18.「2026 广东茂名高州期末，★☆」（8分）如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，点$D,E,F$分别是$AB,AC,BC$的中点，连接$DE,DF$。
(1)求证：四边形$DFCE$是菱形。
(2)若$∠ B=67.5°,AC=8$，求菱形$DFCE$的面积。

18.解析 (1)证明:
∵ 点 D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点,
∴ $DE// CF,DE=\frac{1}{2}BC,DF// CE,DF=\frac{1}{2}AC$,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形,
∵ AC=BC,
∴ DE=DF,
∴ 四边形 DFCE 是菱形.
(2)如图,过点 E 作 EG⊥BC 于点 G,

∵ 四边形 DFCE 是菱形,AC=8,
∴ $CF=CE=DF=\frac{1}{2}AC=4$.
∵ AC=BC,∠B=67.5°,
∴ ∠A=∠B=67.5°,
∴ ∠C=180°-∠A-∠B=45°,
∴ $EG=\frac{\sqrt{2}}{2}CE=2\sqrt{2}$,
∴ 菱形 DFCE 的面积$=2\sqrt{2}×4=8\sqrt{2}$.

19. 学科特色教材变式「★★☆」(9分)如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F.
(1)求证:△DAF≅△ECF.
(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数.

19.解析 (1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠D=∠B=90°,AD=BC,
由折叠可知 EC=BC,∠E=∠B,
∴ AD=EC,∠D=∠E,
在△DAF 和△ECF 中,$\begin{cases} ∠DFA=∠EFC, \\ ∠D=∠E, \\ DA=EC, \end{cases}$
∴ △DAF≌△ECF(AAS).
(2)
∵ △DAF≌△ECF,
∴ ∠DAF=∠ECF=40°,
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠DAB=90°,
∴ ∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40°=50°,
由折叠得 $∠CAB=\frac{1}{2}∠EAB=25°$.