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10 在探究“四边形相似的条件”时，某数学学习小组得到以下四个命题：
① 三边对应成比例，两邻角对应相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似；
② 三边对应成比例，两邻角对应相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似；
③ 三边对应成比例及其两夹角对应相等的两个四边形相似；
④ 三边对应成比例，两对角对应相等的两个四边形相似.
其中，是真命题的为
① 三边对应成比例，两邻角对应相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似；
② 三边对应成比例，两邻角对应相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似；
③ 三边对应成比例及其两夹角对应相等的两个四边形相似；
④ 三边对应成比例，两对角对应相等的两个四边形相似.
其中，是真命题的为
③
.（填序号）答案
10. ③. 提示：对于命题①，如图(1)，四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，以点$A'$为圆心、以$A'D'$为半径作圆交$C'D'$的延长线于点$D''$，那么四边形$A'B'C'D''$与四边形$ABCD$满足条件但不相似. 对于命题②，如图(2)，四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，以点$C'$为圆心、以$C'D'$为半径作圆交过点$D'$且和$A'B'$平行的直线于点$D''$，过点$D''$作$D''A''// D'A'$交$A'B'$于点$A''$，则$C'D'=C'D''$，那么四边形$A''B'C'D''$与四边形$ABCD$满足条件但不相似. 对于命题③，如图(3)，已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$，$∠ ABC=∠ A'B'C'$，$∠ BCD=∠ B'C'D'$. 连接$BD$、$B'D'$，可先证$△ BCD∽ △ B'C'D'$，再证$△ ABD∽ △ A'B'D'$，从而证明四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$. 对于命题④，如图(4)，四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，以点$C'$为圆心、以$C'A'$为半径作圆交$A'B'$于点$A''$，在$C'A''$左侧作$△ C'A'D'≌△ C'A''D''$，则$C'D'=C'D''$，那么四边形$A''B'C'D''$与四边形$ABCD$满足条件但不相似.
解析
【分析】
要判断四个关于四边形相似的命题真假，首先明确四边形相似的判定标准：四个内角对应相等，且四条边对应成比例。解题时可对假命题通过构造反例说明满足题设条件的四边形不相似，对真命题通过连接对角线，将四边形问题转化为三角形相似问题，证明其满足四边形相似的全部条件，逐个判断即可得到正确结论。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
1. 对命题①：如图(1)，四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，以点$A'$为圆心、$A'D'$为半径作圆交$C'D'$的延长线于点$D''$，此时四边形$A'B'C'D''$满足三边对应成比例、两邻角对应相等且只有一角为其中两边的夹角，但它与四边形$ABCD$不相似，故①为假命题。
2. 对命题②：如图(2)，四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，以点$C'$为圆心、$C'D'$为半径作圆交过点$D'$且和$A'B'$平行的直线于点$D''$，过点$D''$作$D''A''// D'A'$交$A'B'$于点$A''$，此时$C'D'=C'D''$，四边形$A''B'C'D''$满足题设②的条件，但它与四边形$ABCD$不相似，故②为假命题。
3. 对命题③：已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$，$∠ ABC=∠ A'B'C'$，$∠ BCD=∠ B'C'D'$。连接$BD$、$B'D'$：
在$△ BCD$和$△ B'C'D'$中，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$，$∠BCD=∠B'C'D'$，由SAS判定得$△ BCD∽△ B'C'D'$，因此$\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，且$∠CBD=∠C'B'D'$。
结合$∠ABC=∠A'B'C'$，可得$∠ABD=∠A'B'D'$，因此$△ ABD∽△ A'B'D'$（SAS判定），进而可得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，$∠A=∠A'$，$∠ADB=∠A'D'B'$。
进一步可推得$∠ADC=∠A'D'C'$，此时两个四边形四条边对应成比例，四个角对应相等，故四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，③为真命题。
4. 对命题④：如图(4)，四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，以点$C'$为圆心、$C'A'$为半径作圆交$A'B'$于点$A''$，在$C'A''$左侧作$△ C'A'D'≌△ C'A''D''$，则$C'D'=C'D''$，此时四边形$A''B'C'D''$满足题设④的条件，但它与四边形$ABCD$不相似，故④为假命题。
【答案】
③
【知识点】
四边形相似判定；相似三角形的性质；真假命题判断
【点评】
本题考查四边形相似条件的探究，解题时既需要掌握举反例证明假命题的方法，也可以通过连接对角线将四边形问题转化为熟悉的三角形相似问题处理，能很好地考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.4
要判断四个关于四边形相似的命题真假，首先明确四边形相似的判定标准：四个内角对应相等，且四条边对应成比例。解题时可对假命题通过构造反例说明满足题设条件的四边形不相似，对真命题通过连接对角线，将四边形问题转化为三角形相似问题，证明其满足四边形相似的全部条件，逐个判断即可得到正确结论。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
1. 对命题①：如图(1)，四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，以点$A'$为圆心、$A'D'$为半径作圆交$C'D'$的延长线于点$D''$，此时四边形$A'B'C'D''$满足三边对应成比例、两邻角对应相等且只有一角为其中两边的夹角，但它与四边形$ABCD$不相似，故①为假命题。
