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10.「2025河南鹤壁二模，★★」如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，垂足为点$D$，$E$，$F$分别是$AC$，$BC$边上的点，且$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{BF}=n$，下列结论：①$△ ADC∽△ CDB$；②$CE· DF=DE· BF$；③当$n=2$时，$EF=CD$；④$∠ EDF=90°$。其中结论正确的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10.C
∵ $CD ⊥ AB$,
∴ $∠ADC = ∠BDC = 90°$,
∴ $∠A+∠ACD = 90°$,
∵ $∠ACB = 90°$,
∴ $∠A+∠B = 90°$,
∴ $∠ACD = ∠B$,
∴ $△ ADC∽△ CDB$,故①正确；
∵ $△ ADC∽△ CDB$,
∴ $\frac{CD}{BD} = \frac{AC}{CB}$,
∵ $\frac{AC}{CE} = \frac{BC}{BF}$,
∴ $\frac{AC}{BC} = \frac{CE}{BF}$,
∴ $\frac{CE}{BF} = \frac{CD}{BD}$,又
∵ $∠ACD = ∠B$,
∴ $△ CDE∽△ BDF$,
∴ $\frac{CE}{BF} = \frac{DE}{DF}$,$∠CDE = ∠BDF$,
∴ $CE · DF=DE · BF$,故②正确；当 $n=2$ 时,$\frac{AC}{CE} = \frac{BC}{BF} = 2$,
∴ $AC = 2CE$,$BC=2BF$,
∴ 点 E 是 AC 的中点,点 F 是 BC 的中点,
∴ EF 是△ABC 的中位线,
∴ $EF=\frac{1}{2} AB$,仅当 $AC=BC$ 时,有$CD=\frac{1}{2} AB = EF$,故③错误；
∵ $∠BDF+∠CDF = ∠BDC = 90°$,
∴ $∠EDF=∠CDE+∠CDF=90°$,故④正确.故选 C.
∵ $CD ⊥ AB$,
∴ $∠ADC = ∠BDC = 90°$,
∴ $∠A+∠ACD = 90°$,
∵ $∠ACB = 90°$,
∴ $∠A+∠B = 90°$,
∴ $∠ACD = ∠B$,
∴ $△ ADC∽△ CDB$,故①正确；
∵ $△ ADC∽△ CDB$,
∴ $\frac{CD}{BD} = \frac{AC}{CB}$,
∵ $\frac{AC}{CE} = \frac{BC}{BF}$,
∴ $\frac{AC}{BC} = \frac{CE}{BF}$,
∴ $\frac{CE}{BF} = \frac{CD}{BD}$,又
∵ $∠ACD = ∠B$,
∴ $△ CDE∽△ BDF$,
∴ $\frac{CE}{BF} = \frac{DE}{DF}$,$∠CDE = ∠BDF$,
∴ $CE · DF=DE · BF$,故②正确；当 $n=2$ 时,$\frac{AC}{CE} = \frac{BC}{BF} = 2$,
∴ $AC = 2CE$,$BC=2BF$,
∴ 点 E 是 AC 的中点,点 F 是 BC 的中点,
∴ EF 是△ABC 的中位线,
∴ $EF=\frac{1}{2} AB$,仅当 $AC=BC$ 时,有$CD=\frac{1}{2} AB = EF$,故③错误；
∵ $∠BDF+∠CDF = ∠BDC = 90°$,
∴ $∠EDF=∠CDE+∠CDF=90°$,故④正确.故选 C.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.「2026广西百色期中，★☆」如图,线段AC,BD交于点O,请你添加一个条件:
11.「2026广西百色期中，★☆」如图,线段AC,BD交于点O,请你添加一个条件:
∠A=∠C(答案不唯一)
,使△AOB∽△COD.答案
11.答案 ∠A=∠C(答案不唯一)
解析 答案不唯一,可添加∠A = ∠C,理由:
∵ ∠AOB = ∠COD,∠A=∠C,
∴ △AOB∽△COD.
解析 答案不唯一,可添加∠A = ∠C,理由:
∵ ∠AOB = ∠COD,∠A=∠C,
∴ △AOB∽△COD.
12. 情境 数学文化 发展史「★☆」《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=0.4 m,BD=0.2 m,AQ=10 m,则树高PQ=
5
m.答案
12.答案 5
解析 由题意可知 $BC//PQ$,
∴ $△ ABD∽△ AQP$,
∴ $\frac{AB}{AQ} = \frac{BD}{PQ}$,即$\frac{0.4}{10} = \frac{0.2}{PQ}$,
∴ $PQ=5$ m.故答案为 5.
解析 由题意可知 $BC//PQ$,
∴ $△ ABD∽△ AQP$,
∴ $\frac{AB}{AQ} = \frac{BD}{PQ}$,即$\frac{0.4}{10} = \frac{0.2}{PQ}$,
∴ $PQ=5$ m.故答案为 5.
13.「2025上海静安一模，★☆」我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”.如图所示的是一张规格为A4的矩形纸片ABCD，将其长边对折（EF为折痕），得到两个全等的A5矩形纸片，且A4，A5这两种规格的矩形纸片相似，那么A4纸的“白银比”为
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
13.答案 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析 设原来矩形的长为 x,宽为 y,则对折后的矩形的长为 y,宽为$\frac{1}{2}x$,
∵ A4,A5 规格的矩形纸片相似,
∴ $x: y = y : \frac{1}{2}x$,
∴ $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x$,
∴ $y: x = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ A4 纸的“白银比”为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析 设原来矩形的长为 x,宽为 y,则对折后的矩形的长为 y,宽为$\frac{1}{2}x$,
∵ A4,A5 规格的矩形纸片相似,
∴ $x: y = y : \frac{1}{2}x$,
∴ $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x$,
∴ $y: x = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ A4 纸的“白银比”为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
14.「2025广东深圳宝安中学期中，★★☆」如图，$△ AOB$与$△ ACD$关于点$A$位似，点$C$的坐标为$(3,4)$，若$△ AOB$与$△ ACD$的面积比为$4:1$，则点$A$的坐标为
$(2,\frac{8}{3})$
。答案
14.答案 $(2,\frac{8}{3})$
解析 如图
,过点 A 作 $AE⊥x$ 轴于点 E,过点 C 作 $CF⊥x$ 轴于点 F,∴ $∠AEO = ∠CFO = 90°$,又
∵ $∠AOE = ∠COF$,
∴ $△ AOE∽△ COF$,
∴ $AE : CF = OE : OF = OA : OC$.
∵ 点 C 的坐标为(3,4),
∴ $OF=3$,$CF=4$.
∵ $△ AOB$ 与$△ ACD$ 关于点 A 位似,$△ AOB$ 与$△ ACD$ 的面积比为 4: 1,
∴ $OA : AC = 2 : 1$,
∴ $OA : OC = 2 : 3$,
∴ $AE : CF = OE : OF = 2 : 3$,
∴ $AE=\frac{8}{3}$,$OE=2$,
∴ 点 A 的坐标为$(2,\frac{8}{3})$.故答案为$(2,\frac{8}{3})$.
