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1. 下列命题中，正确的是 （
A.两个等腰三角形一定相似；
B.两个直角三角形一定相似；
C.两个等边三角形一定相似；
D.两个钝角三角形一定相似。
C
）A.两个等腰三角形一定相似；
B.两个直角三角形一定相似；
C.两个等边三角形一定相似；
D.两个钝角三角形一定相似。
答案
1. C.
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题时先明确相似三角形的核心判定要求：两个三角形对应角相等、对应边成比例则互为相似三角形。接下来我们结合各类三角形的内角、边的特点，逐一分析每个选项，排除不符合判定要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形互为相似三角形，逐一分析选项：
A. 等腰三角形的顶角和底角度数不固定，例如一个等腰三角形顶角为30°、底角为75°，另一个等腰三角形顶角为100°、底角为40°，二者角度不对应相等，因此不一定相似，A错误；
B. 直角三角形仅直角对应相等，其余两个锐角的度数不固定，例如含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，角度不对应相等，因此不一定相似，B错误；
C. 等边三角形的三个内角均为60°，且三条边长度相等，因此任意两个等边三角形的三个角都对应相等，对应边的比值也一定相等，满足相似三角形的判定条件，因此一定相似，C正确；
D. 钝角三角形的钝角度数、其余两个锐角度数均不固定，例如钝角为120°的等腰钝角三角形和钝角为150°的钝角三角形，角度不对应相等，因此不一定相似，D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形判定；特殊三角形性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是理解相似三角形的判定条件，同时要熟练掌握常见三角形的内角和边长特征，通过逐一验证选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形的判定，解题时先明确相似三角形的核心判定要求：两个三角形对应角相等、对应边成比例则互为相似三角形。接下来我们结合各类三角形的内角、边的特点，逐一分析每个选项，排除不符合判定要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形互为相似三角形，逐一分析选项：
A. 等腰三角形的顶角和底角度数不固定，例如一个等腰三角形顶角为30°、底角为75°，另一个等腰三角形顶角为100°、底角为40°，二者角度不对应相等，因此不一定相似，A错误；
B. 直角三角形仅直角对应相等，其余两个锐角的度数不固定，例如含30°角的直角三角形和等腰直角三角形，角度不对应相等，因此不一定相似，B错误；
C. 等边三角形的三个内角均为60°，且三条边长度相等，因此任意两个等边三角形的三个角都对应相等，对应边的比值也一定相等，满足相似三角形的判定条件，因此一定相似，C正确；
D. 钝角三角形的钝角度数、其余两个锐角度数均不固定，例如钝角为120°的等腰钝角三角形和钝角为150°的钝角三角形，角度不对应相等，因此不一定相似，D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形判定；特殊三角形性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是理解相似三角形的判定条件，同时要熟练掌握常见三角形的内角和边长特征，通过逐一验证选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，那么图中相似三角形共有 （
A.2对；
B.3对；
C.4对；
D.5对.
B
）A.2对；
B.3对；
C.4对；
D.5对.
答案
2. B.
解析
【分析】
要找出图中的相似三角形，优先采用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法，先梳理图中已知的直角，再结合公共角、同角的余角相等推导相等的锐角，逐一验证三角形的相似关系即可。
【解析】
已知$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，因此$∠ ADB=∠ ADC=∠ BAC=90°$。
1. 证$△ ABD ∽ △ CBA$：
$∠ B$是公共角，$∠ ADB=∠ BAC=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ CBA$。
2. 证$△ ACD ∽ △ BCA$：
$∠ C$是公共角，$∠ ADC=∠ BAC=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ACD ∽ △ BCA$。
3. 证$△ ABD ∽ △ CAD$：
由$∠ B+∠ BAD=90°$，$∠ CAD+∠ BAD=90°$，得$∠ B=∠ CAD$，又$∠ ADB=∠ ADC=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ CAD$。
综上，图中共有3对相似三角形。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、余角的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题核心是熟练掌握两角判定相似的方法，结合直角三角形的内角关系找等角，计数时注意不要重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
要找出图中的相似三角形，优先采用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法，先梳理图中已知的直角，再结合公共角、同角的余角相等推导相等的锐角，逐一验证三角形的相似关系即可。
【解析】
已知$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，因此$∠ ADB=∠ ADC=∠ BAC=90°$。
1. 证$△ ABD ∽ △ CBA$：
$∠ B$是公共角，$∠ ADB=∠ BAC=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ CBA$。
2. 证$△ ACD ∽ △ BCA$：
$∠ C$是公共角，$∠ ADC=∠ BAC=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ACD ∽ △ BCA$。
3. 证$△ ABD ∽ △ CAD$：
由$∠ B+∠ BAD=90°$，$∠ CAD+∠ BAD=90°$，得$∠ B=∠ CAD$，又$∠ ADB=∠ ADC=90°$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ CAD$。
综上，图中共有3对相似三角形。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、余角的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题核心是熟练掌握两角判定相似的方法，结合直角三角形的内角关系找等角，计数时注意不要重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB$的平分线交边AB于点D，过点D作BC的平行线交边AC于点E. 如果$∠ BCD=∠ A$，那么图中的相似三角形共有 （
A.4对；
B.3对；
C.2对；
D.1对.