2. 对命题②：如图(2)，四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，以点$C'$为圆心、$C'D'$为半径作圆交过点$D'$且和$A'B'$平行的直线于点$D''$，过点$D''$作$D''A''// D'A'$交$A'B'$于点$A''$，此时$C'D'=C'D''$，四边形$A''B'C'D''$满足题设②的条件，但它与四边形$ABCD$不相似，故②为假命题。
3. 对命题③：已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$，$∠ ABC=∠ A'B'C'$，$∠ BCD=∠ B'C'D'$。连接$BD$、$B'D'$：
在$△ BCD$和$△ B'C'D'$中，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$，$∠BCD=∠B'C'D'$，由SAS判定得$△ BCD∽△ B'C'D'$，因此$\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，且$∠CBD=∠C'B'D'$。
结合$∠ABC=∠A'B'C'$，可得$∠ABD=∠A'B'D'$，因此$△ ABD∽△ A'B'D'$（SAS判定），进而可得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，$∠A=∠A'$，$∠ADB=∠A'D'B'$。
进一步可推得$∠ADC=∠A'D'C'$，此时两个四边形四条边对应成比例，四个角对应相等，故四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，③为真命题。
4. 对命题④：如图(4)，四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，以点$C'$为圆心、$C'A'$为半径作圆交$A'B'$于点$A''$，在$C'A''$左侧作$△ C'A'D'≌△ C'A''D''$，则$C'D'=C'D''$，此时四边形$A''B'C'D''$满足题设④的条件，但它与四边形$ABCD$不相似，故④为假命题。
【答案】
③
【知识点】
四边形相似判定；相似三角形的性质；真假命题判断
【点评】
本题考查四边形相似条件的探究，解题时既需要掌握举反例证明假命题的方法，也可以通过连接对角线将四边形问题转化为熟悉的三角形相似问题处理，能很好地考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.4
三、解答题
11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A(6,4)、B(8,0)、C(2,0). 在图中画出与△ABC 关于原点位似的△A'B'C'，使它与△ABC 的位似比为$\frac{1}{2}$，并求出△A'B'C'与△ABC 的周长比.
11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A(6,4)、B(8,0)、C(2,0). 在图中画出与△ABC 关于原点位似的△A'B'C'，使它与△ABC 的位似比为$\frac{1}{2}$，并求出△A'B'C'与△ABC 的周长比.
答案
11. 图略. $△ A'B'C'$与$△ ABC$的周长比为$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们分两步思考：第一步画位似图形，首先明确位似中心是原点，位似比为$\frac{1}{2}$，根据平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律，对应点的坐标等于原图形对应点坐标乘位似比$k$或$-k$，我们先算出△A'B'C'三个顶点的坐标，再描点连线即可画出图形；第二步求周长比，位似图形是特殊的相似图形，相似三角形的周长比等于相似比（即位似比），直接利用这个性质就能得出结果。
【解析】
1. 画△A'B'C'：
已知△ABC三个顶点坐标为A(6,4)、B(8,0)、C(2,0)，以原点为位似中心，位似比为$\frac{1}{2}$，因此对应点坐标为原坐标乘$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$：
① 若位似图形与原图形在原点同侧：A'(3,2)，B'(4,0)，C'(1,0)；
② 若位似图形与原图形在原点异侧：A'(-3,-2)，B'(-4,0)，C'(-1,0)；
描出对应点后依次连接，即可得到符合要求的△A'B'C'，画图略。
2. 求周长比：
位似图形属于相似图形，△A'B'C'与△ABC的相似比等于位似比$\frac{1}{2}$，根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，因此△A'B'C'与△ABC的周长比为$\frac{1}{2}$。
【答案】
图略，$△ A'B'C'$与$△ ABC$的周长比为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
位似图形性质；相似三角形周长比；坐标系位似变换
【点评】
本题考查位似图形的作图和相关性质应用，核心是掌握原点为位似中心时坐标的变化规律，以及相似图形周长比和相似比的关系，注重基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们分两步思考：第一步画位似图形，首先明确位似中心是原点，位似比为$\frac{1}{2}$，根据平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律，对应点的坐标等于原图形对应点坐标乘位似比$k$或$-k$，我们先算出△A'B'C'三个顶点的坐标，再描点连线即可画出图形；第二步求周长比，位似图形是特殊的相似图形，相似三角形的周长比等于相似比（即位似比），直接利用这个性质就能得出结果。
【解析】
1. 画△A'B'C'：
已知△ABC三个顶点坐标为A(6,4)、B(8,0)、C(2,0)，以原点为位似中心，位似比为$\frac{1}{2}$，因此对应点坐标为原坐标乘$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$：
① 若位似图形与原图形在原点同侧：A'(3,2)，B'(4,0)，C'(1,0)；
② 若位似图形与原图形在原点异侧：A'(-3,-2)，B'(-4,0)，C'(-1,0)；
描出对应点后依次连接，即可得到符合要求的△A'B'C'，画图略。
2. 求周长比：
位似图形属于相似图形，△A'B'C'与△ABC的相似比等于位似比$\frac{1}{2}$，根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，因此△A'B'C'与△ABC的周长比为$\frac{1}{2}$。
【答案】
图略，$△ A'B'C'$与$△ ABC$的周长比为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
位似图形性质；相似三角形周长比；坐标系位似变换
【点评】
本题考查位似图形的作图和相关性质应用，核心是掌握原点为位似中心时坐标的变化规律，以及相似图形周长比和相似比的关系，注重基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，QM在边BC上，AD交PN于点E。已知$BC=36$，$AD=12$，$PQ:PN=5:9$，求矩形PQMN的面积。
答案
12. $\frac{405}{4}$. 提示：设$PQ=5x$，则$PN=9x$，$ED=PQ=5x$，$AE=12-5x$.
