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1. 已知$△ ABC$与$△ DEF$的三边长. 下列条件中，能判断这两个三角形相似的是（
A.$AB=3$，$BC=4$，$AC=6$，$DE=6$，$EF=8$，$DF=9$；
B.$AB=12$，$BC=15$，$AC=24$，$DE=16$，$EF=30$，$DF=20$；
C.$AB=4$，$BC=8$，$AC=10$，$DE=20$，$EF=16$，$DF=8$；
D.$AB=3k$，$BC=4k$，$AC=5k$，$DE=6k$，$EF=7k$，$DF=8k$，其中$k＞0$.
C
）A.$AB=3$，$BC=4$，$AC=6$，$DE=6$，$EF=8$，$DF=9$；
B.$AB=12$，$BC=15$，$AC=24$，$DE=16$，$EF=30$，$DF=20$；
C.$AB=4$，$BC=8$，$AC=10$，$DE=20$，$EF=16$，$DF=8$；
D.$AB=3k$，$BC=4k$，$AC=5k$，$DE=6k$，$EF=7k$，$DF=8k$，其中$k＞0$.
答案
1. C.
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，可依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。解题时先将每个选项中两个三角形的三边按相同的顺序（从小到大或从大到小）排列，再依次计算对应边的比值，若三个比值完全相等，则两个三角形相似，反之则不相似。
【解析】
根据相似三角形的三边判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，逐个分析选项：
A. △ABC三边从小到大排序为：AB=3，BC=4，AC=6；△DEF三边从小到大排序为：DE=6，EF=8，DF=9。对应边比值：$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，三个比值不相等，两三角形不相似，A错误。
B. △ABC三边从小到大排序为：AB=12，BC=15，AC=24；△DEF三边从小到大排序为：DE=16，DF=20，EF=30。对应边比值：$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，$\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$，$\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$，三个比值不相等，两三角形不相似，B错误。
C. △ABC三边从小到大排序为：AB=4，BC=8，AC=10；△DEF三边从小到大排序为：DF=8，EF=16，DE=20。对应边比值：$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，$\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，三个比值完全相等，三边对应成比例，两三角形相似，C正确。
D. △ABC三边从小到大排序为：$3k$，$4k$，$5k$；△DEF三边从小到大排序为：$6k$，$7k$，$8k$。对应边比值：$\frac{3k}{6k}=\frac{1}{2}$，$\frac{4k}{7k}=\frac{4}{7}$，$\frac{5k}{8k}=\frac{5}{8}$，三个比值不相等，两三角形不相似，D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比的化简
【点评】
本题核心考查相似三角形的三边判定方法，解题的易错点是未将两个三角形的边按相同顺序排序，导致对应边匹配错误，判断失误，做题时要细心排序再计算比值。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否相似，可依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。解题时先将每个选项中两个三角形的三边按相同的顺序（从小到大或从大到小）排列，再依次计算对应边的比值，若三个比值完全相等，则两个三角形相似，反之则不相似。
【解析】
根据相似三角形的三边判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，逐个分析选项：
A. △ABC三边从小到大排序为：AB=3，BC=4，AC=6；△DEF三边从小到大排序为：DE=6，EF=8，DF=9。对应边比值：$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，三个比值不相等，两三角形不相似，A错误。
B. △ABC三边从小到大排序为：AB=12，BC=15，AC=24；△DEF三边从小到大排序为：DE=16，DF=20，EF=30。对应边比值：$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$，$\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$，$\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$，三个比值不相等，两三角形不相似，B错误。
C. △ABC三边从小到大排序为：AB=4，BC=8，AC=10；△DEF三边从小到大排序为：DF=8，EF=16，DE=20。对应边比值：$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，$\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，三个比值完全相等，三边对应成比例，两三角形相似，C正确。
D. △ABC三边从小到大排序为：$3k$，$4k$，$5k$；△DEF三边从小到大排序为：$6k$，$7k$，$8k$。对应边比值：$\frac{3k}{6k}=\frac{1}{2}$，$\frac{4k}{7k}=\frac{4}{7}$，$\frac{5k}{8k}=\frac{5}{8}$，三个比值不相等，两三角形不相似，D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比的化简
【点评】
本题核心考查相似三角形的三边判定方法，解题的易错点是未将两个三角形的边按相同顺序排序，导致对应边匹配错误，判断失误，做题时要细心排序再计算比值。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知在△ABC中，点D在边AB上. 下列条件中，能判定△ACD与△ABC相似的是（
