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14 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，连接CE，AF⊥CE，垂足为F(点F不与点C、E重合)，AF分别交线段BC、BD于点G、H.
(1) 当F是线段CE的中点时，求GF的长.
(2) 设BE=x，OH=y. 求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
(1) 当F是线段CE的中点时，求GF的长.
(2) 设BE=x，OH=y. 求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
答案
14. (1) $\frac{\sqrt{10}}{3}$. 提示：由勾股定理，得$AC=\sqrt{6^2+8^2}=10$. 由 F 是线段 CE 的中点，$AF⊥ CE$，得$AE=AC$，故$BE=10-8=2$. 所以，$CE=6^2+2^2=2\sqrt{10}$. 又$∠ CFG=∠ CBE=90°$，$∠ FCG=∠ BCE$，得$△ FCG∽△ BCE$. 所以，$\frac{CF}{CB}=\frac{GF}{EB}$，解得$GF=\frac{\sqrt{10}}{3}$.
(2) 如图，过点 B 作$BM⊥ AF$，$ON⊥ AF$，垂足分别为 M、N.
$\because\ \ AF⊥ CE,\therefore\ \ ON// BM// CE$.
$\therefore\ △ ONH∽△ BMH$，$△ ANO∽△ AFC$，$△ BMG∽△ CFG$.
$\because\ $ 四边形 ABCD 为矩形，$AB=8$，$BC=6$，
$\therefore\ \ BD=\sqrt{8^2+6^2}=10$，$BO=\frac{1}{2}×10=5$.
$\because\ \ BE=x$，$OH=y$，
$\therefore\ \frac{ON}{BM}=\frac{OH}{BH}=\frac{y}{5-y}$，$\frac{ON}{CF}=\frac{AO}{AC}=\frac{1}{2}$，$\frac{BM}{CF}=\frac{BG}{CG}=\frac{BG}{6-BG}$.
$\because\ \frac{BM}{CF}=\frac{BM}{ON}·\frac{ON}{CF},\therefore\ \frac{5-y}{2y}=\frac{BG}{6-BG}$.
$\because\ \ AF⊥ CE$，$CB⊥ AE$，$\therefore\ ∠ BCE=∠ BAG.\ \therefore\ △ CBE∽△ ABG$.
$\therefore\ \frac{CB}{AB}=\frac{BE}{BG}.\ \therefore\ BG=\frac{4}{3}x$.
$\therefore\ \frac{5-y}{2y}=\frac{\frac{4}{3}x}{6-\frac{4}{3}x}$，解得$y=\frac{45-10x}{2x+9}$.
由$x＞0$，$\frac{45-10x}{2x+9}＞0$，解得$0＜x＜\frac{9}{2}$.
所以，$y$关于$x$的函数表达式是$y=\frac{45-10x}{2x+9}$，$0＜x＜\frac{9}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求解第一问先利用矩形的边长通过勾股定理算出对角线AC的长度，再根据“垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端距离相等”得到AE=AC，依次算出BE、CE的长度；最后通过公共角和直角证明△FCG∽△BCE，借助相似三角形对应边成比例即可求出GF的长度。
(2) 求解第二问先作BM⊥AF、ON⊥AF的辅助线，得到三条平行线段，进而推出多组相似三角形；结合矩形对角线的性质得到BO的长度，利用相似的比例关系将各线段比例关联，再通过同角的余角相等证明△CBE∽△ABG，求出BG关于x的表达式，代入比例式化简得到y与x的函数关系，最后根据y＞0、x＞0确定自变量的取值范围。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，∠ABC=90°，已知AB=8，BC=6，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
∵F是CE中点，且AF⊥CE，
∴AF是CE的垂直平分线，因此AE=AC=10
∴BE=AE-AB=10-8=2
在Rt△CBE中，$CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，则$CF=\frac{1}{2}CE=\sqrt{10}$
∵∠CFG=∠CBE=90°，∠FCG=∠BCE，
∴△FCG∽△BCE
根据相似三角形对应边成比例得$\frac{CF}{CB}=\frac{GF}{EB}$，代入数据得$\frac{\sqrt{10}}{6}=\frac{GF}{2}$，解得$GF=\frac{\sqrt{10}}{3}$
(2) 过点B作$BM⊥ AF$，$ON⊥ AF$，垂足分别为M、N，如图：
$\because\ \ AF⊥ CE,\therefore\ \ ON// BM// CE$
$\therefore\ △ ONH∽△ BMH$，$△ ANO∽△ AFC$，$△ BMG∽△ CFG$
$\because\ $ 四边形ABCD为矩形，$\therefore BD=AC=10$，O为BD中点，因此$BO=\frac{1}{2}×10=5$
$\because\ \ BE=x$，$OH=y$，$\therefore BH=BO-OH=5-y$
由△ONH∽△BMH得$\frac{ON}{BM}=\frac{OH}{BH}=\frac{y}{5-y}$，即$\frac{BM}{ON}=\frac{5-y}{y}$
由△ANO∽△AFC得$\frac{ON}{CF}=\frac{AO}{AC}=\frac{1}{2}$
由△BMG∽△CFG得$\frac{BM}{CF}=\frac{BG}{CG}=\frac{BG}{6-BG}$
又$\frac{BM}{CF}=\frac{BM}{ON}·\frac{ON}{CF}=\frac{5-y}{y}×\frac{1}{2}=\frac{5-y}{2y}$，因此$\frac{5-y}{2y}=\frac{BG}{6-BG}$
