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二、填空题(每小题4分,共24分)
11.「2026河南信阳淮滨月考，★☆」如图,在平行四边形ABCD中增加一个条件后,平行四边形ABCD就成为矩形,这个条件可以是
11.「2026河南信阳淮滨月考，★☆」如图,在平行四边形ABCD中增加一个条件后,平行四边形ABCD就成为矩形,这个条件可以是
∠ABC=90°(答案不唯一)
.答案
11.答案 ∠ABC=90°(答案不唯一)
解析 若添加∠ABC=90°,则根据矩形的定义可判定平行四边形 ABCD 是矩形.(答案不唯一)
解析 若添加∠ABC=90°,则根据矩形的定义可判定平行四边形 ABCD 是矩形.(答案不唯一)
12.「2025福建中考，★☆」某房梁如图所示，立柱$AD ⊥ BC$，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若$AB=AC=8\ \mathrm{m}$，则DE的长为
4
m.答案
12.答案 4
解析
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADB=90°,
∵ E 是 AB 的中点,
∴ $DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\ \mathrm{m})$.故答案为 4.
解析
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠ADB=90°,
∵ E 是 AB 的中点,
∴ $DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\ \mathrm{m})$.故答案为 4.
13.「2026山西太原实验中学月考，★★☆」如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在x轴上，连接AC，交x轴于点D，若OB=8，AD=3，则点C的坐标为
(4,-3)
。答案
13.答案 (4,-3)
解析
∵ 菱形 OABC 的顶点 B 在 x 轴上,AC 交 x 轴于点 D,OB=8,AD=3,
∴ $OD=\frac{1}{2}OB=4,DC=AD=3,OB⊥AC$,
∴ 点 C 的坐标为(4,-3).
解析
∵ 菱形 OABC 的顶点 B 在 x 轴上,AC 交 x 轴于点 D,OB=8,AD=3,
∴ $OD=\frac{1}{2}OB=4,DC=AD=3,OB⊥AC$,
∴ 点 C 的坐标为(4,-3).
14.「2025甘肃兰州中考，★★☆」如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE=CE。若AB=4√3，则AF=
4
。答案
14.答案 4
解析 如图,连接 AC,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB=BC=4√3,∠ABD=∠CBD,
∵ BE=CE,
∴ BE=CE=2√3,
∵ AE⊥BC,
∴ 直线 AE 为 BC 的垂直平分线,
∴ AB=AC,
∴ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠ABE=60°,
∴ ∠BAE=30°,∠CBD=∠ABD=30°,
∴ ∠BAE=∠ABD,BF=2EF,BE=√3 EF,
∴ AF=BF,EF=2,
∴ AF=BF=2EF=4,故答案为 4.
15.「2026山东青岛即墨实验中学月考，★★☆」如图，E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是
8√5
。答案
15.答案 $8\sqrt{5}$
解析 如图,连接 BD 交 AC 于点 O,
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ BD⊥AC,OD=OB=OA=OC,
∵ AE=CF=2,
∴ OA-AE=OC-CF,即 OE=OF,
∴ 四边形 BEDF 为平行四边形,又
∵ BD⊥EF,
∴ 四边形 BEDF 为菱形,
∴ DE=DF=BE=BF,
∵ AC=BD=8,
∴ $OE=OF=\frac{8-2-2}{2}=2$,由勾股定理得 $DE=\sqrt{OD^2+OE^2}=2\sqrt{5}$,
∴ 四边形 BEDF 的周长$=4DE=4×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$.故答案为 $8\sqrt{5}$.
16.「★☆☆」如图,正方形ABCD的边长是3,点E是边BC上的一个点,且BE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点,连接PB和PE,则PB+PE的最小值是
√10
.答案
16.答案 $\sqrt{10}$
解析 如图,连接 DP,DE,DE 交 AC 于点 P',
∵ 点 B 和点 D 关于 AC 对称,
∴ PB=PD,
∴ PB+PE=PD+PE≥DE,
当点 P 与点 P'重合时,PB+PE 取得最小值,为 DE 的长,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,且其边长为 3,BE=2CE,
∴ ∠DCE=90°,CE=1,CD=3,
在 Rt△DEC 中,由勾股定理得 $DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,
∴ PB+PE 的最小值为$\sqrt{10}$.
故答案为$\sqrt{10}$.
三、解答题(共56分)
17.「2025江苏无锡中考，★☆」(8分)如图,在矩形ABCD中,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,且$BE=CF$,连接AE,DF.
求证:(1) $△ ABE ≌ △ DCF$.
(2) $∠ EAD = ∠ FDA$.
17.「2025江苏无锡中考，★☆」(8分)如图,在矩形ABCD中,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,且$BE=CF$,连接AE,DF.
求证:(1) $△ ABE ≌ △ DCF$.
(2) $∠ EAD = ∠ FDA$.
答案
17.证明 (1)
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠ABC=∠DCB=90°,AB=CD,
∴ ∠ABE=∠DCF=90°,
在△ABE 和△DCF 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ABE=∠DCF, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DCF(SAS).
(2)
∵ △ABE≌△DCF,
∴ ∠EAB=∠FDC,
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠BAD=∠CDA=90°,
∴ ∠BAD+∠EAB=∠CDA+∠FDC,
即 ∠EAD=∠FDA.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠ABC=∠DCB=90°,AB=CD,
∴ ∠ABE=∠DCF=90°,
在△ABE 和△DCF 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ABE=∠DCF, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DCF(SAS).
(2)
∵ △ABE≌△DCF,
∴ ∠EAB=∠FDC,
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠BAD=∠CDA=90°,
∴ ∠BAD+∠EAB=∠CDA+∠FDC,
即 ∠EAD=∠FDA.