A
）A.4对；
B.3对；
C.2对；
D.1对.
答案
3. A.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①CD是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD；②已知∠BCD=∠A，可推出∠ACD=∠BCD=∠A；③DE//BC，可根据平行线的性质得到同位角、内错角相等。再结合相似三角形的AA判定定理（两角对应相等的两个三角形相似），逐一寻找相似三角形，同时可利用相似的传递性辅助判断。
【解析】
我们逐步推导相似三角形：
1. 因为$DE// BC$，所以$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ ACB$，又$∠ A$为公共角，根据AA判定，得$\boldsymbol{△ ADE ∽ △ ABC}$（第1对）。
2. 因为CD平分$∠ ACB$，所以$∠ BCD=∠ ACD$，又已知$∠ BCD=∠ A$，即$∠ A=∠ BCD$，且$∠ B$为$△ ABC$和$△ CBD$的公共角，根据AA判定，得$\boldsymbol{△ ABC ∽ △ CBD}$（第2对）。
3. 由相似的传递性，$△ ADE ∽ △ ABC$，$△ ABC ∽ △ CBD$，可得$\boldsymbol{△ ADE ∽ △ CBD}$（第3对）。
4. 因为$DE// BC$，所以$∠ EDC=∠ BCD$，结合$∠ BCD=∠ A$，得$∠ EDC=∠ A$，又$∠ DCE=∠ ACD$为公共角，根据AA判定，得$\boldsymbol{△ CDE ∽ △ CAD}$（第4对）。
综上，图中共有4对相似三角形。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，角平分线的性质，平行线的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定，解题关键是结合角平分线、平行线的性质找到对应相等的角，用AA判定定理逐一排查，注意不要遗漏由相似传递性得到的相似三角形。
【难度系数】
0.65
解题时先梳理已知条件：①CD是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD；②已知∠BCD=∠A，可推出∠ACD=∠BCD=∠A；③DE//BC，可根据平行线的性质得到同位角、内错角相等。再结合相似三角形的AA判定定理（两角对应相等的两个三角形相似），逐一寻找相似三角形，同时可利用相似的传递性辅助判断。
【解析】
我们逐步推导相似三角形：
1. 因为$DE// BC$，所以$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ ACB$，又$∠ A$为公共角，根据AA判定，得$\boldsymbol{△ ADE ∽ △ ABC}$（第1对）。
2. 因为CD平分$∠ ACB$，所以$∠ BCD=∠ ACD$，又已知$∠ BCD=∠ A$，即$∠ A=∠ BCD$，且$∠ B$为$△ ABC$和$△ CBD$的公共角，根据AA判定，得$\boldsymbol{△ ABC ∽ △ CBD}$（第2对）。
3. 由相似的传递性，$△ ADE ∽ △ ABC$，$△ ABC ∽ △ CBD$，可得$\boldsymbol{△ ADE ∽ △ CBD}$（第3对）。
4. 因为$DE// BC$，所以$∠ EDC=∠ BCD$，结合$∠ BCD=∠ A$，得$∠ EDC=∠ A$，又$∠ DCE=∠ ACD$为公共角，根据AA判定，得$\boldsymbol{△ CDE ∽ △ CAD}$（第4对）。
综上，图中共有4对相似三角形。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，角平分线的性质，平行线的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定，解题关键是结合角平分线、平行线的性质找到对应相等的角，用AA判定定理逐一排查，注意不要遗漏由相似传递性得到的相似三角形。
【难度系数】
0.65
二、填空题
4. 下列命题中，真命题有
① 各有一个角是$45°$的两个等腰三角形是相似三角形；
② 各有一个角是$60°$的两个等腰三角形是相似三角形；
③ 各有一个角是$105°$的两个等腰三角形是相似三角形；
④ 两个等腰直角三角形是相似三角形.
