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5. 在四边形ABCD与四边形EFGH中，如果$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FG}=\frac{CD}{GH}=\frac{DA}{HE}=\frac{4}{7}$，且四边形ABCD的周长为16 cm，则四边形EFGH的周长为
28
cm.答案
5. 28.
解析
【分析】
本题可利用等比性质或相似多边形周长的性质求解。首先观察到两个四边形的四组对应边的比值均为$\frac{4}{7}$，周长是各边长度之和，根据等比性质，可直接得到两个四边形的周长比等于对应边的比值；也可结合相似多边形周长比等于相似比的性质列方程计算，解题时注意不要搞混两个四边形周长比的前后对应关系。
【解析】
解：已知$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FG}=\frac{CD}{GH}=\frac{DA}{HE}=\frac{4}{7}$，
根据等比性质可得：$\frac{AB+BC+CD+DA}{EF+FG+GH+HE}=\frac{4}{7}$，
即$\frac{C_{四边形ABCD}}{C_{四边形EFGH}}=\frac{4}{7}$。
把$C_{四边形ABCD}=16\mathrm{cm}$代入上式，得：
$\frac{16}{C_{四边形EFGH}}=\frac{4}{7}$，
交叉相乘得：$4C_{四边形EFGH}=16×7=112$，
解得：$C_{四边形EFGH}=28\mathrm{cm}$。
【答案】
28
【知识点】
等比性质；相似多边形周长比等于相似比
【点评】
本题属于基础题，主要考查等比性质的应用，也可结合相似多边形的性质求解，解题的关键是明确成比例的对应关系，避免因比的前后项颠倒出错。
【难度系数】
0.9
本题可利用等比性质或相似多边形周长的性质求解。首先观察到两个四边形的四组对应边的比值均为$\frac{4}{7}$，周长是各边长度之和，根据等比性质，可直接得到两个四边形的周长比等于对应边的比值；也可结合相似多边形周长比等于相似比的性质列方程计算，解题时注意不要搞混两个四边形周长比的前后对应关系。
【解析】
解：已知$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FG}=\frac{CD}{GH}=\frac{DA}{HE}=\frac{4}{7}$，
根据等比性质可得：$\frac{AB+BC+CD+DA}{EF+FG+GH+HE}=\frac{4}{7}$，
即$\frac{C_{四边形ABCD}}{C_{四边形EFGH}}=\frac{4}{7}$。
把$C_{四边形ABCD}=16\mathrm{cm}$代入上式，得：
$\frac{16}{C_{四边形EFGH}}=\frac{4}{7}$，
交叉相乘得：$4C_{四边形EFGH}=16×7=112$，
解得：$C_{四边形EFGH}=28\mathrm{cm}$。
【答案】
28
【知识点】
等比性质；相似多边形周长比等于相似比
【点评】
本题属于基础题，主要考查等比性质的应用，也可结合相似多边形的性质求解，解题的关键是明确成比例的对应关系，避免因比的前后项颠倒出错。
【难度系数】
0.9
6. “水瓶琴”是一种通过敲击装有不同水量的瓶子来发声的自制打击乐器. 如图，如果当液面高度AC与瓶高AB的比值为黄金数时，可以敲击出音符“sol”的声音，已知AB=10 cm，那么AC=
$5\sqrt{5}-5$
cm.答案
6. $5\sqrt{5}-5$.
