20.「★☆」(9分)如图,△ABC中,D,E分别是BC,AC边上的点,F为DE延长线上的点,连接AD,AF,CF.
(1)①AC平分∠DAF;②AF//DC;③E是AC的中点;④DF⊥AC.请从四个条件中,选择三个作为已知条件,剩余的一个作为结论,形成一个真命题,并完成证明.
(2)在(1)的条件下,当AB=AC,且AD平分∠BAC时,四边形ADCF是什么特殊四边形?请证明你的结论.

20.解析 (1)(答案不唯一)已知:①②③,求证:④.
证明:
∵ AC 平分∠DAF,
∴ ∠FAC=∠DAC,
∵ AF//DC,
∴ ∠FAC=∠ACD,
∴ ∠ACD=∠DAC,
∴ DA=DC,
∵ E 是 AC 的中点,
∴ DF⊥AC.
(2)四边形 ADCF 是正方形.
证明:
∵ AB=AC,AD 平分∠BAC,
∴ AD⊥BC,CD=DB,
∵ CE=EA,
∴ $DE=\frac{1}{2}AB,DE// AB$,
∵ AF//DC,
∴ 四边形 ABDF 为平行四边形,
∴ AF=BD,
∵ CD=DB,
∴ AF=CD,
∴ 四边形 ADCF 为平行四边形,
∵ AD⊥BC,DF⊥AC,
∴ 平行四边形 ADCF 为正方形.

21.「★☆」(10分)
(1)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$平分$∠ ACB$,$DE⊥ BC$,$DF⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$,求证:四边形$CEDF$是正方形.
(2)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=60°$,$CD$平分$∠ ACB$,过点$D$作$DE⊥ BC$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$,点$H$是$CD$的中点,连接$HE$,$FH$,$EF$.
①判断四边形$DFHE$的形状,并证明.
②已知$CD=4\sqrt{2}$,求$FE$的长.

21.解析 (1)证明:
∵ CD 平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴ DE=DF,∠DFC=∠DEC=90°,
∵ ∠ACB=90°,
∴ 四边形 CEDF 是正方形.
(2)①四边形 DFHE 为菱形.
证明:
∵ CD 平分∠ACB,∠ACB=60°,
∴ ∠FCD=∠ECD=30°,
∵ DE⊥BC,DF⊥AC,
∴ $DF=DE=\frac{1}{2}CD$,
∵ 点 H 是 CD 的中点,
∴ $FH=\frac{1}{2}CD,HE=\frac{1}{2}CD$,
∴ DF=DE=HF=HE,
∴ 四边形 DFHE 为菱形.
②设 DH 与 EF 的交点为 O(图略).
∵ $CD=4\sqrt{2}$,点 H 是 CD 的中点,
∴ $DH=\frac{1}{2}CD=2\sqrt{2}$,
∵ 四边形 DFHE 为菱形,
∴ $HO=\frac{1}{2}DH=\sqrt{2}$,
∵ $HF=\frac{1}{2}CD=2\sqrt{2}$,
∴ $FE=2OF=2\sqrt{HF^2-OH^2}=2\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{6}$.