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6. 如图，$□ ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，已知 $OE // AB$，那么与 $△ BOE$ 相似的三角形是
△BDC、△DBA
。答案
6. △BDC、△DBA.
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：①四边形ABCD是平行四边形，可得到对边平行、对角线互相平分的性质；②OE//AB。结合相似三角形的判定定理思考：首先，OE平行于△DBA的边AB，可推出△BOE与△DBA相似；再由平行四边形对边AB//CD，结合平行线的传递性得OE//CD，进而推出OE平行于△BDC的边CD，可得到△BOE与△BDC相似。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，对角线交点O是BD的中点。
1. 证明△BOE∽△DBA：
∵OE//AB，
∴∠OBE=∠DBA（公共角），∠BEO=∠BAD（两直线平行，同位角相等），
∴△BOE∽△DBA（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 证明△BOE∽△BDC：
∵AB//CD，OE//AB，
∴OE//CD（平行线的传递性），
∴∠OBE=∠DBC（公共角），∠BEO=∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∴△BOE∽△BDC（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
△BDC、△DBA
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础类几何题，重点考查对相似三角形判定定理和平行四边形性质的掌握，解题时要注意结合平行的传递性找到所有符合要求的相似三角形，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知条件：①四边形ABCD是平行四边形，可得到对边平行、对角线互相平分的性质；②OE//AB。结合相似三角形的判定定理思考：首先，OE平行于△DBA的边AB，可推出△BOE与△DBA相似；再由平行四边形对边AB//CD，结合平行线的传递性得OE//CD，进而推出OE平行于△BDC的边CD，可得到△BOE与△BDC相似。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，对角线交点O是BD的中点。
1. 证明△BOE∽△DBA：
∵OE//AB，
∴∠OBE=∠DBA（公共角），∠BEO=∠BAD（两直线平行，同位角相等），
∴△BOE∽△DBA（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 证明△BOE∽△BDC：
∵AB//CD，OE//AB，
∴OE//CD（平行线的传递性），
∴∠OBE=∠DBC（公共角），∠BEO=∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∴△BOE∽△BDC（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
△BDC、△DBA
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础类几何题，重点考查对相似三角形判定定理和平行四边形性质的掌握，解题时要注意结合平行的传递性找到所有符合要求的相似三角形，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，已知$△ ABC$和$△ GAF$是两个全等的等腰直角三角形，那么图中相似三角形(不包括全等)共有
3
对.答案
7. 3.
解析
【分析】
要找出图中不包括全等的相似三角形，首先回忆相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似。首先结合已知的两个全等等腰直角三角形，先确定所有的45°、90°等角，再寻找公共角或通过角的和差得到相等的角，逐一推导相似三角形，最后排除全等的情况即可。
【解析】
已知△ABC和△GAF是全等的等腰直角三角形，因此可得：
$∠ B=∠ C=∠ FAG=45°$，$∠ BAC=90°$。
1. 对于△ABD和△EAD：
$∠ B=∠ EAD=45°$，且$∠ ADB=∠ EDA$（公共角），根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ EAD$。
2. 对于△EAD和△ECA：
$∠ C=∠ EAD=45°$，且$∠ AEC=∠ DEA$（公共角），根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ EAD ∽ △ ECA$。
3. 由$△ ABD ∽ △ EAD$、$△ EAD ∽ △ ECA$，根据相似的传递性可推出$△ ABD ∽ △ ECA$。
以上3对均不是全等三角形，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题关键是先从等腰直角三角形中得到固定的等角，再结合公共角推导相似关系，注意要排除题目给出的全等三角形，避免重复计数。
【难度系数】
0.7
要找出图中不包括全等的相似三角形，首先回忆相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似。首先结合已知的两个全等等腰直角三角形，先确定所有的45°、90°等角，再寻找公共角或通过角的和差得到相等的角，逐一推导相似三角形，最后排除全等的情况即可。
【解析】
已知△ABC和△GAF是全等的等腰直角三角形，因此可得：
$∠ B=∠ C=∠ FAG=45°$，$∠ BAC=90°$。
1. 对于△ABD和△EAD：
$∠ B=∠ EAD=45°$，且$∠ ADB=∠ EDA$（公共角），根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ EAD$。
2. 对于△EAD和△ECA：
$∠ C=∠ EAD=45°$，且$∠ AEC=∠ DEA$（公共角），根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ EAD ∽ △ ECA$。
3. 由$△ ABD ∽ △ EAD$、$△ EAD ∽ △ ECA$，根据相似的传递性可推出$△ ABD ∽ △ ECA$。
以上3对均不是全等三角形，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题关键是先从等腰直角三角形中得到固定的等角，再结合公共角推导相似关系，注意要排除题目给出的全等三角形，避免重复计数。
【难度系数】
0.7
8. 如图，以下是用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形的四种作法. 在下列图形中，△ABC与△AEF相似的有
（第8题）
①②④
.（填序号）（第8题）答案
8. ①②④.