解析
【分析】
首先明确黄金数（黄金比）的取值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，题目给出液面高度$AC$与瓶高$AB$的比值等于黄金数，已知$AB$的长度为10cm，只需将$AB$的长度代入比例关系，通过计算即可求出$AC$的长度。
【解析】
根据黄金分割的定义可知，黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
由题意得：$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知$AB=10\mathrm{cm}$，将$AB=10$代入上式可得：
$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5\sqrt{5}-5$（cm）。
【答案】
$5\sqrt{5}-5$
【知识点】
黄金分割；二次根式计算
【点评】
本题考查黄金分割的相关计算，解题的关键是熟记黄金比的数值，直接代入数据计算即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先明确黄金数（黄金比）的取值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，题目给出液面高度$AC$与瓶高$AB$的比值等于黄金数，已知$AB$的长度为10cm，只需将$AB$的长度代入比例关系，通过计算即可求出$AC$的长度。
【解析】
根据黄金分割的定义可知，黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
由题意得：$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知$AB=10\mathrm{cm}$，将$AB=10$代入上式可得：
$AC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5\sqrt{5}-5$（cm）。
【答案】
$5\sqrt{5}-5$
【知识点】
黄金分割；二次根式计算
【点评】
本题考查黄金分割的相关计算，解题的关键是熟记黄金比的数值，直接代入数据计算即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$AB // CD$，$AC$交$BD$于点$O$. 如果$\frac{AO}{CO}=\frac{3}{5}$，$BO=6$，那么$DO=$
10
.答案
7. 10.
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件AB//CD，可得到两组内错角相等，再结合对顶角相等，可证明△AOB与△COD相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，得到AO与CO的比等于BO与DO的比，将已知的比值和BO的长度代入比例式，即可计算出DO的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$（相似三角形对应边成比例）。
将$\frac{AO}{CO}=\frac{3}{5}$，BO=6代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{6}{DO}$，
解得：$DO=\frac{6×5}{3}=10$。
【答案】
10
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用平行线和对顶角的性质证明三角形相似，再借助相似三角形的线段比例关系求解未知线段长度，解题时要注意对应边不要找错。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知条件AB//CD，可得到两组内错角相等，再结合对顶角相等，可证明△AOB与△COD相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，得到AO与CO的比等于BO与DO的比，将已知的比值和BO的长度代入比例式，即可计算出DO的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴△AOB∽△COD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$（相似三角形对应边成比例）。
将$\frac{AO}{CO}=\frac{3}{5}$，BO=6代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{6}{DO}$，
解得：$DO=\frac{6×5}{3}=10$。
【答案】
10
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用平行线和对顶角的性质证明三角形相似，再借助相似三角形的线段比例关系求解未知线段长度，解题时要注意对应边不要找错。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$△ ABC$ 中，已知 $AC=8$，$BC=12$，$BD=3AD$，$DE // AC$，$DF // BC$，那么四边形 $DECF$ 的周长为
（第8题）
18
。（第8题）答案
8. 18.
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步，先根据DE//AC、DF//BC的条件，判定四边形DECF是平行四边形，由平行四边形对边相等的性质，可知求它的周长可转化为求相邻两边DE和DF长度和的2倍，简化问题。第二步，根据已知BD=3AD，推导出AD与AB的比、BD与AB的比，为后续比例计算做准备。第三步，利用平行线截三角形可得到相似三角形的规律，分别根据DF//BC推出△ADF∽△ABC，求出DF的长度；根据DE//AC推出△BDE∽△BAC，求出DE的长度。第四步，将DE和DF的长度代入周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$DE// AC$，$DF// BC$，
∴四边形$DECF$是平行四边形，
∴$DF=EC$，$DE=FC$，因此四边形$DECF$的周长$=2(DE+DF)$。
∵$BD=3AD$，
∴$AB=AD+BD=4AD$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{3}{4}$。
∵$DF// BC$，
∴$△ ADF ∽ △ ABC$，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$，
代入$BC=12$，得$DF=12×\frac{1}{4}=3$。
∵$DE// AC$，
∴$△ BDE ∽ △ BAC$，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{4}$，
代入$AC=8$，得$DE=8×\frac{3}{4}=6$。
∴四边形$DECF$的周长$=2×(6+3)=18$。
【答案】
18
【知识点】