A.∠ADC=∠A；
B.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$；
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$；
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{BD}{AC}$；
C
）A.∠ADC=∠A；
B.$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$；
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$；
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{BD}{AC}$；
答案
2. C.
解析
【分析】
首先明确待判定相似的△ACD和△ABC存在公共角∠A，这是天然的相等条件。结合相似三角形的判定定理，我们要么再找到一组对应角相等，要么找到夹公共角∠A的两组边对应成比例。夹∠A的边在△ACD中为AD、AC，在△ABC中为AC、AB，因此只要满足$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，就可通过“两边成比例且夹角相等”判定相似，再逐一排查其余选项即可得到答案。
【解析】
△ACD和△ABC有公共角∠A，结合相似三角形判定定理分析选项：
A. 若∠ADC=∠A，仅能说明△ACD的两个内角相等，无法推出与△ABC的另一组对应角相等，不能判定相似，故A错误；
B. 若$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，此时成比例的两组边的夹角分别为∠ACD和∠B，题目未给出这两个角相等，不满足相似三角形的SAS判定，故B错误；
C. 若$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，且两组边的夹角均为公共角∠A，满足“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件，可判定△ACD∽△ABC，故C正确；
D. 若$\frac{AC}{AD}=\frac{BD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=AD· BD$，不符合夹公共角的边成比例的要求，无法判定相似，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题的关键是先挖掘出图形中公共角的隐含条件，应用两边成比例且夹角相等的判定定理时，要注意确认夹角是成比例的两边的对应夹角，避免因边的对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
首先明确待判定相似的△ACD和△ABC存在公共角∠A，这是天然的相等条件。结合相似三角形的判定定理，我们要么再找到一组对应角相等，要么找到夹公共角∠A的两组边对应成比例。夹∠A的边在△ACD中为AD、AC，在△ABC中为AC、AB，因此只要满足$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，就可通过“两边成比例且夹角相等”判定相似，再逐一排查其余选项即可得到答案。
【解析】
△ACD和△ABC有公共角∠A，结合相似三角形判定定理分析选项：
A. 若∠ADC=∠A，仅能说明△ACD的两个内角相等，无法推出与△ABC的另一组对应角相等，不能判定相似，故A错误；
B. 若$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，此时成比例的两组边的夹角分别为∠ACD和∠B，题目未给出这两个角相等，不满足相似三角形的SAS判定，故B错误；
C. 若$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，且两组边的夹角均为公共角∠A，满足“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件，可判定△ACD∽△ABC，故C正确；
D. 若$\frac{AC}{AD}=\frac{BD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=AD· BD$，不符合夹公共角的边成比例的要求，无法判定相似，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题的关键是先挖掘出图形中公共角的隐含条件，应用两边成比例且夹角相等的判定定理时，要注意确认夹角是成比例的两边的对应夹角，避免因边的对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图，已知小方格的边长均相等. 下列选项中，所画的三角形与所给$△ ABC$相似的是（
B.
C
）B.
