22. 核心素养推理能力「2026黑龙江齐齐哈尔月考，★★★」（12分）已知矩形ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
（1）如图1，连接AF，CE，求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长.
（2）如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.

22.解析 (1)
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD//BC,
∴ ∠EAO=∠FCO,
∵ EF 垂直平分 AC,
∴ OA=OC,
在△AOE 和△COF 中,$\begin{cases} ∠EAO=∠FCO, \\ OA=OC, \\ ∠AOE=∠COF, \end{cases}$
∴ △AOE≌△COF(ASA),
∴ OE=OF,
∵ OA=OC,
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形,
∵ EF⊥AC,
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
∴ AF=FC,
设 AF=x cm,则 CF=x cm,
∴ BF=(8-x) cm,
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠B=90°,
在 Rt△ABF 中,由勾股定理得 $4^2+(8-x)^2=x^2$,
解得 x=5,即 AF=5 cm.
(2)显然当点 P 在 AF 上,点 Q 在 CD 上时,A,C,P,Q 四点不可能构成平行四边形;
当 P 点在 AB 上,Q 点在 DE 或 CE 上时,A,C,P,Q 四点不可能构成平行四边形.
因此只有当 P 点在 BF 上,Q 点在 ED 上时,才能构成平行四边形,如图,
∴ 以 A,C,P,Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
∵ 点 P 的速度为每秒 5 cm,点 Q 的速度为每秒 4 cm,运动时间为 t 秒,
∴ PC=5t cm,QA=(12-4t) cm,
∴ 5t=12-4t,解得 $t=\frac{4}{3}$.