平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；比例线段计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心考点是通过平行关系识别平行四边形与相似三角形，结合已知线段比例关系求解对应边长，是相似相关知识的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：第一步，先根据DE//AC、DF//BC的条件，判定四边形DECF是平行四边形，由平行四边形对边相等的性质，可知求它的周长可转化为求相邻两边DE和DF长度和的2倍，简化问题。第二步，根据已知BD=3AD，推导出AD与AB的比、BD与AB的比，为后续比例计算做准备。第三步，利用平行线截三角形可得到相似三角形的规律，分别根据DF//BC推出△ADF∽△ABC，求出DF的长度；根据DE//AC推出△BDE∽△BAC，求出DE的长度。第四步，将DE和DF的长度代入周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$DE// AC$，$DF// BC$，
∴四边形$DECF$是平行四边形，
∴$DF=EC$，$DE=FC$，因此四边形$DECF$的周长$=2(DE+DF)$。
∵$BD=3AD$，
∴$AB=AD+BD=4AD$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{3}{4}$。
∵$DF// BC$，
∴$△ ADF ∽ △ ABC$，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$，
代入$BC=12$，得$DF=12×\frac{1}{4}=3$。
∵$DE// AC$，
∴$△ BDE ∽ △ BAC$，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{4}$，
代入$AC=8$，得$DE=8×\frac{3}{4}=6$。
∴四边形$DECF$的周长$=2×(6+3)=18$。
【答案】
18
【知识点】
平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；比例线段计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心考点是通过平行关系识别平行四边形与相似三角形，结合已知线段比例关系求解对应边长，是相似相关知识的典型常考题。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知在△ABC中，AB=9，AD是中线，E是AD的中点，那么线段BF的长为
6
。答案
9. 6. 提示：如图，过点D作$DG// CF$，交AB于点G. 由$DG// CF$，得$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}=1$，得$BG=GF$；$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}=1$，得$AF=FG$. 所以，$BF=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×9=6$.
解析
【分析】
要求线段BF的长，已知AB的总长度，需先推导BF和AB的数量关系。题目给出AD是△ABC的中线（即D为BC中点）、E是AD中点，出现多个中点，可通过构造平行线转化比例关系求解：过D作DG平行于CF交AB于G，先结合D是BC中点和平行线分线段成比例定理得到BG=GF，再结合E是AD中点和平行线分线段成比例定理得到AF=FG，由此可知AB被三等分，即可求出BF的长度。
【解析】
解：过点D作$DG// CF$，交AB于点G。
1. 因为AD是△ABC的中线，所以$BD=DC$。
又$DG// CF$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}=1$，因此$BG=GF$。
2. 因为E是AD的中点，所以$AE=ED$。
又$DG// CF$，即$EF// DG$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}=1$，因此$AF=FG$。
3. 综上可得$AF=FG=BG$，即AB被分为三等份，因此$BF=BG+GF=\frac{2}{3}AB$。
将$AB=9$代入计算：$BF=\frac{2}{3}×9=6$。
【答案】
6
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中线，线段中点
【点评】
本题是典型的构造平行线求解线段长度的题型，核心是通过作平行线结合已知中点条件推导线段的等分关系，这类辅助线的构造思路在几何线段求解问题中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要求线段BF的长，已知AB的总长度，需先推导BF和AB的数量关系。题目给出AD是△ABC的中线（即D为BC中点）、E是AD中点，出现多个中点，可通过构造平行线转化比例关系求解：过D作DG平行于CF交AB于G，先结合D是BC中点和平行线分线段成比例定理得到BG=GF，再结合E是AD中点和平行线分线段成比例定理得到AF=FG，由此可知AB被三等分，即可求出BF的长度。
【解析】
解：过点D作$DG// CF$，交AB于点G。
1. 因为AD是△ABC的中线，所以$BD=DC$。
又$DG// CF$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}=1$，因此$BG=GF$。
2. 因为E是AD的中点，所以$AE=ED$。
又$DG// CF$，即$EF// DG$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}=1$，因此$AF=FG$。
3. 综上可得$AF=FG=BG$，即AB被分为三等份，因此$BF=BG+GF=\frac{2}{3}AB$。
将$AB=9$代入计算：$BF=\frac{2}{3}×9=6$。
【答案】
6
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中线，线段中点
【点评】
本题是典型的构造平行线求解线段长度的题型，核心是通过作平行线结合已知中点条件推导线段的等分关系，这类辅助线的构造思路在几何线段求解问题中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
10 如图，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$BC=16$，E是边BC的中点，F是$□ ABCD$内一点，且$∠ BFC=90°$，连接并延长AF，交CD于点G。如果$EF// AB$，那么DG的长为
4
。答案
10. 4. 提示：如图，延长BF交CD的延长线于点H. 由$AB// CD// EF$，得$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EC}=1$，即$BF=FH$. 因为$∠ BFC=90°$，所以CF是BH的垂直平分线，则$BC=CH=16$，则$DH=6$. 由“ASA”可证$△ ABF≌△ GHF$，所以$AB=GH=10$，所以$DG=GH-DH=4$.