答案
3. C.
解析
【分析】
要判断哪个选项的三角形与△ABC相似，我们可以利用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理来解决：首先设小方格的边长为1，用勾股定理计算出△ABC的三边长，得到三边的比值；再分别计算各选项中三角形的三边长，求出它们的三边比值；最后对比比值，和△ABC三边比值相等的三角形即为相似三角形。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
第一步：计算△ABC的三边长：
$AB = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$，
$AC = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$，
$BC = 4$，
因此△ABC的三边长度之比为$\sqrt{2}:\sqrt{10}:4 = 1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
第二步：分别计算各选项三角形的三边比：
选项A：三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、4，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{5}:4$，与△ABC的三边比不相等，不相似；
选项B：三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$、3，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{10}:3$，与△ABC的三边比不相等，不相似；
选项C：三边长分别为2、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$、$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，三边比为$2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2} = 1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与△ABC的三边比相等，两三角形相似；
选项D：三边长分别为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$、$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边比与△ABC的三边比不相等，不相似。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形相似判定的典型题，解题核心是准确运用勾股定理求出各边长度，再通过三边比例关系判断相似，掌握方法后不难解答。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项的三角形与△ABC相似，我们可以利用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理来解决：首先设小方格的边长为1，用勾股定理计算出△ABC的三边长，得到三边的比值；再分别计算各选项中三角形的三边长，求出它们的三边比值；最后对比比值，和△ABC三边比值相等的三角形即为相似三角形。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
第一步：计算△ABC的三边长：
$AB = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$，
$AC = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$，
$BC = 4$，
因此△ABC的三边长度之比为$\sqrt{2}:\sqrt{10}:4 = 1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
第二步：分别计算各选项三角形的三边比：
选项A：三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、4，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{5}:4$，与△ABC的三边比不相等，不相似；
选项B：三边长分别为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$、3，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{10}:3$，与△ABC的三边比不相等，不相似；
选项C：三边长分别为2、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$、$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，三边比为$2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2} = 1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与△ABC的三边比相等，两三角形相似；
选项D：三边长分别为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$、$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边比与△ABC的三边比不相等，不相似。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是格点三角形相似判定的典型题，解题核心是准确运用勾股定理求出各边长度，再通过三边比例关系判断相似，掌握方法后不难解答。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如图，线段AC、BD相交于点O，若添加一个条件可使$△ AOB ∽ △ COD$，则添加的条件可以是 。
4. 如图，线段AC、BD相交于点O，若添加一个条件可使$△ AOB ∽ △ COD$，则添加的条件可以是 。
答案
4. $CD// AB$.（答案不唯一）
解析
【分析】
要判定$△ AOB ∽ △ COD$，首先观察图形可得$∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，二者天然相等，已经满足相似三角形判定中“一组角相等”的条件。接下来结合相似三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等，或者这组相等角的夹边对应成比例即可。比如添加$CD// AB$，可通过平行线的性质得到另一组内错角相等，满足两角分别相等的相似判定条件。
【解析】
∵线段$AC$、$BD$相交于点$O$，
∴$∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等）。
若添加条件$CD// AB$，
则$∠ A=∠ C$（两直线平行，内错角相等），
∴$△ AOB ∽ △ COD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
注：也可添加$∠ A=∠ C$、$∠ B=∠ D$、$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$等条件，均满足要求。
【答案】
$CD// AB$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是开放性的相似三角形判定题，解题的突破口是先找到图形中隐含的相等对顶角，再结合相似三角形的判定定理补充缺失的条件，灵活度较高，能很好地考查对相似判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要判定$△ AOB ∽ △ COD$，首先观察图形可得$∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，二者天然相等，已经满足相似三角形判定中“一组角相等”的条件。接下来结合相似三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等，或者这组相等角的夹边对应成比例即可。比如添加$CD// AB$，可通过平行线的性质得到另一组内错角相等，满足两角分别相等的相似判定条件。
【解析】
∵线段$AC$、$BD$相交于点$O$，
∴$∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等）。
若添加条件$CD// AB$，
则$∠ A=∠ C$（两直线平行，内错角相等），
∴$△ AOB ∽ △ COD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
注：也可添加$∠ A=∠ C$、$∠ B=∠ D$、$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$等条件，均满足要求。
【答案】
$CD// AB$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是开放性的相似三角形判定题，解题的突破口是先找到图形中隐含的相等对顶角，再结合相似三角形的判定定理补充缺失的条件，灵活度较高，能很好地考查对相似判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8
