13 探究一个锐角的半角和倍角的正切值.
(1)【初步尝试】$\tan 60° =$ , $\tan 30° =$ , 即 $\tan 60°$ (填“=”或“≠”)$\tan 30°$.
(2)【实践探究】为探究 $\tan 15°$ 的值, 我们可以通过构造如图(1)所示的 $\mathrm{Rt}△ ABC$, 使$∠ C=90°$, $∠ ABC=30°$, 延长 $CB$ 至点 $D$, 使 $BD=AB$, 连接 $AD$, 可得$∠ D=15°$, 所以 $\tan 15°=\tan D=$ .
(3)【方法应用】请你类比这种方法, 探究 $\tan 22.5°$ 的值.
(4)【拓展延伸】如图(2), 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $\tan B=\dfrac{1}{3}$, 求 $\tan 2B$ 的值.

13. (1) $\sqrt{3}$；$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；≠.
(2) $2-\sqrt{3}$.
(3) $\sqrt{2}-1$. 提示：，构造$\mathrm{Rt}△ABC$，使$∠C=90°$，$∠ABC=45°$，延长$CB$至点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$，可得$∠D=22.5°$. 因为$△ABC$是等腰直角三角形，故可设$AC=BC=a$，则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}a$，于是$BD=AB=\sqrt{2}a$，$CD=CB+BD=a+\sqrt{2}a=(1+\sqrt{2})a$. 因此，$\tan22.5°=\tan D=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{a}{(1+\sqrt{2})a}=\sqrt{2}-1$.
(4) $\dfrac{3}{4}$. 提示：作线段$AB$的垂直平分线，交$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$，连接$AD$，可得$AD=BD$，$∠DAB=∠B$，于是$∠ADC=2∠B$. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，由$\tan B=\dfrac{1}{3}$，可设$AC=x$，$BC=3x$，则$AB=\sqrt{10}x$，$BE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{\sqrt{10}}{2}x$. 在$\mathrm{Rt}△DEB$中，由$\tan B=\dfrac{1}{3}$，可求得$DE=\dfrac{\sqrt{10}}{6}x$，$BD=\dfrac{5}{3}x$，于是$CD=\dfrac{4}{3}x$. 因此，在$\mathrm{Rt}△DCA$中，$\tan2B=\tan∠ADC=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{3}{4}$.

【分析】
(1) 直接回忆特殊角30°、60°的正切值，对比大小即可解答；
(2) 要计算15°的正切值，通过构造等腰△ABD，利用等边对等角和三角形外角性质，可得∠D=15°，设AC为参数，表示出Rt△ACD的两条直角边长度，结合正切定义计算即可；
(3) 类比第(2)问的构造方法，作含45°角的直角三角形，构造等腰三角形得到22.5°的角，设参数表示对应直角边的长度，计算正切值即可；
(4) 要计算2B的正切值，作AB的垂直平分线得到等腰△ABD，利用外角性质可得∠ADC=2∠B，结合tanB的比例设参数，求出Rt△ACD中两条直角边的长度，计算正切值即可。
【解析】
(1) 根据特殊角的三角函数值可知：$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，显然$\sqrt{3}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$\tan60°≠\tan30°$。
(2) 设$AC=a$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=30°$，因此$AB=2AC=2a$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3}a$。
因为$BD=AB=2a$，所以$CD=CB+BD=(\sqrt{3}+2)a$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\tan15°=\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{a}{(2+\sqrt{3})a}=2-\sqrt{3}$。
(3) 构造$\mathrm{Rt}△ABC$，使$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$至点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$。
由$BD=AB$得$∠ D=∠ BAD$，根据三角形外角性质，$∠ ABC=∠ D+∠ BAD=2∠ D$，因此$∠ D=\frac{1}{2}∠ ABC=22.5°$。
设$AC=BC=a$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}a$，因此$BD=AB=\sqrt{2}a$，$CD=CB+BD=(1+\sqrt{2})a$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\tan22.5°=\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{a}{(1+\sqrt{2})a}=\sqrt{2}-1$。
(4) 作线段$AB$的垂直平分线，交$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$，连接$AD$。
由垂直平分线的性质得$AD=BD$，因此$∠ DAB=∠ B$，根据三角形外角性质，$∠ ADC=∠ DAB+∠ B=2∠ B$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}$，设$AC=x$，则$BC=3x$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{10}x$，因此$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{10}}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△DEB$中，$\tan B=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，因此$DE=\frac{1}{3}BE=\frac{\sqrt{10}}{6}x$，由勾股定理得$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\frac{5}{3}x$，因此$CD=BC-BD=3x-\frac{5}{3}x=\frac{4}{3}x$。
在$\mathrm{Rt}△DCA$中，$\tan2B=\tan∠ ADC=\frac{AC}{CD}=\frac{x}{\frac{4}{3}x}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；≠.
(2) $2-\sqrt{3}$.
(3) $\sqrt{2}-1$. 提示：，构造$\mathrm{Rt}△ABC$，使$∠C=90°$，$∠ABC=45°$，延长$CB$至点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$，可得$∠D=22.5°$. 因为$△ABC$是等腰直角三角形，故可设$AC=BC=a$，则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}a$，于是$BD=AB=\sqrt{2}a$，$CD=CB+BD=a+\sqrt{2}a=(1+\sqrt{2})a$. 因此，$\tan22.5°=\tan D=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{a}{(1+\sqrt{2})a}=\sqrt{2}-1$.
(4) $\dfrac{3}{4}$. 提示：作线段$AB$的垂直平分线，交$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$，连接$AD$，可得$AD=BD$，$∠DAB=∠B$，于是$∠ADC=2∠B$. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，由$\tan B=\dfrac{1}{3}$，可设$AC=x$，$BC=3x$，则$AB=\sqrt{10}x$，$BE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{\sqrt{10}}{2}x$. 在$\mathrm{Rt}△DEB$中，由$\tan B=\dfrac{1}{3}$，可求得$DE=\dfrac{\sqrt{10}}{6}x$，$BD=\dfrac{5}{3}x$，于是$CD=\dfrac{4}{3}x$. 因此，在$\mathrm{Rt}△DCA$中，$\tan2B=\tan∠ADC=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{3}{4}$.
【知识点】
特殊角的三角函数值；解直角三角形；等腰三角形的性质
【点评】
本题通过构造等腰三角形将半角、倍角转化为直角三角形的内角，结合解直角三角形的知识求解正切值，渗透了转化的数学思想，能有效锻炼类比探究和图形构造的能力。
【难度系数】
0.6