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一、选择题
1. 如图，已知直线$a// b// c$，如果$AC:CM:MB=4:3:3$，那么$\frac{DF}{ME}$的值是（
A.$\frac{4}{3}$；
B.$\frac{3}{4}$；
C.$\frac{2}{3}$；
D.$\frac{3}{2}$.
1. 如图，已知直线$a// b// c$，如果$AC:CM:MB=4:3:3$，那么$\frac{DF}{ME}$的值是（
A
）A.$\frac{4}{3}$；
B.$\frac{3}{4}$；
C.$\frac{2}{3}$；
D.$\frac{3}{2}$.
答案
1. A.
解析
【分析】
遇到一组平行线截两条直线的题型，首先想到运用平行线分线段成比例定理求解。本题已知直线a//b//c，给出了截线AB上各线段的比例关系，要求$\frac{DF}{ME}$的值，只需要找到DF、ME分别在截线AB上对应的成比例线段，代入已知比例计算即可。
【解析】
解：根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
∵$a// b// c$
∴$\frac{DF}{ME}=\frac{AC}{CM}$
已知$AC:CM:MB=4:3:3$，即$AC:CM=4:3$
∴$\frac{DF}{ME}=\frac{4}{3}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题的核心是找准所求线段对应的比例线段，难度较低，熟练掌握定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
遇到一组平行线截两条直线的题型，首先想到运用平行线分线段成比例定理求解。本题已知直线a//b//c，给出了截线AB上各线段的比例关系，要求$\frac{DF}{ME}$的值，只需要找到DF、ME分别在截线AB上对应的成比例线段，代入已知比例计算即可。
【解析】
解：根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
∵$a// b// c$
∴$\frac{DF}{ME}=\frac{AC}{CM}$
已知$AC:CM:MB=4:3:3$，即$AC:CM=4:3$
∴$\frac{DF}{ME}=\frac{4}{3}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题的核心是找准所求线段对应的比例线段，难度较低，熟练掌握定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 如图，已知在$△ ABC$中，O是边AB的中点，以点B为圆心作弧，分别交BA、BC于点D、E；以点O为圆心、以BD为半径作弧，交OA于点F；再以点F为圆心、以DE为半径作弧，交前弧于点G；作直线OG，交AC于点M. 下列结论中，不成立的是 （
A.$∠ AOM=∠ B$；
B.$∠ OMC+∠ C=180°$；
C.$AM=CM$；
D.$OM=\frac{1}{2}AB$.
D
）A.$∠ AOM=∠ B$；
B.$∠ OMC+∠ C=180°$；
C.$AM=CM$；
D.$OM=\frac{1}{2}AB$.
答案
2. D.
解析
【分析】
首先根据题目中的尺规作图步骤，提取边相等的条件：同圆半径相等，可得BD=BE、OF=OG=BD、FG=DE，通过SSS证明△OFG≌△BDE，推出同位角∠AOM=∠B，进而得到OM//BC；再结合O是AB中点的条件，利用三角形中位线的判定和性质，逐一验证四个选项即可。
【解析】
1. 验证A选项：
由作图可知，BD=BE（同圆半径相等），OF=OG=BD（同圆半径相等），FG=DE（同圆半径相等）。
在△OFG和△BDE中：
$\{\begin{array}{l} OF=BD\\ OG=BE\\ FG=DE\end{array} $
∴△OFG≌△BDE（SSS），
∴∠FOG=∠B，即∠AOM=∠B，A选项成立，不符合题意。
2. 验证B选项：
∵∠AOM=∠B，二者是直线OM、BC被AB所截的同位角，
∴OM//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠OMC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），B选项成立，不符合题意。
3. 验证C选项：
∵O是AB中点，且OM//BC，
∴OM是△ABC的中位线，
∴M是AC中点，即AM=CM，C选项成立，不符合题意。
4. 验证D选项：
由三角形中位线性质得$OM=\frac{1}{2}BC$，题目未给出AB=BC的条件，因此$OM=\frac{1}{2}AB$不一定成立，D选项不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，平行线的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图和几何性质结合考查，解题关键是先从作图规则中提取边相等的条件证明全等，进而得到平行关系，再结合中位线性质判断结论，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
首先根据题目中的尺规作图步骤，提取边相等的条件：同圆半径相等，可得BD=BE、OF=OG=BD、FG=DE，通过SSS证明△OFG≌△BDE，推出同位角∠AOM=∠B，进而得到OM//BC；再结合O是AB中点的条件，利用三角形中位线的判定和性质，逐一验证四个选项即可。
【解析】
1. 验证A选项：
由作图可知，BD=BE（同圆半径相等），OF=OG=BD（同圆半径相等），FG=DE（同圆半径相等）。
在△OFG和△BDE中：
$\{\begin{array}{l} OF=BD\\ OG=BE\\ FG=DE\end{array} $
∴△OFG≌△BDE（SSS），
∴∠FOG=∠B，即∠AOM=∠B，A选项成立，不符合题意。
