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13. 如图，已知：在$△ ABC$中，$AB=AC$，$P$是$△ ABC$内一点，$∠ PAC=∠ PCB=∠ PBA$. 求证：$CP^2=AP· BP$.
答案
13. 提示：由$∠ PAC = ∠ PCB$，$∠ PCA = ∠ PBC$，得$△ ACP ∽ △ CBP$. 所以，$\frac{AP}{CP} = \frac{CP}{BP}$，即$CP^2 = AP · BP$.
解析
【分析】
要证明等积式$CP^2=AP·BP$，可先根据比例的基本性质将其转化为比例式$\frac{AP}{CP}=\frac{CP}{BP}$，只需证明包含这四条线段的$△ ACP$和$△ CBP$相似即可。首先利用等腰三角形底角相等的性质，结合已知的等角条件，通过角的和差推导得到两组对应角相等，即可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形的性质得到对应比例式，整理后就能得到待证结论。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$（等腰三角形两底角相等），
又$\because ∠ PBA=∠ PCB$，
$\therefore ∠ ABC-∠ PBA=∠ ACB-∠ PCB$，即$∠ PBC=∠ PCA$，
在$△ ACP$和$△ CBP$中：
$\begin{cases}∠ PAC=∠ PCB（已知）\\∠ PCA=∠ PBC（已证）\end{cases}$
$\therefore △ ACP ∽ △ CBP$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AP}{CP}=\frac{CP}{BP}$（相似三角形对应边成比例），
交叉相乘得：$CP^2=AP·BP$。
【答案】
$CP^2=AP·BP$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形证明的常规题型，解题核心是将等积式转化为比例式，再通过角的等量推导得到三角形相似的判定条件，熟练掌握等腰三角形和相似三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明等积式$CP^2=AP·BP$，可先根据比例的基本性质将其转化为比例式$\frac{AP}{CP}=\frac{CP}{BP}$，只需证明包含这四条线段的$△ ACP$和$△ CBP$相似即可。首先利用等腰三角形底角相等的性质，结合已知的等角条件，通过角的和差推导得到两组对应角相等，即可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形的性质得到对应比例式，整理后就能得到待证结论。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$（等腰三角形两底角相等），
又$\because ∠ PBA=∠ PCB$，
$\therefore ∠ ABC-∠ PBA=∠ ACB-∠ PCB$，即$∠ PBC=∠ PCA$，
在$△ ACP$和$△ CBP$中：
$\begin{cases}∠ PAC=∠ PCB（已知）\\∠ PCA=∠ PBC（已证）\end{cases}$
$\therefore △ ACP ∽ △ CBP$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AP}{CP}=\frac{CP}{BP}$（相似三角形对应边成比例），
交叉相乘得：$CP^2=AP·BP$。
【答案】
$CP^2=AP·BP$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形证明的常规题型，解题核心是将等积式转化为比例式，再通过角的等量推导得到三角形相似的判定条件，熟练掌握等腰三角形和相似三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
14 如图，已知：四边形ABCD为菱形，$∠ D=36°$，延长AC到点E，使得$EC=BC$，连接BE.
(1) 求证：$△ ABC ∽ △ AEB$.
(2) 求证：$AD^2=AC · BE$.
(3) 如果$BE=2$，求AC的长.
(1) 求证：$△ ABC ∽ △ AEB$.
(2) 求证：$AD^2=AC · BE$.
(3) 如果$BE=2$，求AC的长.
答案
14. (1) $\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$∠ D=36°$，
$\therefore \ AB=BC$，$∠ D = ∠ ABC = 36°$，$AB // CD$，$AC$平分$∠ BAD$.
$\therefore \ ∠ BAD = 180° - ∠ D = 144°$. $\therefore \ ∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BAD = 72°$.
$\because \ AB=BC$，$\therefore \ ∠ ACB = ∠ BAC = 72°$.
$\because \ EC=BC$，$\therefore \ ∠ CBE = ∠ CEB$. $\therefore \ ∠ CEB = \frac{1}{2}∠ ACB = 36°$.
$\therefore \ ∠ ABC = ∠ AEB$.
$\because \ ∠ BAC = ∠ EAB$，
$\therefore \ △ ABC ∽ △ AEB$.
(2) $\because \ △ ABC ∽ △ AEB$，$\therefore \ \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{EB}$.
