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10 如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，∠AED=∠B，AD=2，AC=3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，那么$\frac{AG}{GF}$的值是
2
。答案
10. 2. 提示：由$∠ AED = ∠ B$，$∠ DAE = ∠ CAB$，得$△ ADE ∽ △ ACB$，则$∠ ADE = ∠ C$. 又由$∠ DAG = ∠ CAF$，得$△ ADG ∽ △ ACF$，得$\frac{AG}{AF} = \frac{AD}{AC} = \frac{2}{3}$，所以$\frac{AG}{GF}=2$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，出现一组等角∠AED=∠B，结合公共角∠DAE=∠CAB，可先判定△ADE与△ACB相似，得到对应角∠ADE=∠C；再结合AF是△ABC的角平分线，可得∠DAG=∠CAF，进而判定△ADG与△ACF相似，利用相似三角形的对应边成比例得到AG与AF的比值，最后推导AG与GF的比值即可。
【解析】
解：在△ADE和△ACB中，
$\{\begin{array}{l}∠AED=∠B \\∠DAE=∠CAB（公共角）\end{array} $
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴∠ADE=∠C。
∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠DAG=∠CAF。
在△ADG和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}∠ADG=∠C \\∠DAG=∠CAF\end{array} $
∴△ADG∽△ACF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$。
设AG=2k，则AF=3k，
∴GF=AF-AG=3k-2k=k，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{2k}{k}=2$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，核心是两次运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定相似三角形，再结合相似三角形对应边成比例求解线段比值，解题的突破口是利用第一组相似得到证明第二组相似所需的等角条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，出现一组等角∠AED=∠B，结合公共角∠DAE=∠CAB，可先判定△ADE与△ACB相似，得到对应角∠ADE=∠C；再结合AF是△ABC的角平分线，可得∠DAG=∠CAF，进而判定△ADG与△ACF相似，利用相似三角形的对应边成比例得到AG与AF的比值，最后推导AG与GF的比值即可。
【解析】
解：在△ADE和△ACB中，
$\{\begin{array}{l}∠AED=∠B \\∠DAE=∠CAB（公共角）\end{array} $
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴∠ADE=∠C。
∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠DAG=∠CAF。
在△ADG和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}∠ADG=∠C \\∠DAG=∠CAF\end{array} $
∴△ADG∽△ACF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$。
设AG=2k，则AF=3k，
∴GF=AF-AG=3k-2k=k，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{2k}{k}=2$。
【答案】
2
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，核心是两次运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定相似三角形，再结合相似三角形对应边成比例求解线段比值，解题的突破口是利用第一组相似得到证明第二组相似所需的等角条件。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图，已知：在$△ ABC$中，$D$是边$AC$的中点，在边$AB$上取点$E$，使得$∠ ADE=∠ B$.
（1）求证：$△ ABC ∽ △ ADE$.
（2）如果$AD=3$，$AE=2$，求$BE$的长.
11. 如图，已知：在$△ ABC$中，$D$是边$AC$的中点，在边$AB$上取点$E$，使得$∠ ADE=∠ B$.
（1）求证：$△ ABC ∽ △ ADE$.
（2）如果$AD=3$，$AE=2$，求$BE$的长.
答案
11. (1) 略. (2) 7.
