15.「2025宁夏银川灵武期末，★★☆」在每个小正方形的边长都为1的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知$△ ABC$是$4×6$的网格图中的格点三角形，则该网格图中所有与$△ ABC$相似的格点三角形中，最大的三角形面积是.

15.答案 4.5
解析 所有与△ABC 相似的格点三角形中,最大的一个三角形(△A'B'C')如图所示:此时 $S_{△A'B'C'} = \frac{1}{2} ×3×3=4.5$,故答案为 4.5.

16.「★★」如图,在菱形$ABCD$中,$∠ B=60°$,$BC=6$,点$E$为$BC$的中点,点$F$是$AB$上一点,点$G$为$AD$上一点,且$BF=2$,$∠ FEG=60°$,$EG$交$AC$于点$H$,则$\frac{S_{△ BEF}}{S_{△ AGH}}$的值为.

16.答案 4
解析
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $AD// BC$,$AB = BC$,又
∵ $∠B = 60°$,
∴ $△ ABC$ 是等边三角形,
∴ $∠B = ∠ECH = 60°$,
∴ $∠CEH + ∠CHE = 120°$,
∵ $∠FEG = 60°$,
∴ $∠BEF + ∠CEH = 120°$,
∴ $∠BEF = ∠CHE$,
∴ $△ BEF∽△ CHE$,
∴ $\frac{BF}{CE} = \frac{BE}{CH}$,
∵ $BC=6$,点 E 为 BC 的中点,
∴ $CE=BE=3$,又
∵ $BF=2$,
∴ $\frac{2}{3} = \frac{3}{CH}$,
∴ $CH=4.5$,
∵ $AC=BC=6$,
∴ $AH=1.5$,
∴ $\frac{AH}{CH} = \frac{1}{3}$,
∵ $AG // CE$,
∴ $△ AGH ∽ △ CEH$,
∴ $\frac{S_{△AGH}}{S_{△CEH}} = (\frac{AH}{CH})^2 = \frac{1}{9}$,
∴ $S_{△CEH} = 9S_{△AGH}$,
∵ $△ BEF∽△ CHE$,$\frac{BF}{CE} = \frac{2}{3}$,
∴ $\frac{S_{△BEF}}{S_{△CHE}} = (\frac{BF}{CE})^2 = \frac{4}{9}$,
∴ $S_{△CEH} = \frac{9}{4} S_{△BEF}$,
∴ $9S_{△AGH} = \frac{9}{4} S_{△BEF}$,
∴ $S_{△BEF} = 4S_{△AGH}$,
∴ $\frac{S_{△BEF}}{S_{△AGH}} =4$.故答案为 4.

三、解答题(共56分)
17.「2026 贵州六盘水期中，★☆」(8分)如图，直线$l_1,l_2,l_3$分别交直线$l_4$于点$A,B,C$，交直线$l_5$于点$D,E,F$，且$l_1// l_2// l_3$.
(1)如果$EF:DE=5:3,AB=4$,求$AC$的长.
(2)如果$AB=6,BC=8,DF=12$,求$EF$的长.

17.解析 (1)
∵ $l_1// l_2// l_3$,
∴ $\frac{EF}{DE} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{3}$,
∴ $\frac{BC}{4} = \frac{5}{3}$,
∴ $BC=\frac{20}{3}$,
∴ $AC=AB+BC=\frac{32}{3}$.
(2)
∵ $l_1// l_2// l_3$,
∴ $\frac{BC}{AB} = \frac{EF}{DE}$,
∴ $\frac{EF}{12-EF} = \frac{8}{6}$,
∴ $EF=\frac{48}{7}$.

18.「2026甘肃兰州期中，★☆」(8分)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出与△OAB位似的△OA₁B₁,使它与△OAB的相似比为2:1.
(2)将△OAB向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到△O₂A₂B₂,判断△OA₁B₁与△O₂A₂B₂是不是以某一点M为位似中心的位似图形,若是,请在图中画出位似中心M,并写出点M的坐标.

18.解析 (1)如图,△OA₁B₁ 即为所求.
(2)如图,△OA₁B₁ 与△O₂A₂B₂ 是以点 M 为位似中心的位似图形,点 M 的坐标为(-4,2).