解析
【分析】
解题时首先结合已知的平行条件、中点条件和直角特征，考虑构造辅助线：延长BF交CD的延长线于H。首先利用平行线分线段成比例，结合E是BC中点，得到F是BH的中点；再结合∠BFC=90°，可得CF垂直平分BH，推出CH=BC；接下来通过平行线的内错角相等，结合对顶角和BF=FH，证明△ABF≌△GHF，得到GH=AB；最后通过线段的和差关系即可求出DG的长度。
【解析】
解：如图，延长BF交CD的延长线于点H。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD=10。
∵ EF//AB，
∴ AB//EF//CD，
∵ E是BC的中点，即BE=EC，
∴ 由平行线分线段成比例可得$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EC}=1$，即BF=FH。
∵ ∠BFC=90°，
∴ CF⊥BH，即CF是线段BH的垂直平分线，
∴ BC=CH=16。
∴ DH=CH - CD=16 - 10=6。
∵ AB//CH，
∴ ∠ABF=∠H，
在△ABF和△GHF中：
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠H \\BF=FH \\∠AFB=∠GFH\end{array} $
∴ △ABF≌△GHF（ASA），
∴ AB=GH=10，
∴ DG=GH - DH=10 - 6=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何综合计算题，解题的核心是合理构造辅助线，将平行、中点、直角的条件结合起来转化线段关系，能有效考查学生的几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知的平行条件、中点条件和直角特征，考虑构造辅助线：延长BF交CD的延长线于H。首先利用平行线分线段成比例，结合E是BC中点，得到F是BH的中点；再结合∠BFC=90°，可得CF垂直平分BH，推出CH=BC；接下来通过平行线的内错角相等，结合对顶角和BF=FH，证明△ABF≌△GHF，得到GH=AB；最后通过线段的和差关系即可求出DG的长度。
【解析】
解：如图，延长BF交CD的延长线于点H。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD=10。
∵ EF//AB，
∴ AB//EF//CD，
∵ E是BC的中点，即BE=EC，
∴ 由平行线分线段成比例可得$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EC}=1$，即BF=FH。
∵ ∠BFC=90°，
∴ CF⊥BH，即CF是线段BH的垂直平分线，
∴ BC=CH=16。
∴ DH=CH - CD=16 - 10=6。
∵ AB//CH，
∴ ∠ABF=∠H，
在△ABF和△GHF中：
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠H \\BF=FH \\∠AFB=∠GFH\end{array} $
∴ △ABF≌△GHF（ASA），
∴ AB=GH=10，
∴ DG=GH - DH=10 - 6=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何综合计算题，解题的核心是合理构造辅助线，将平行、中点、直角的条件结合起来转化线段关系，能有效考查学生的几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