解析
【分析】
（1）要证明两个三角形相似，可优先用两角对应相等的相似判定定理。观察发现△ABC和△ADE有公共角∠A，题目已给出∠ADE=∠B，满足两角对应相等的条件，即可证明相似。
（2）求BE的长度，已知AE的长，只需先求出AB的长即可。利用相似三角形对应边成比例的性质，结合D是AC中点求出AC的长度，代入比例式算出AB，再减去AE的长度就得到BE的长。
【解析】
（1）证明：在△ABC和△ADE中：
$\because ∠ A=∠ A$（公共角），$∠ ADE=∠ B$（已知），
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：$\because$ D是AC的中点，$AD=3$，
$\therefore AC=2AD=6$。
由（1）得$△ ABC ∽ △ ADE$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
将$AD=3$，$AE=2$，$AC=6$代入得：
$\frac{AB}{3}=\frac{6}{2}$，
解得$AB=9$，
$\therefore BE=AB-AE=9-2=7$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{7}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是找准相似三角形的对应角和对应边，结合已知条件代入计算即可。
【难度系数】
0.8
（1）要证明两个三角形相似，可优先用两角对应相等的相似判定定理。观察发现△ABC和△ADE有公共角∠A，题目已给出∠ADE=∠B，满足两角对应相等的条件，即可证明相似。
（2）求BE的长度，已知AE的长，只需先求出AB的长即可。利用相似三角形对应边成比例的性质，结合D是AC中点求出AC的长度，代入比例式算出AB，再减去AE的长度就得到BE的长。
【解析】
（1）证明：在△ABC和△ADE中：
$\because ∠ A=∠ A$（公共角），$∠ ADE=∠ B$（已知），
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：$\because$ D是AC的中点，$AD=3$，
$\therefore AC=2AD=6$。
由（1）得$△ ABC ∽ △ ADE$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
将$AD=3$，$AE=2$，$AC=6$代入得：
$\frac{AB}{3}=\frac{6}{2}$，
解得$AB=9$，
$\therefore BE=AB-AE=9-2=7$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{7}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是找准相似三角形的对应角和对应边，结合已知条件代入计算即可。
【难度系数】
0.8
12. 如图，已知：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$，点$M$在边$AC$上，$BM$与$CD$交于点$E$，$MN⊥ BM$，交$AB$于点$N$. 求证：$△ AMN∽△ CBE$.
答案
12. 提示：由$∠ A = ∠ BCE$，$∠ AMN = ∠ CBE$，得$△ AMN ∽ △ CBE$.
解析
【分析】
要证明两个三角形相似，可选用“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理推导。首先结合直角三角形两锐角互余的性质，利用同角的余角相等推导第一组对应角∠A与∠BCE相等；再根据平角性质和直角三角形两锐角互余的特点，推导第二组对应角∠AMN与∠CBE相等，两组角对应相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ $∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴ $∠ A + ∠ ABC = 90°$，$∠ BCE + ∠ ABC = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ BCE$（同角的余角相等）。
∵ $MN⊥ BM$，
∴ $∠ NMB=90°$，
∴ $∠ AMN + ∠ BMC = 180° - ∠ NMB = 90°$。
又
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ CBE + ∠ BMC = 90°$，
∴ $∠ AMN = ∠ CBE$（同角的余角相等）。
在$△ AMN$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ BCE \\∠ AMN = ∠ CBE\end{cases}$
∴ $△ AMN ∽ △ CBE$（两角对应相等，两个三角形相似）。
【答案】
$△ AMN ∽ △ CBE$
【知识点】
1. 直角三角形的性质
2. 同角的余角相等
3. 相似三角形判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题核心是通过直角三角形的性质进行角的等量转换，找到两组对应相等的角，需要熟练掌握角的互余关系推导技巧，为后续复杂的相似证明打好基础。
【难度系数】
0.7
要证明两个三角形相似，可选用“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理推导。首先结合直角三角形两锐角互余的性质，利用同角的余角相等推导第一组对应角∠A与∠BCE相等；再根据平角性质和直角三角形两锐角互余的特点，推导第二组对应角∠AMN与∠CBE相等，两组角对应相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ $∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴ $∠ A + ∠ ABC = 90°$，$∠ BCE + ∠ ABC = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ BCE$（同角的余角相等）。
∵ $MN⊥ BM$，
∴ $∠ NMB=90°$，
∴ $∠ AMN + ∠ BMC = 180° - ∠ NMB = 90°$。
又
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ CBE + ∠ BMC = 90°$，
∴ $∠ AMN = ∠ CBE$（同角的余角相等）。
在$△ AMN$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ BCE \\∠ AMN = ∠ CBE\end{cases}$
∴ $△ AMN ∽ △ CBE$（两角对应相等，两个三角形相似）。
【答案】
$△ AMN ∽ △ CBE$
【知识点】
1. 直角三角形的性质
2. 同角的余角相等
3. 相似三角形判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题核心是通过直角三角形的性质进行角的等量转换，找到两组对应相等的角，需要熟练掌握角的互余关系推导技巧，为后续复杂的相似证明打好基础。
【难度系数】
0.7