4. 下列命题中，真命题有
②③④
.（填序号）① 各有一个角是$45°$的两个等腰三角形是相似三角形；
② 各有一个角是$60°$的两个等腰三角形是相似三角形；
③ 各有一个角是$105°$的两个等腰三角形是相似三角形；
④ 两个等腰直角三角形是相似三角形.
答案
4. ②③④.
解析
【分析】
解决本题需要结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理与相似三角形的判定定理，对每个命题逐一分析：首先明确等腰三角形的已知角需分是顶角还是底角两种情况讨论，结合三角形内角和为180°确定三角形三个内角的度数，若两个三角形的三个内角对应相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
1. 分析命题①：当一个等腰三角形的顶角为45°时，它的两个底角均为$\frac{180°-45°}{2}=67.5°$；当另一个等腰三角形的底角为45°时，它的顶角为$180°-2×45°=90°$，两个三角形的内角不对应相等，故不相似，①是假命题。
2. 分析命题②：若等腰三角形有一个角为60°，无论这个角是顶角还是底角，该三角形的三个内角均为60°，即均为等边三角形，任意两个等边三角形内角都对应相等，故相似，②是真命题。
3. 分析命题③：等腰三角形中105°的角只能为顶角（若为底角，两个底角和为210°＞180°，不符合三角形内角和定理），因此两个三角形的底角均为$\frac{180°-105°}{2}=37.5°$，内角对应相等，故相似，③是真命题。
4. 分析命题④：等腰直角三角形的三个内角固定为90°、45°、45°，任意两个等腰直角三角形内角都对应相等，故相似，④是真命题。
综上，真命题为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是对等腰三角形的已知角未做分类讨论，解题时要注意：等腰三角形中已知角为钝角时，仅能作为顶角；已知角为锐角时，需分顶角、底角两种情况讨论，再结合相似三角形的判定条件判断即可。
【难度系数】
0.7
解决本题需要结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理与相似三角形的判定定理，对每个命题逐一分析：首先明确等腰三角形的已知角需分是顶角还是底角两种情况讨论，结合三角形内角和为180°确定三角形三个内角的度数，若两个三角形的三个内角对应相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
1. 分析命题①：当一个等腰三角形的顶角为45°时，它的两个底角均为$\frac{180°-45°}{2}=67.5°$；当另一个等腰三角形的底角为45°时，它的顶角为$180°-2×45°=90°$，两个三角形的内角不对应相等，故不相似，①是假命题。
2. 分析命题②：若等腰三角形有一个角为60°，无论这个角是顶角还是底角，该三角形的三个内角均为60°，即均为等边三角形，任意两个等边三角形内角都对应相等，故相似，②是真命题。
3. 分析命题③：等腰三角形中105°的角只能为顶角（若为底角，两个底角和为210°＞180°，不符合三角形内角和定理），因此两个三角形的底角均为$\frac{180°-105°}{2}=37.5°$，内角对应相等，故相似，③是真命题。
4. 分析命题④：等腰直角三角形的三个内角固定为90°、45°、45°，任意两个等腰直角三角形内角都对应相等，故相似，④是真命题。
综上，真命题为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是对等腰三角形的已知角未做分类讨论，解题时要注意：等腰三角形中已知角为钝角时，仅能作为顶角；已知角为锐角时，需分顶角、底角两种情况讨论，再结合相似三角形的判定条件判断即可。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知BD和CE是$△ ABC$的高，BD与CE相交于点O，那么图中与$△ ABD$相似的三角形是
△ACE
△OBE、△OCD
。答案
5. △ACE、△OBE、△OCD.