由$PN// BC$，得$△ APN∽△ ABC$，故$\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$，即$\frac{12-5x}{12}=\frac{9x}{36}$，解得$x=\frac{3}{2}$.
所以，$PQ=\frac{15}{2}$，$PN=\frac{27}{2}$，$S_{\mathrm{矩形}PQMN}=PQ· PN=\frac{15}{2}×\frac{27}{2}=\frac{405}{4}$.
由$PN// BC$，得$△ APN∽△ ABC$，故$\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$，即$\frac{12-5x}{12}=\frac{9x}{36}$，解得$x=\frac{3}{2}$.
所以，$PQ=\frac{15}{2}$，$PN=\frac{27}{2}$，$S_{\mathrm{矩形}PQMN}=PQ· PN=\frac{15}{2}×\frac{27}{2}=\frac{405}{4}$.
解析
【分析】
本题是三角形内接矩形的计算问题，解题思路如下：首先，矩形的对边平行且相等，可得$PN// BC$，$PQ=ED$，由此可判定$△ APN$与$△ ABC$相似；其次，相似三角形的对应高之比等于对应边的相似比，我们可以结合$PQ$与$PN$的比例关系设未知数，将$AE$、$PN$用含未知数的式子表示；最后代入相似比的等式列方程求解未知数，再计算矩形的长和宽，即可求出面积。
【解析】
解：设$PQ=5x$，由$PQ:PN=5:9$可得$PN=9x$。
$\because$四边形$PQMN$是矩形，$AD$是$BC$边上的高，
$\therefore ED=PQ=5x$，$PN// BC$，
$\therefore AE=AD-ED=12-5x$，且$△ APN∽△ ABC$。
根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，可得：
$\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$
代入$BC=36$，$AD=12$，得：
$\frac{12-5x}{12}=\frac{9x}{36}$
化简得$\frac{12-5x}{12}=\frac{x}{4}$，
两边同乘12得$12-5x=3x$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
$\therefore PQ=5×\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$，$PN=9×\frac{3}{2}=\frac{27}{2}$，
$\therefore$矩形$PQMN$的面积$S=PQ· PN=\frac{15}{2}×\frac{27}{2}=\frac{405}{4}$。
【答案】
$\frac{405}{4}$
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内接矩形类的典型题型，解题核心是利用平行关系得到相似三角形，结合相似三角形对应高与对应边的比例关系建立方程，掌握相似三角形的性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
本题是三角形内接矩形的计算问题，解题思路如下：首先，矩形的对边平行且相等，可得$PN// BC$，$PQ=ED$，由此可判定$△ APN$与$△ ABC$相似；其次，相似三角形的对应高之比等于对应边的相似比，我们可以结合$PQ$与$PN$的比例关系设未知数，将$AE$、$PN$用含未知数的式子表示；最后代入相似比的等式列方程求解未知数，再计算矩形的长和宽，即可求出面积。
【解析】
解：设$PQ=5x$，由$PQ:PN=5:9$可得$PN=9x$。
$\because$四边形$PQMN$是矩形，$AD$是$BC$边上的高，
$\therefore ED=PQ=5x$，$PN// BC$，
$\therefore AE=AD-ED=12-5x$，且$△ APN∽△ ABC$。
根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，可得：
$\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$
代入$BC=36$，$AD=12$，得：
$\frac{12-5x}{12}=\frac{9x}{36}$
化简得$\frac{12-5x}{12}=\frac{x}{4}$，
两边同乘12得$12-5x=3x$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
$\therefore PQ=5×\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$，$PN=9×\frac{3}{2}=\frac{27}{2}$，
$\therefore$矩形$PQMN$的面积$S=PQ· PN=\frac{15}{2}×\frac{27}{2}=\frac{405}{4}$。
【答案】
$\frac{405}{4}$
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内接矩形类的典型题型，解题核心是利用平行关系得到相似三角形，结合相似三角形对应高与对应边的比例关系建立方程，掌握相似三角形的性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
