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6.「2026辽宁锦州凌海期中，★★☆」如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC=8，$S_{菱形ABCD}=24$，则菱形ABCD的周长是（
A.12
B.16
C.18
D.20
D
）A.12
B.16
C.18
D.20
答案
6.D
∵ 菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,
∴ AC⊥BD,
∵ $S_{菱形ABCD}=24,AC=8$,
∴ $\frac{1}{2}AC· BD=24$,
∴ $BD=6$,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $AB=BC=CD=AD,OA=\frac{1}{2}AC=4,OB=\frac{1}{2}BD=3$,
在 Rt △ABO 中, 由勾股定理得 $AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$,
∴ 菱形 ABCD 的周长$=4AB=4×5=20$.故选 D.
∵ 菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,
∴ AC⊥BD,
∵ $S_{菱形ABCD}=24,AC=8$,
∴ $\frac{1}{2}AC· BD=24$,
∴ $BD=6$,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ $AB=BC=CD=AD,OA=\frac{1}{2}AC=4,OB=\frac{1}{2}BD=3$,
在 Rt △ABO 中, 由勾股定理得 $AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$,
∴ 菱形 ABCD 的周长$=4AB=4×5=20$.故选 D.
7.「2025广东广州中考，★★☆」如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（
A.$\frac{5}{2}$
B.5
C.4
D.8
B
）A.$\frac{5}{2}$
B.5
C.4
D.8
答案
7.B 如图,连接 AC,BD,
∵ 四边形 ABCD 为菱形,且面积为 10,
∴ $AC⊥BD,\frac{1}{2}AC· BD=10$,
∵ E,F 分别为 AB,BC 的中点,
∴ EF 是△ABC 的中位线,
∴ $EF// AC,EF=\frac{1}{2}AC$,同理可得 $GH// AC,GH=\frac{1}{2}AC$,
$FG// BD,FG=\frac{1}{2}BD$,
∴ $EF// GH,EF=GH,EF⊥FG$,
∴ 四边形 EFGH 为矩形,
∴ $S_{四边形EFGH}=EF· FG=\frac{1}{2}AC· \frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC· BD=5$.故选 B.
知识拓展 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形.中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形);两条对角线相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形).
8.「2025陕西中考，★★☆」如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,延长CB至点E,延长AD至点F,连接AE,CF.若四边形AECF为菱形,则这个菱形的面积为 (
A.9
B.$\frac{39}{8}$
C.$\frac{39}{4}$
D.$\frac{21}{2}$
C
)A.9
B.$\frac{39}{8}$
C.$\frac{39}{4}$
D.$\frac{21}{2}$
答案
8.C
∵ 四边形 AECF 是菱形,
∴ AE=EC,设 AE=x,则 EB=EC-BC=x-2,
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC=90°,
∴ ∠ABE=90°,在 Rt△ABE 中,$AE^2=AB^2+BE^2$,即 $x^2=3^2+(x-2)^2$,解得 $x=\frac{13}{4}$,
∴ 菱形 AECF 的面积$=3×\frac{13}{4}=\frac{39}{4}$.故选 C.
∵ 四边形 AECF 是菱形,
∴ AE=EC,设 AE=x,则 EB=EC-BC=x-2,
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠ABC=90°,
∴ ∠ABE=90°,在 Rt△ABE 中,$AE^2=AB^2+BE^2$,即 $x^2=3^2+(x-2)^2$,解得 $x=\frac{13}{4}$,
∴ 菱形 AECF 的面积$=3×\frac{13}{4}=\frac{39}{4}$.故选 C.
9.「2026辽宁丹东期末改编，★★☆」如图，延长正方形ABCD的边BA至点E，使$AE=BD$，则$∠ E$为（
A.$22.5°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
A
）A.$22.5°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
答案
9.A 如图,连接 AC,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AC=BD,且∠CAB=45°,
又
∵ BD=AE,
∴ AE=CA,
∴ ∠E=∠ACE,
∵ ∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°,
∴ ∠E=22.5°.故选 A.
10. 学科$\frac{特色}{教材变式}$「2026陕西渭南期中，★☆」如图，点E是正方形ABCD的中心(对角线的交点)，以点E为直角顶点作直角$△ EFG$，$△ EFG$的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N，若正方形ABCD的边长为6，则重叠部分四边形EMCN的面积为 (
A.6
B.9
C.12
D.18
B
)A.6
B.9
C.12
D.18
答案
10.B 过点 E 分别作 EP⊥CD 于点 P,EQ⊥BC 于点 Q,如图,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,正方形 ABCD 的边长为 6,
∴ ∠C=90°,BC=CD=6,
∵ EP⊥CD,EQ⊥BC,
∴ ∠EQC=∠EPC=∠C=90°,
∴ 四边形 EQCP 是矩形,
∵ 点 E 是正方形 ABCD 的中心,
∴ $EQ=EP=\frac{1}{2}×6=3$,
∴ 四边形 EQCP 是正方形,
∴ ∠QEP=90°=∠QEN+∠NEP,
∵ ∠FEG=90°,
∴ ∠FEQ+∠QEN=90°,
∴ ∠PEN=∠FEQ,在△MQE 和△NPE 中,$\begin{cases} ∠MQE=∠NPE, \\ EQ=EP, \\ ∠QEM=∠PEN, \end{cases}$
∴ △MQE≌△NPE(ASA),
∴ $S_{△MQE}=S_{△NPE}$,
∴ $S_{四边形EMCN}=S_{正方形EQCP}=3×3=9$.故选 B.
