD}{AB}+\frac{BD}{AB}=\frac{AD+BD}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$，结论②正确。
2. 验证结论①：
由$AN// DF$、$DF// EG$，得$AN// EG$，
∴ $△ CEG ∽ △ CAN$，得 $\frac{EG}{AN}=\frac{CG}{CN}$。
又$EG=DF$，结合$△ BDF ∽ △ BAN$的结论$\frac{DF}{AN}=\frac{BF}{BN}$，可得 $\frac{BF}{BN}=\frac{CG}{CN}$。
∵ $CG=CN-NG$，代入得：$\frac{BF}{BN}=\frac{CN-NG}{CN}=1-\frac{NG}{CN}$。
移项得：$\frac{BF}{BN}+\frac{NG}{CN}=1$，结论①正确。
综上，①②均正确。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合应用题型，解题的核心是通过平行线找到对应成比例的线段，再借助等量代换完成比例式的验证，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