$\because \ $ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore \ AD=AB=BC$.
$\therefore \ \frac{AC}{AD} = \frac{AD}{EB}$，即$AD^2 = AC · BE$.
(3) $\because \ ∠ AEB=36°$，$∠ BAE=72°$，$\therefore \ ∠ ABE = 180° - ∠ BAE - ∠ AEB = 72°$.
$\therefore \ ∠ ABE = ∠ BAE$. $\therefore \ AE=BE$.
$\because \ AE=AC+CE$，$EC=BC$，$AB=BC$，$\therefore \ AE=AC+AB$.
$\because \ AD^2 = AC · BE$，$BE=2$，$\therefore \ AB^2=2AC$，$AC+AB=2$.
$\therefore \ (2-AC)^2=2AC$，解得$AC=3-\sqrt{5}$或$AC=3+\sqrt{5}$(舍去).
$\therefore \ AC=3-\sqrt{5}$.
$\therefore \ AB=BC$，$∠ D = ∠ ABC = 36°$，$AB // CD$，$AC$平分$∠ BAD$.
$\therefore \ ∠ BAD = 180° - ∠ D = 144°$. $\therefore \ ∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BAD = 72°$.
$\because \ AB=BC$，$\therefore \ ∠ ACB = ∠ BAC = 72°$.
$\because \ EC=BC$，$\therefore \ ∠ CBE = ∠ CEB$. $\therefore \ ∠ CEB = \frac{1}{2}∠ ACB = 36°$.
$\therefore \ ∠ ABC = ∠ AEB$.
$\because \ ∠ BAC = ∠ EAB$，
$\therefore \ △ ABC ∽ △ AEB$.
(2) $\because \ △ ABC ∽ △ AEB$，$\therefore \ \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{EB}$.
$\because \ $ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore \ AD=AB=BC$.
$\therefore \ \frac{AC}{AD} = \frac{AD}{EB}$，即$AD^2 = AC · BE$.
(3) $\because \ ∠ AEB=36°$，$∠ BAE=72°$，$\therefore \ ∠ ABE = 180° - ∠ BAE - ∠ AEB = 72°$.
$\therefore \ ∠ ABE = ∠ BAE$. $\therefore \ AE=BE$.
$\because \ AE=AC+CE$，$EC=BC$，$AB=BC$，$\therefore \ AE=AC+AB$.
$\because \ AD^2 = AC · BE$，$BE=2$，$\therefore \ AB^2=2AC$，$AC+AB=2$.
$\therefore \ (2-AC)^2=2AC$，解得$AC=3-\sqrt{5}$或$AC=3+\sqrt{5}$(舍去).
$\therefore \ AC=3-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ABC ∽ △ AEB$，可通过“两角对应相等的两个三角形相似”判定：首先找到公共角$∠ BAC=∠ EAB$，再结合菱形的性质、等腰三角形的角度计算，推导得到另一组对应角$∠ ABC=∠ AEB$，即可完成证明。
(2) 利用(1)中相似三角形的对应边成比例得到比例式，再结合菱形四条边相等的性质，将$AB$、$BC$替换为$AD$，交叉相乘即可得到待证的等积式。
(3) 先通过角度计算判定$△ ABE$为等腰三角形，得到$AE=BE$，再结合$AE=AC+CE$、$CE=BC=AB$，将$AE$转化为$AC+AB$，再结合(2)的结论和已知$BE=2$，建立关于$AC$的一元二次方程，求解后舍去不符合边长实际意义的根即可得到$AC$的长。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$∠ D=36°$，
$\therefore \ AB=BC$，$∠ D = ∠ ABC = 36°$，$AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore \ ∠ BAD = 180° - ∠ D = 144°$，$\therefore \ ∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BAD = 72°$，
$\because \ AB=BC$，$\therefore \ ∠ ACB = ∠ BAC = 72°$，
$\because \ EC=BC$，$\therefore \ ∠ CBE = ∠ CEB$，$\therefore \ ∠ CEB = \frac{1}{2}∠ ACB = 36°$，
$\therefore \ ∠ ABC = ∠ AEB$，
又$\because \ ∠ BAC = ∠ EAB$，
$\therefore \ △ ABC ∽ △ AEB$。
(2) $\because \ △ ABC ∽ △ AEB$，$\therefore \ \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{EB}$，