解析
【分析】要判断△ABC与△AEF是否相似，需结合相似三角形的判定定理，先识别每个图的尺规作图含义，再逐一验证是否满足相似的条件：首先回忆相似三角形的常见判定方法，包括两角对应相等两三角形相似、平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似等；再逐个分析四个作图的作法，判断能否推出两三角形相似的条件。
【解析】我们对四个图形逐一分析：
1. 图①：作图痕迹是作∠AEF=∠B，此时∠AEF=∠B，且∠A是△AEF和△ABC的公共角，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可得△AEF∽△ABC；
2. 图②：作图痕迹表明EF//BC，根据“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得△AEF∽△ABC；
3. 图③：作图痕迹是作∠B和∠C的角平分线，两条角平分线交于点F，无法推出EF与BC平行，也无法证明两组对应角相等，故△AEF与△ABC不相似；
4. 图④：作图痕迹分别是作∠B的角平分线和AB的垂直平分线，可证得EF//BC，结合公共角∠A，可推出△AEF∽△ABC。
综上，△ABC与△AEF相似的是①②④。
【答案】①②④
【知识点】相似三角形的判定；尺规作图识别
【点评】本题将尺规作图和相似三角形的判定结合考查，需要先准确识别常见尺规作图的操作含义，再结合相似判定定理验证，对基础作图和相似判定的掌握程度要求较高。
【难度系数】0.7
【解析】我们对四个图形逐一分析：
1. 图①：作图痕迹是作∠AEF=∠B，此时∠AEF=∠B，且∠A是△AEF和△ABC的公共角，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可得△AEF∽△ABC；
2. 图②：作图痕迹表明EF//BC，根据“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可得△AEF∽△ABC；
3. 图③：作图痕迹是作∠B和∠C的角平分线，两条角平分线交于点F，无法推出EF与BC平行，也无法证明两组对应角相等，故△AEF与△ABC不相似；
4. 图④：作图痕迹分别是作∠B的角平分线和AB的垂直平分线，可证得EF//BC，结合公共角∠A，可推出△AEF∽△ABC。
综上，△ABC与△AEF相似的是①②④。
【答案】①②④
【知识点】相似三角形的判定；尺规作图识别
【点评】本题将尺规作图和相似三角形的判定结合考查，需要先准确识别常见尺规作图的操作含义，再结合相似判定定理验证，对基础作图和相似判定的掌握程度要求较高。
【难度系数】0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=40°$，$D$为边$BC$上一动点(不与点$B$、$C$重合)，连接$AD$，作$∠ ADE=∠ B$，交边$AC$于点$E$. 下面是某学习小组根据题意得到的结论.
甲：$△ ABD ∽ △ DCE$；
乙：如果$AD=DE$，那么$BD=CE$；
丙：当$DE ⊥ AC$时，$D$为边$BC$的中点.
那么学生________的说法正确.(填人名)
甲：$△ ABD ∽ △ DCE$；
乙：如果$AD=DE$，那么$BD=CE$；
丙：当$DE ⊥ AC$时，$D$为边$BC$的中点.
那么学生________的说法正确.(填人名)
答案
9. 甲、乙、丙. 提示：由$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = ∠ ADE + ∠ CDE$，得$∠ BAD = ∠ CDE$. 又由$∠ B = ∠ C$，得$△ ABD ∽ △ DCE$.
解析
【分析】
首先根据已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=40°，接下来逐个验证三个结论：1. 验证甲的结论：利用三角形外角的性质，推导得到∠BAD=∠CDE，结合∠B=∠C，即可根据两角对应相等判定三角形相似；2. 验证乙的结论：结合甲得到的相似三角形的对应边成比例的性质，代入AD=DE的条件即可推导BD和CE的关系；3. 验证丙的结论：当DE⊥AC时先计算∠CDE的度数，再推导∠ADB的度数，结合等腰三角形三线合一的性质判断D是否为BC中点。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°。
①验证甲的结论：
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，且已知∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
又
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE（两角对应相等，两三角形相似），故甲的说法正确。
②验证乙的结论：
若AD=DE，由①得△ABD∽△DCE，
∴对应边成比例：$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$，
把AD=DE代入得$\frac{BD}{CE}=1$，即BD=CE，故乙的说法正确。
③验证丙的结论：
当DE⊥AC时，∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，∠CDE=90°-∠C=90°-40°=50°，
由①得∠BAD=∠CDE=50°，
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-50°=90°，即AD⊥BC，
又
∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，
∴D为边BC的中点，故丙的说法正确。
【答案】
甲、乙、丙
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题需要结合角度推导逐一验证多个结论，综合性较强，能有效考查对等腰三角形、相似三角形相关性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先根据已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=40°，接下来逐个验证三个结论：1. 验证甲的结论：利用三角形外角的性质，推导得到∠BAD=∠CDE，结合∠B=∠C，即可根据两角对应相等判定三角形相似；2. 验证乙的结论：结合甲得到的相似三角形的对应边成比例的性质，代入AD=DE的条件即可推导BD和CE的关系；3. 验证丙的结论：当DE⊥AC时先计算∠CDE的度数，再推导∠ADB的度数，结合等腰三角形三线合一的性质判断D是否为BC中点。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°。
①验证甲的结论：
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，且已知∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
又
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE（两角对应相等，两三角形相似），故甲的说法正确。
②验证乙的结论：
若AD=DE，由①得△ABD∽△DCE，
∴对应边成比例：$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$，
把AD=DE代入得$\frac{BD}{CE}=1$，即BD=CE，故乙的说法正确。
③验证丙的结论：
当DE⊥AC时，∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，∠CDE=90°-∠C=90°-40°=50°，
由①得∠BAD=∠CDE=50°，
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-50°=90°，即AD⊥BC，
又
∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，
∴D为边BC的中点，故丙的说法正确。
【答案】
甲、乙、丙
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题需要结合角度推导逐一验证多个结论，综合性较强，能有效考查对等腰三角形、相似三角形相关性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