解析
【分析】
要找出与$△ ABD$相似的三角形，首先明确$△ ABD$是直角三角形，$∠ ADB=90°$，我们可以用“两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）”推导：第一步先找含公共角$∠ A$的直角三角形，可先判断$△ ACE$与它相似；第二步利用“同角的余角相等”得到$∠ ABD=∠ ACE$，再找含$∠ ABD$（或等角$∠ ACE$）的直角三角形，依次验证$△ OBE$、$△ OCD$是否满足AA判定即可。
【解析】
已知$BD$、$CE$是$△ ABC$的高，因此：
$∠ ADB=∠ CDO=∠ BEO=∠ AEC=90°$
1. 证明$△ ABD ∽ △ ACE$：
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}∠ ADB=∠ AEC=90° \\∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
根据AA判定，可得$△ ABD ∽ △ ACE$。
2. 推导角相等：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中$∠ ABD+∠ A=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ACE$中$∠ ACE+∠ A=90°$，根据同角的余角相等，得$∠ ABD=∠ ACE$。
3. 证明$△ ABD ∽ △ OBE$：
在$△ ABD$和$△ OBE$中，
$\begin{cases}∠ ADB=∠ BEO=90° \\∠ ABD=∠ OBE \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
根据AA判定，可得$△ ABD ∽ △ OBE$。
4. 证明$△ ABD ∽ △ OCD$：
在$△ ABD$和$△ OCD$中，
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CDO=90° \\∠ ABD=∠ OCD \quad (\mathrm{已证相等})\end{cases}$
根据AA判定，可得$△ ABD ∽ △ OCD$。
【答案】
$△ ACE$、$△ OBE$、$△ OCD$
【知识点】
1. 相似三角形的AA判定
2. 同角的余角相等
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题核心是熟练掌握两角分别相等的相似判定定理，结合直角性质和角的等量关系找到对应相等的角，解题时要注意逐一排查，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要找出与$△ ABD$相似的三角形，首先明确$△ ABD$是直角三角形，$∠ ADB=90°$，我们可以用“两角分别相等的两个三角形相似（AA判定）”推导：第一步先找含公共角$∠ A$的直角三角形，可先判断$△ ACE$与它相似；第二步利用“同角的余角相等”得到$∠ ABD=∠ ACE$，再找含$∠ ABD$（或等角$∠ ACE$）的直角三角形，依次验证$△ OBE$、$△ OCD$是否满足AA判定即可。
【解析】
已知$BD$、$CE$是$△ ABC$的高，因此：
$∠ ADB=∠ CDO=∠ BEO=∠ AEC=90°$
1. 证明$△ ABD ∽ △ ACE$：
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}∠ ADB=∠ AEC=90° \\∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
根据AA判定，可得$△ ABD ∽ △ ACE$。
2. 推导角相等：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中$∠ ABD+∠ A=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ACE$中$∠ ACE+∠ A=90°$，根据同角的余角相等，得$∠ ABD=∠ ACE$。
3. 证明$△ ABD ∽ △ OBE$：
在$△ ABD$和$△ OBE$中，
$\begin{cases}∠ ADB=∠ BEO=90° \\∠ ABD=∠ OBE \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
根据AA判定，可得$△ ABD ∽ △ OBE$。
4. 证明$△ ABD ∽ △ OCD$：
在$△ ABD$和$△ OCD$中，
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CDO=90° \\∠ ABD=∠ OCD \quad (\mathrm{已证相等})\end{cases}$
根据AA判定，可得$△ ABD ∽ △ OCD$。
【答案】
$△ ACE$、$△ OBE$、$△ OCD$
【知识点】
1. 相似三角形的AA判定
2. 同角的余角相等
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题核心是熟练掌握两角分别相等的相似判定定理，结合直角性质和角的等量关系找到对应相等的角，解题时要注意逐一排查，避免漏解。
【难度系数】
0.7