$\because $ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore \ AD=AB=BC$，
$\therefore \ \frac{AC}{AD} = \frac{AD}{EB}$，即$AD^2 = AC · BE$。
(3) $\because \ ∠ AEB=36°$，$∠ BAE=72°$，$\therefore \ ∠ ABE = 180° - ∠ BAE - ∠ AEB = 72°$，
$\therefore \ ∠ ABE = ∠ BAE$，$\therefore \ AE=BE$，
$\because \ AE=AC+CE$，$EC=BC$，$AB=BC$，$\therefore \ AE=AC+AB$，
$\because \ AD^2 = AC · BE$，$BE=2$，$AD=AB$，$\therefore \ AB^2=2AC$，$AC+AB=2$，
将$AB=2-AC$代入$AB^2=2AC$得：$(2-AC)^2=2AC$，
解得$AC=3-\sqrt{5}$或$AC=3+\sqrt{5}$，
$\because AC＜AE=2$，$3+\sqrt{5}＞2$，故舍去，
$\therefore \ AC=3-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 证明成立；(3) $AC=3-\sqrt{5}$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，综合考查了特殊四边形、三角形的相关性质，解题时要先通过角度推导得到角的等量关系，进而证明三角形相似，再结合相似的性质得到边的关系，最后利用方程思想求解未知边长，注意求解后要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明$△ ABC ∽ △ AEB$，可通过“两角对应相等的两个三角形相似”判定：首先找到公共角$∠ BAC=∠ EAB$，再结合菱形的性质、等腰三角形的角度计算，推导得到另一组对应角$∠ ABC=∠ AEB$，即可完成证明。
(2) 利用(1)中相似三角形的对应边成比例得到比例式，再结合菱形四条边相等的性质，将$AB$、$BC$替换为$AD$，交叉相乘即可得到待证的等积式。
(3) 先通过角度计算判定$△ ABE$为等腰三角形，得到$AE=BE$，再结合$AE=AC+CE$、$CE=BC=AB$，将$AE$转化为$AC+AB$，再结合(2)的结论和已知$BE=2$，建立关于$AC$的一元二次方程，求解后舍去不符合边长实际意义的根即可得到$AC$的长。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$∠ D=36°$，
$\therefore \ AB=BC$，$∠ D = ∠ ABC = 36°$，$AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore \ ∠ BAD = 180° - ∠ D = 144°$，$\therefore \ ∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BAD = 72°$，
$\because \ AB=BC$，$\therefore \ ∠ ACB = ∠ BAC = 72°$，
$\because \ EC=BC$，$\therefore \ ∠ CBE = ∠ CEB$，$\therefore \ ∠ CEB = \frac{1}{2}∠ ACB = 36°$，
$\therefore \ ∠ ABC = ∠ AEB$，
又$\because \ ∠ BAC = ∠ EAB$，
$\therefore \ △ ABC ∽ △ AEB$。
(2) $\because \ △ ABC ∽ △ AEB$，$\therefore \ \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{EB}$，
$\because $ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore \ AD=AB=BC$，
$\therefore \ \frac{AC}{AD} = \frac{AD}{EB}$，即$AD^2 = AC · BE$。
(3) $\because \ ∠ AEB=36°$，$∠ BAE=72°$，$\therefore \ ∠ ABE = 180° - ∠ BAE - ∠ AEB = 72°$，
$\therefore \ ∠ ABE = ∠ BAE$，$\therefore \ AE=BE$，
$\because \ AE=AC+CE$，$EC=BC$，$AB=BC$，$\therefore \ AE=AC+AB$，
$\because \ AD^2 = AC · BE$，$BE=2$，$AD=AB$，$\therefore \ AB^2=2AC$，$AC+AB=2$，
将$AB=2-AC$代入$AB^2=2AC$得：$(2-AC)^2=2AC$，
解得$AC=3-\sqrt{5}$或$AC=3+\sqrt{5}$，
$\because AC＜AE=2$，$3+\sqrt{5}＞2$，故舍去，
$\therefore \ AC=3-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 证明成立；(3) $AC=3-\sqrt{5}$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，综合考查了特殊四边形、三角形的相关性质，解题时要先通过角度推导得到角的等量关系，进而证明三角形相似，再结合相似的性质得到边的关系，最后利用方程思想求解未知边长，注意求解后要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.5
