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13.【基本模型】如图(1)，在△ABC中，
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC.（依据）
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.
【模型拓展】某学习小组的成员在图(1)的基础上，连接BE，过点A作DE的平行线，交BE的延长线于点F，如图(2)所示. 小海通过探究发现，线段AF、DE、BC之间的关系满足$\frac{1}{AF}+\frac{1}{BC}=\frac{1}{DE}$.
【模型应用】图(3)是小孔成像原理示意图，物体MN、光屏PQ竖直放置在水平桌面上，物体MN经小孔O在光屏上形成倒立的像N'M'（点M'与点Q重合）. 若已知物体MN的高度和小孔O到桌面的距离OH，可求出像N'M'的高度.
【学习任务】
（1）任务1：【基本模型】中的“依据”是 .
（2）任务2：写出【模型拓展】的证明过程.
（3）任务3：在【模型应用】的图(3)中，若物体MN的高度为15 cm，小孔O到桌面的距离OH为6 cm，求像N'M'的高度.
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC.（依据）
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.
【模型拓展】某学习小组的成员在图(1)的基础上，连接BE，过点A作DE的平行线，交BE的延长线于点F，如图(2)所示. 小海通过探究发现，线段AF、DE、BC之间的关系满足$\frac{1}{AF}+\frac{1}{BC}=\frac{1}{DE}$.
【模型应用】图(3)是小孔成像原理示意图，物体MN、光屏PQ竖直放置在水平桌面上，物体MN经小孔O在光屏上形成倒立的像N'M'（点M'与点Q重合）. 若已知物体MN的高度和小孔O到桌面的距离OH，可求出像N'M'的高度.
【学习任务】
（1）任务1：【基本模型】中的“依据”是 .
（2）任务2：写出【模型拓展】的证明过程.
（3）任务3：在【模型应用】的图(3)中，若物体MN的高度为15 cm，小孔O到桌面的距离OH为6 cm，求像N'M'的高度.
答案
13. (1) 相似三角形的预备定理.
(2) $\because\ \ DE// BC,\therefore\ △ ADE∽△ ABC.\therefore\ \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$.
$\because\ \ DE// AF,\therefore\ △ BDE∽△ BAF.\therefore\ \frac{DE}{AF}=\frac{BD}{BA}$.
$\therefore\ \frac{DE}{BC}+\frac{DE}{AF}=\frac{AD}{AB}+\frac{BD}{BA}=\frac{AD+BD}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$.
将$\frac{DE}{BC}+\frac{DE}{AF}=1$的两边同除以$DE$，得$\frac{1}{BC}+\frac{1}{AF}=\frac{1}{DE}$.
(3) 根据题意，$OH// MN// N'M'$，由(2)，得$\frac{1}{MN}+\frac{1}{N'M'}=\frac{1}{OH}$.
$\because\ \ MN=15\ \mathrm{cm},\ OH=6\ \mathrm{cm},\ \therefore\ \frac{1}{15}+\frac{1}{N'M'}=\frac{1}{6}$，解得$N'M'=10\ \mathrm{cm}$.
所以，像$N'M'$的高度是10 cm.
(2) $\because\ \ DE// BC,\therefore\ △ ADE∽△ ABC.\therefore\ \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$.
$\because\ \ DE// AF,\therefore\ △ BDE∽△ BAF.\therefore\ \frac{DE}{AF}=\frac{BD}{BA}$.
$\therefore\ \frac{DE}{BC}+\frac{DE}{AF}=\frac{AD}{AB}+\frac{BD}{BA}=\frac{AD+BD}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$.
将$\frac{DE}{BC}+\frac{DE}{AF}=1$的两边同除以$DE$，得$\frac{1}{BC}+\frac{1}{AF}=\frac{1}{DE}$.
(3) 根据题意，$OH// MN// N'M'$，由(2)，得$\frac{1}{MN}+\frac{1}{N'M'}=\frac{1}{OH}$.
$\because\ \ MN=15\ \mathrm{cm},\ OH=6\ \mathrm{cm},\ \therefore\ \frac{1}{15}+\frac{1}{N'M'}=\frac{1}{6}$，解得$N'M'=10\ \mathrm{cm}$.
所以，像$N'M'$的高度是10 cm.