$\because\ \ AF⊥ CE$，$CB⊥ AE$，$\therefore\ ∠BCE+∠E=90°$，$∠BAG+∠E=90°$，即$∠ BCE=∠ BAG$
又$∠ CBE=∠ ABG=90°$，$\therefore\ △ CBE∽△ ABG$
$\therefore\ \frac{CB}{AB}=\frac{BE}{BG}$，代入数据得$\frac{6}{8}=\frac{x}{BG}$，解得$BG=\frac{4}{3}x$
将$BG=\frac{4}{3}x$代入$\frac{5-y}{2y}=\frac{\frac{4}{3}x}{6-\frac{4}{3}x}$，化简得：
$\frac{5-y}{2y}=\frac{4x}{18-4x}$，交叉相乘整理得$y=\frac{45-10x}{2x+9}$
由题意得$x＞0$，且$y=\frac{45-10x}{2x+9}＞0$，$\because 2x+9＞0$恒成立，$\therefore 45-10x＞0$，解得$x＜\frac{9}{2}$
因此自变量x的取值范围为$0＜x＜\frac{9}{2}$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{10}}{3}$
(2) $y=\frac{45-10x}{2x+9}(0＜x＜\frac{9}{2})$，辅助线图：
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何综合类习题，既覆盖了矩形、垂直平分线的基础性质考点，又需要通过构造辅助线得到相似三角形，完成线段比例关系的转化求解函数解析式，能够有效考查几何逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.3
(1) 求解第一问先利用矩形的边长通过勾股定理算出对角线AC的长度，再根据“垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端距离相等”得到AE=AC，依次算出BE、CE的长度；最后通过公共角和直角证明△FCG∽△BCE，借助相似三角形对应边成比例即可求出GF的长度。
(2) 求解第二问先作BM⊥AF、ON⊥AF的辅助线，得到三条平行线段，进而推出多组相似三角形；结合矩形对角线的性质得到BO的长度，利用相似的比例关系将各线段比例关联，再通过同角的余角相等证明△CBE∽△ABG，求出BG关于x的表达式，代入比例式化简得到y与x的函数关系，最后根据y＞0、x＞0确定自变量的取值范围。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，∠ABC=90°，已知AB=8，BC=6，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
∵F是CE中点，且AF⊥CE，
∴AF是CE的垂直平分线，因此AE=AC=10
∴BE=AE-AB=10-8=2
在Rt△CBE中，$CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，则$CF=\frac{1}{2}CE=\sqrt{10}$
∵∠CFG=∠CBE=90°，∠FCG=∠BCE，
∴△FCG∽△BCE
根据相似三角形对应边成比例得$\frac{CF}{CB}=\frac{GF}{EB}$，代入数据得$\frac{\sqrt{10}}{6}=\frac{GF}{2}$，解得$GF=\frac{\sqrt{10}}{3}$
(2) 过点B作$BM⊥ AF$，$ON⊥ AF$，垂足分别为M、N，如图：
$\because\ \ AF⊥ CE,\therefore\ \ ON// BM// CE$
$\therefore\ △ ONH∽△ BMH$，$△ ANO∽△ AFC$，$△ BMG∽△ CFG$
$\because\ $ 四边形ABCD为矩形，$\therefore BD=AC=10$，O为BD中点，因此$BO=\frac{1}{2}×10=5$
$\because\ \ BE=x$，$OH=y$，$\therefore BH=BO-OH=5-y$
由△ONH∽△BMH得$\frac{ON}{BM}=\frac{OH}{BH}=\frac{y}{5-y}$，即$\frac{BM}{ON}=\frac{5-y}{y}$
由△ANO∽△AFC得$\frac{ON}{CF}=\frac{AO}{AC}=\frac{1}{2}$
由△BMG∽△CFG得$\frac{BM}{CF}=\frac{BG}{CG}=\frac{BG}{6-BG}$
又$\frac{BM}{CF}=\frac{BM}{ON}·\frac{ON}{CF}=\frac{5-y}{y}×\frac{1}{2}=\frac{5-y}{2y}$，因此$\frac{5-y}{2y}=\frac{BG}{6-BG}$
$\because\ \ AF⊥ CE$，$CB⊥ AE$，$\therefore\ ∠BCE+∠E=90°$，$∠BAG+∠E=90°$，即$∠ BCE=∠ BAG$
又$∠ CBE=∠ ABG=90°$，$\therefore\ △ CBE∽△ ABG$
$\therefore\ \frac{CB}{AB}=\frac{BE}{BG}$，代入数据得$\frac{6}{8}=\frac{x}{BG}$，解得$BG=\frac{4}{3}x$
将$BG=\frac{4}{3}x$代入$\frac{5-y}{2y}=\frac{\frac{4}{3}x}{6-\frac{4}{3}x}$，化简得：
$\frac{5-y}{2y}=\frac{4x}{18-4x}$，交叉相乘整理得$y=\frac{45-10x}{2x+9}$
由题意得$x＞0$，且$y=\frac{45-10x}{2x+9}＞0$，$\because 2x+9＞0$恒成立，$\therefore 45-10x＞0$，解得$x＜\frac{9}{2}$
因此自变量x的取值范围为$0＜x＜\frac{9}{2}$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{10}}{3}$
(2) $y=\frac{45-10x}{2x+9}(0＜x＜\frac{9}{2})$，辅助线图：
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何综合类习题，既覆盖了矩形、垂直平分线的基础性质考点，又需要通过构造辅助线得到相似三角形，完成线段比例关系的转化求解函数解析式，能够有效考查几何逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.3
