19.「2026陕西西安期中，★★☆」(9分)如图,在$△ ABC$中,点$D$为$BC$上一点,点$E$为$AD$上一点,且$∠ DAC=∠ B,CD=CE$.
(1)求证:$△ ACE∽△ BAD$.
(2)若$CE=3,BD=4,AE=2$,求$ED$的长.

19.解析 (1)证明:
∵ $CD=CE$,
∴ $∠CDE = ∠CED$,
∵ $∠ADB = 180°−∠CDE$,$∠AEC = 180°−∠CED$,
∴ $∠ADB = ∠AEC$,又
∵ $∠DAC = ∠B$,
∴ $△ ACE∽△ BAD$.
(2)
∵ $△ ACE∽△ BAD$,
∴ $\frac{AE}{CE} = \frac{BD}{AD}$,即 $\frac{2}{3} = \frac{4}{AD}$,
∴ $AD=6$,
∴ $ED=AD−AE=6−2=4$.

20. 聚焦中考跨学科主题学习「★☆」(9分)阅读与思考:凸透镜在我们的生活中有着广泛的应用,如照相机和望远镜.凸透镜成像规律是一种光学定律.在光学中,由实际光线会聚而成,且能在光屏上呈现的像称为实像.凸透镜成像公式也被称为高斯成像公式,其形式为$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$.
(1)请根据图②提供的信息,用所学数学知识证明高斯成像公式.
(2)当凸透镜的焦距为10 cm,把物体放在离凸透镜30 cm处时,所成的像离凸透镜的距离为.

20.解析 (1)证明:
∵ $∠CAO = ∠DBO = 90°$,$∠AOC = ∠BOD$,
∴ $△ AOC∽△ BOD$,
∴ $\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO}$,
∵ $AC=OE$,
∴ $\frac{OE}{BD} = \frac{AO}{BO}$,
∵ $∠EOF = ∠DBO = 90°$,$∠EFO = ∠DFB$,
∴ $△ EOF∽△ DBF$,
∴ $\frac{OE}{BD} = \frac{OF}{BF}$,
∴ $\frac{AO}{BO} = \frac{OF}{BF}$.
∵ $BO=v$,$OF=f$,
∴ $BF=OB−OF=v−f$,又
∵ $AO=u$,
∴ $\frac{u}{v} = \frac{f}{v−f}$,
∴ $u(v−f)=vf$,
∴ $uv−uf=vf$.
∵ $uvf≠0$,
∴ 等式两边同时除以 $uvf$ 得 $\frac{1}{f} − \frac{1}{v} = \frac{1}{u}$.
∴ $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$.
(2)
∵ 凸透镜的焦距为 10 cm,把物体放在离凸透镜 30 cm处,
∴ $f=10$ cm,$u=30$ cm,
∴ $\frac{1}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{v}$,
∴ $v=15$ cm.故答案为 15 cm.