解析
【分析】
（1）任务1考查相似三角形的基础判定依据，回忆相似三角形的判定定理，平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所得三角形与原三角形相似，对应的就是相似三角形的预备定理，直接填写即可。
（2）任务2要证明三个线段的倒数关系，首先利用两组平行线分别得到两组相似三角形，推导出DE与BC、DE与AF的比例式，再将两个比例式相加，利用AD+BD=AB化简，最后两边同除以DE即可得到结论。
（3）任务3是拓展模型的实际应用，首先根据小孔成像的特点判断MN、OH、N'M'互相平行，符合任务2的模型结构，直接代入拓展得到的关系式，解分式方程即可求出像的高度。
【解析】
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，该判定的依据为相似三角形的预备定理。
（2）证明：
$\because\ \ DE// BC$，
$\therefore\ △ ADE∽△ ABC$，
$\therefore\ \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
$\because\ \ DE// AF$，
$\therefore\ △ BDE∽△ BAF$，
$\therefore\ \frac{DE}{AF}=\frac{BD}{BA}$。
将两个等式左右分别相加得：
$\frac{DE}{BC}+\frac{DE}{AF}=\frac{AD}{AB}+\frac{BD}{BA}=\frac{AD+BD}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$，
等式两边同时除以DE（DE≠0），得：
$\frac{1}{BC}+\frac{1}{AF}=\frac{1}{DE}$。
（3）解：由小孔成像的性质可知$OH// MN// N'M'$，符合（2）的拓展模型，因此满足$\frac{1}{MN}+\frac{1}{N'M'}=\frac{1}{OH}$。
把$MN=15\ \mathrm{cm}$，$OH=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{15}+\frac{1}{N'M'}=\frac{1}{6}$，
解得$N'M'=10\ \mathrm{cm}$，经检验，$N'M'=10$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
（1）相似三角形的预备定理
（2）证明过程见上述解析
（3）$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似模型的实际应用
【点评】
本题从基础相似模型出发，逐步推导得到新的比例关系，再结合生活中的小孔成像场景考查知识的迁移应用能力，解题的核心是准确识别相似模型，灵活运用比例的性质推导计算。
【难度系数】
0.7
（1）任务1考查相似三角形的基础判定依据，回忆相似三角形的判定定理，平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所得三角形与原三角形相似，对应的就是相似三角形的预备定理，直接填写即可。
（2）任务2要证明三个线段的倒数关系，首先利用两组平行线分别得到两组相似三角形，推导出DE与BC、DE与AF的比例式，再将两个比例式相加，利用AD+BD=AB化简，最后两边同除以DE即可得到结论。
（3）任务3是拓展模型的实际应用，首先根据小孔成像的特点判断MN、OH、N'M'互相平行，符合任务2的模型结构，直接代入拓展得到的关系式，解分式方程即可求出像的高度。
【解析】
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，该判定的依据为相似三角形的预备定理。
（2）证明：
$\because\ \ DE// BC$，
$\therefore\ △ ADE∽△ ABC$，
$\therefore\ \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
$\because\ \ DE// AF$，
$\therefore\ △ BDE∽△ BAF$，
$\therefore\ \frac{DE}{AF}=\frac{BD}{BA}$。
将两个等式左右分别相加得：
$\frac{DE}{BC}+\frac{DE}{AF}=\frac{AD}{AB}+\frac{BD}{BA}=\frac{AD+BD}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$，
等式两边同时除以DE（DE≠0），得：
$\frac{1}{BC}+\frac{1}{AF}=\frac{1}{DE}$。
（3）解：由小孔成像的性质可知$OH// MN// N'M'$，符合（2）的拓展模型，因此满足$\frac{1}{MN}+\frac{1}{N'M'}=\frac{1}{OH}$。
把$MN=15\ \mathrm{cm}$，$OH=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{15}+\frac{1}{N'M'}=\frac{1}{6}$，
解得$N'M'=10\ \mathrm{cm}$，经检验，$N'M'=10$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
（1）相似三角形的预备定理
（2）证明过程见上述解析
（3）$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似模型的实际应用
【点评】
本题从基础相似模型出发，逐步推导得到新的比例关系，再结合生活中的小孔成像场景考查知识的迁移应用能力，解题的核心是准确识别相似模型，灵活运用比例的性质推导计算。
【难度系数】
0.7
