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13. 如图，每个小正方形的边长均相等，点A、B、C均在格点上. 请用无刻度的直尺，按照下列要求作图：（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图(1)中作△ABC的中线CD.
（2）在图(2)中作△ABC的高线BE.
（3）已知点P不在格点上，在图(3)中△ABC的边BC上确定点Q，连接PQ，使得 PQ//AB.
（1）在图(1)中作△ABC的中线CD.
（2）在图(2)中作△ABC的高线BE.
（3）已知点P不在格点上，在图(3)中△ABC的边BC上确定点Q，连接PQ，使得 PQ//AB.
答案
13. (1) 如图(1)，CD就是所求的线段. (2) 如图(2)，BE就是所求的线段. (3) 如图(3)，Q就是所求的点.
解析
【分析】
（1）作三角形中线需紧扣中线定义：三角形中线是连接一个顶点和它对边中点的线段。首先找到AB边的中点D，A、B均为格点，通过网格计数即可确定AB的中点位置，再连接C、D两点即可得到中线CD。
（2）作三角形高线要符合高线定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段就是高线。本题需要过点B作AC的垂线，可利用网格线段的垂直特性，找到与AC垂直的线段方向，过B作该方向的直线交AC于E，即可得到高线BE。
（3）要得到PQ//AB，可利用平行线的判定或平行线分线段成比例的性质：先在网格中构造出与AB平行的格点直线，再过点P作这条平行线的平行线，该线与BC的交点就是所求的Q点。
【解析】
（1）通过网格计数确定AB的中点D（D为格点），连接CD，CD即为△ABC的中线。
（2）结合网格的垂直特征，过B作AC的垂线，交AC于点E，BE即为△ABC的高线。
（3）先作出与AB平行的格点直线MN，再过P作MN的平行线，交BC于点Q，点Q即为所求点。
【答案】
【知识点】
1.三角形的中线
2.三角形的高
3.平行线的判定
【点评】
本题是网格操作类作图题，结合三角形基础概念和平行线的性质，考查对几何基础定义的掌握程度和利用网格特征动手操作的能力，解题时需紧扣相关定义，灵活运用格点的位置特征找对应关系。
【难度系数】
0.6
（1）作三角形中线需紧扣中线定义：三角形中线是连接一个顶点和它对边中点的线段。首先找到AB边的中点D，A、B均为格点，通过网格计数即可确定AB的中点位置，再连接C、D两点即可得到中线CD。
（2）作三角形高线要符合高线定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段就是高线。本题需要过点B作AC的垂线，可利用网格线段的垂直特性，找到与AC垂直的线段方向，过B作该方向的直线交AC于E，即可得到高线BE。
（3）要得到PQ//AB，可利用平行线的判定或平行线分线段成比例的性质：先在网格中构造出与AB平行的格点直线，再过点P作这条平行线的平行线，该线与BC的交点就是所求的Q点。
【解析】
（1）通过网格计数确定AB的中点D（D为格点），连接CD，CD即为△ABC的中线。
（2）结合网格的垂直特征，过B作AC的垂线，交AC于点E，BE即为△ABC的高线。
（3）先作出与AB平行的格点直线MN，再过P作MN的平行线，交BC于点Q，点Q即为所求点。
【答案】
【知识点】
1.三角形的中线
2.三角形的高
3.平行线的判定
【点评】
本题是网格操作类作图题，结合三角形基础概念和平行线的性质，考查对几何基础定义的掌握程度和利用网格特征动手操作的能力，解题时需紧扣相关定义，灵活运用格点的位置特征找对应关系。
【难度系数】
0.6
14. 如图，已知：在$□ ABCD$中，E、F分别为边BC、CD上的点，且$BE=DF$，连接AE、AF，$∠ AEC=∠ AFC$。
（1）求证：四边形ABCD是菱形。
（2）如果$AB=AE$，连接BD交AF于点G，延长AF交BC的延长线于点H，$GF=4$，$FH=12$，求DF的长。
（1）求证：四边形ABCD是菱形。
（2）如果$AB=AE$，连接BD交AF于点G，延长AF交BC的延长线于点H，$GF=4$，$FH=12$，求DF的长。
答案
14. (1) $\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore ∠ ABC=∠ ADC$.
$\because ∠ AEC=∠ AFC$，$\therefore 180°-∠ AEC=180°-∠ AFC$，即$∠ AEB=∠ AFD$.
$\because BE=DF$，$\therefore △ ABE≌△ ADF$. $\therefore AB=AD$.
$\therefore$ 四边形ABCD是菱形.
(2) 由(1)，得$∠ BAE=∠ DAF$，$AE=AF$.
设$AG=x$.
$\because GF=4$，$FH=12$，$\therefore AH=x+4+12=x+16$.
$\because$ 四边形ABCD是菱形，$\therefore AB=CB$，$AB// DC$，$AD// CB$.
$\therefore \frac{AG}{GF}=\frac{BG}{GD}$，$\frac{BG}{GD}=\frac{GH}{AG}$. $\therefore \frac{AG}{GF}=\frac{GH}{AG}$，即$AG^2=GF· GH$.
$\because GH=4+12=16$，$\therefore x^2=4×16$，解得$x=8$或$x=-8$(舍去).
$\therefore AG=8$. $\therefore AF=8+4=12$.
$\because AB=AE$，$\therefore CD=AB=AE=AF=12$.
$\because AD// BC$，$\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{AF}{HF}=\frac{12}{12}=1$. $\therefore DF=CF=\frac{1}{2}CD=6$.
$\because ∠ AEC=∠ AFC$，$\therefore 180°-∠ AEC=180°-∠ AFC$，即$∠ AEB=∠ AFD$.
