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三、解答题
11. 如图，在$△ ABC$中，延长$CB$至点$D$，使$BD=BC$，在$AC$上取一点$F$，连接$DF$交$AB$于点$E$，过点$F$作$FH// AB$，交$CD$于点$H$. 已知$AC=DE=3$，$EF=2$.
（1）求$\frac{DB}{DH}$的值.
（2）求$AF$的长.
11. 如图，在$△ ABC$中，延长$CB$至点$D$，使$BD=BC$，在$AC$上取一点$F$，连接$DF$交$AB$于点$E$，过点$F$作$FH// AB$，交$CD$于点$H$. 已知$AC=DE=3$，$EF=2$.
（1）求$\frac{DB}{DH}$的值.
（2）求$AF$的长.
答案
11. (1) $\frac{3}{5}$. (2) 2.
解析
【分析】
（1）要求$\frac{DB}{DH}$的值，先观察到$FH// AB$，可得$EB// FH$，在$△ DFH$中应用平行线分线段成比例定理，结合已知$DE$、$EF$的长度先求出$DF$的长度，即可得到对应比例；（2）要求$AF$的长，先利用第一问的比例设$BD=BC=x$，求出$HC$与$BC$的比例，再在$△ ABC$中利用$FH// AB$得到的平行线分线段成比例关系求出$FC$的长度，最后用$AC$减去$FC$即可得到$AF$的长。
【解析】
（1）已知$DE=3$，$EF=2$，因此$DF=DE+EF=3+2=5$。
因为$FH// AB$，即$EB// FH$，在$△ DFH$中，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{DB}{DH}=\frac{DE}{DF}=\frac{3}{5}$。
（2）设$BD=BC=x$，由（1）知$\frac{DB}{DH}=\frac{3}{5}$，所以$DH=\frac{5}{3}x$。
则$BH=DH-BD=\frac{5}{3}x - x=\frac{2}{3}x$，
$HC=BC - BH=x - \frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$，因此$\frac{HC}{BC}=\frac{\frac{1}{3}x}{x}=\frac{1}{3}$。
因为$FH// AB$，在$△ ABC$中，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{FC}{AC}=\frac{HC}{BC}=\frac{1}{3}$。
已知$AC=3$，因此$FC=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×3=1$，
所以$AF=AC-FC=3-1=2$。
【答案】
（1）$\frac{3}{5}$；（2）$2$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时要找准平行线截得的对应三角形和对应线段，结合线段和差关系即可求解，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
（1）要求$\frac{DB}{DH}$的值，先观察到$FH// AB$，可得$EB// FH$，在$△ DFH$中应用平行线分线段成比例定理，结合已知$DE$、$EF$的长度先求出$DF$的长度，即可得到对应比例；（2）要求$AF$的长，先利用第一问的比例设$BD=BC=x$，求出$HC$与$BC$的比例，再在$△ ABC$中利用$FH// AB$得到的平行线分线段成比例关系求出$FC$的长度，最后用$AC$减去$FC$即可得到$AF$的长。
【解析】
（1）已知$DE=3$，$EF=2$，因此$DF=DE+EF=3+2=5$。
因为$FH// AB$，即$EB// FH$，在$△ DFH$中，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{DB}{DH}=\frac{DE}{DF}=\frac{3}{5}$。
（2）设$BD=BC=x$，由（1）知$\frac{DB}{DH}=\frac{3}{5}$，所以$DH=\frac{5}{3}x$。
则$BH=DH-BD=\frac{5}{3}x - x=\frac{2}{3}x$，
$HC=BC - BH=x - \frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$，因此$\frac{HC}{BC}=\frac{\frac{1}{3}x}{x}=\frac{1}{3}$。
因为$FH// AB$，在$△ ABC$中，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{FC}{AC}=\frac{HC}{BC}=\frac{1}{3}$。
已知$AC=3$，因此$FC=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×3=1$，
所以$AF=AC-FC=3-1=2$。
【答案】
（1）$\frac{3}{5}$；（2）$2$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时要找准平行线截得的对应三角形和对应线段，结合线段和差关系即可求解，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
12. 给定线段AB，在线段AB上作点C，使得$AC:BC=3:4$.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
答案
解：
作图方法依据平行线分线段成比例定理：
1. 过点A作任意一条与AB不共线的射线AM；
2. 用圆规在射线AM上从点A开始顺次截取7段长度相等的线段，得到分点$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7$，满足$AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_6=A_6A_7$；
3. 连接$A_7B$，过点$A_3$作$A_3C // A_7B$，交AB于点C。
点C即为所求满足$AC:BC=3:4$的点，保留所有上述作图痕迹即可。
作图方法依据平行线分线段成比例定理：
1. 过点A作任意一条与AB不共线的射线AM；
2. 用圆规在射线AM上从点A开始顺次截取7段长度相等的线段，得到分点$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7$，满足$AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_6=A_6A_7$；
3. 连接$A_7B$，过点$A_3$作$A_3C // A_7B$，交AB于点C。
点C即为所求满足$AC:BC=3:4$的点，保留所有上述作图痕迹即可。
解析
【分析】
本题要求在线段AB上作点C满足$AC:BC=3:4$，本质是将线段AB按3:4的比例分割，可借助平行线分线段成比例定理实现比例的转移：首先构造一条与AB不共线的射线，在射线上截取总份数为$3+4=7$的等长线段，再通过作平行线将射线上的3:4的比例关系转移到AB上，即可得到符合要求的点C。
【解析】
1. 过点A作任意一条不与AB共线的射线AM；
2. 用圆规在射线AM上从点A开始顺次截取7段长度相等的线段，得到分点$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7$，满足$AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_6=A_6A_7$；
3. 连接$A_7B$，过点$A_3$作$A_3C // A_7B$，交AB于点C。
保留射线AM、各等分点、辅助线$A_7B$、平行线$A_3C$的所有作图痕迹即可。
【答案】
点C即为所求，按上述步骤作图并保留全部痕迹即可。
【知识点】
平行线分线段成比例、尺规作图、线段比例分割
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，核心考查平行线分线段成比例定理的实际应用，需要熟练掌握作等长线段、作平行线的基本尺规操作，作图时要保证痕迹清晰完整，不要遗漏辅助线。
【难度系数】
0.8
本题要求在线段AB上作点C满足$AC:BC=3:4$，本质是将线段AB按3:4的比例分割，可借助平行线分线段成比例定理实现比例的转移：首先构造一条与AB不共线的射线，在射线上截取总份数为$3+4=7$的等长线段，再通过作平行线将射线上的3:4的比例关系转移到AB上，即可得到符合要求的点C。
【解析】
1. 过点A作任意一条不与AB共线的射线AM；
2. 用圆规在射线AM上从点A开始顺次截取7段长度相等的线段，得到分点$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7$，满足$AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_6=A_6A_7$；
3. 连接$A_7B$，过点$A_3$作$A_3C // A_7B$，交AB于点C。
保留射线AM、各等分点、辅助线$A_7B$、平行线$A_3C$的所有作图痕迹即可。
【答案】
点C即为所求，按上述步骤作图并保留全部痕迹即可。
【知识点】
平行线分线段成比例、尺规作图、线段比例分割
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，核心考查平行线分线段成比例定理的实际应用，需要熟练掌握作等长线段、作平行线的基本尺规操作，作图时要保证痕迹清晰完整，不要遗漏辅助线。
【难度系数】
0.8