$\because BE=DF$，$\therefore △ ABE≌△ ADF$. $\therefore AB=AD$.
$\therefore$ 四边形ABCD是菱形.
(2) 由(1)，得$∠ BAE=∠ DAF$，$AE=AF$.
设$AG=x$.
$\because GF=4$，$FH=12$，$\therefore AH=x+4+12=x+16$.
$\because$ 四边形ABCD是菱形，$\therefore AB=CB$，$AB// DC$，$AD// CB$.
$\therefore \frac{AG}{GF}=\frac{BG}{GD}$，$\frac{BG}{GD}=\frac{GH}{AG}$. $\therefore \frac{AG}{GF}=\frac{GH}{AG}$，即$AG^2=GF· GH$.
$\because GH=4+12=16$，$\therefore x^2=4×16$，解得$x=8$或$x=-8$(舍去).
$\therefore AG=8$. $\therefore AF=8+4=12$.
$\because AB=AE$，$\therefore CD=AB=AE=AF=12$.
$\because AD// BC$，$\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{AF}{HF}=\frac{12}{12}=1$. $\therefore DF=CF=\frac{1}{2}CD=6$.
解析
【分析】
（1）要证明平行四边形ABCD是菱形，只需证一组邻边相等即可。已知BE=DF，结合∠AEC=∠AFC可推出其补角∠AEB=∠AFD，再利用平行四边形对角相等的性质，证明△ABE≌△ADF，即可得到AB=AD，完成菱形的证明。
（2）首先利用菱形对边平行的性质，得到平行线分线段成比例的关系，通过比例式求出AG的长度，进而得到AF的长度；再结合AB=AE的条件推出CD=AF，最后利用AD//BH得到的相似三角形比例关系，求出DF的长。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$∠ ABC=∠ ADC$。
∵$∠ AEC=∠ AFC$，
∴$180°-∠ AEC=180°-∠ AFC$，即$∠ AEB=∠ AFD$。
在$△ ABE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AFD \\BE=DF \\∠ ABE=∠ ADF\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ADF(\mathrm{ASA})$，
∴$AB=AD$。
∴平行四边形ABCD是菱形。
（2）解：由（1）中$△ ABE≌△ ADF$可得，$∠ BAE=∠ DAF$，$AE=AF$。
设$AG=x$，已知$GF=4$，$FH=12$，
∴$GH=GF+FH=16$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB// DC$，$AD// CB$。
由$AB// DC$得$△ ABG∽△ FDG$，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{BG}{GD}$；
由$AD// CB$得$△ ADG∽△ HBG$，
∴$\frac{BG}{GD}=\frac{GH}{AG}$。
联立得$\frac{AG}{GF}=\frac{GH}{AG}$，即$AG^2=GF· GH$。
代入数值：$x^2=4×16$，解得$x=8$（线段长度为正，舍去$x=-8$），
∴$AG=8$。
∴$AF=AG+GF=8+4=12$。
∵$AB=AE$，且$AE=AF$，菱形四边相等得$AB=CD$，
∴$CD=AB=AE=AF=12$。
∵$AD// BH$，
∴$△ ADF∽△ HCF$，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{AF}{HF}=\frac{12}{12}=1$，即$DF=CF$。
∴$DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
（1）四边形ABCD是菱形，证明见解析；
（2）$DF=6$
【知识点】
菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形、菱形的基础性质，以及全等、相似三角形的应用，第一问难度较低，第二问需要灵活运用平行线推导相似比例关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要证明平行四边形ABCD是菱形，只需证一组邻边相等即可。已知BE=DF，结合∠AEC=∠AFC可推出其补角∠AEB=∠AFD，再利用平行四边形对角相等的性质，证明△ABE≌△ADF，即可得到AB=AD，完成菱形的证明。
（2）首先利用菱形对边平行的性质，得到平行线分线段成比例的关系，通过比例式求出AG的长度，进而得到AF的长度；再结合AB=AE的条件推出CD=AF，最后利用AD//BH得到的相似三角形比例关系，求出DF的长。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$∠ ABC=∠ ADC$。
∵$∠ AEC=∠ AFC$，
∴$180°-∠ AEC=180°-∠ AFC$，即$∠ AEB=∠ AFD$。
在$△ ABE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AFD \\BE=DF \\∠ ABE=∠ ADF\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ADF(\mathrm{ASA})$，
∴$AB=AD$。
∴平行四边形ABCD是菱形。
（2）解：由（1）中$△ ABE≌△ ADF$可得，$∠ BAE=∠ DAF$，$AE=AF$。
设$AG=x$，已知$GF=4$，$FH=12$，
∴$GH=GF+FH=16$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB// DC$，$AD// CB$。
由$AB// DC$得$△ ABG∽△ FDG$，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{BG}{GD}$；
由$AD// CB$得$△ ADG∽△ HBG$，
∴$\frac{BG}{GD}=\frac{GH}{AG}$。
联立得$\frac{AG}{GF}=\frac{GH}{AG}$，即$AG^2=GF· GH$。
代入数值：$x^2=4×16$，解得$x=8$（线段长度为正，舍去$x=-8$），
∴$AG=8$。
∴$AF=AG+GF=8+4=12$。
∵$AB=AE$，且$AE=AF$，菱形四边相等得$AB=CD$，
∴$CD=AB=AE=AF=12$。
∵$AD// BH$，
∴$△ ADF∽△ HCF$，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{AF}{HF}=\frac{12}{12}=1$，即$DF=CF$。
∴$DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
（1）四边形ABCD是菱形，证明见解析；
（2）$DF=6$
【知识点】
菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形、菱形的基础性质，以及全等、相似三角形的应用，第一问难度较低，第二问需要灵活运用平行线推导相似比例关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