2. 验证B选项：
∵∠AOM=∠B，二者是直线OM、BC被AB所截的同位角，
∴OM//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠OMC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），B选项成立，不符合题意。
3. 验证C选项：
∵O是AB中点，且OM//BC，
∴OM是△ABC的中位线，
∴M是AC中点，即AM=CM，C选项成立，不符合题意。
4. 验证D选项：
由三角形中位线性质得$OM=\frac{1}{2}BC$，题目未给出AB=BC的条件，因此$OM=\frac{1}{2}AB$不一定成立，D选项不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，平行线的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图和几何性质结合考查，解题关键是先从作图规则中提取边相等的条件证明全等，进而得到平行关系，再结合中位线性质判断结论，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，过射线AC上的点E作线段DE、EF，过点C作线段CG、CB，点D、F、G、B在射线AB上。如果$DE // CG$，$EF // BC$，$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$，那么$\frac{DF}{GB}$的值为（
A.$\frac{2}{3}$；
B.$\frac{2}{5}$；
C.$\frac{4}{5}$；
D.$\frac{3}{4}$。
B
）A.$\frac{2}{3}$；
B.$\frac{2}{5}$；
C.$\frac{4}{5}$；
D.$\frac{3}{4}$。
答案
3. B. 提示：根据题意，$\frac{AD}{DG}=\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}$. 可设$AD=2a$，$DG=3a$，$AF=2b$，$FB=3b$，则$\frac{DF}{GB}=\frac{2b-2a}{5b-5a}=\frac{2}{5}$.
解析
【分析】
首先观察题目给出两组平行线，结合已知的线段比$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$，可联想到平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。第一步，由$DE// CG$，在$△ ACG$中可推出$\frac{AD}{DG}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$；第二步，由$EF// BC$，在$△ ACB$中可推出$\frac{AF}{FB}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$；第三步，要求$\frac{DF}{GB}$，可通过设参数的方式表示出相关线段长度，再写出DF和GB的表达式，约去公共参数即可得到比值。
【解析】
解：$\because DE// CG$，根据平行线分线段成比例定理，
$\therefore$在$△ ACG$中，$\frac{AD}{DG}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$。
$\because EF// BC$，同理可得，
$\therefore$在$△ ACB$中，$\frac{AF}{FB}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$。
设$AD=2a$，则$DG=3a$，因此$AG=AD+DG=2a+3a=5a$；
设$AF=2b$，则$FB=3b$，因此$AB=AF+FB=2b+3b=5b$。
可得：$DF=AF-AD=2b-2a=2(b-a)$，
$GB=AB-AG=5b-5a=5(b-a)$（$b≠ a$），
$\therefore \frac{DF}{GB}=\frac{2(b-a)}{5(b-a)}=\frac{2}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例的计算
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是借助两组平行线得到对应线段的比例关系，通过设参数的方式消去公共因式求出比值，是比例性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出两组平行线，结合已知的线段比$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$，可联想到平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。第一步，由$DE// CG$，在$△ ACG$中可推出$\frac{AD}{DG}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$；第二步，由$EF// BC$，在$△ ACB$中可推出$\frac{AF}{FB}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$；第三步，要求$\frac{DF}{GB}$，可通过设参数的方式表示出相关线段长度，再写出DF和GB的表达式，约去公共参数即可得到比值。
【解析】
解：$\because DE// CG$，根据平行线分线段成比例定理，
$\therefore$在$△ ACG$中，$\frac{AD}{DG}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$。
$\because EF// BC$，同理可得，
$\therefore$在$△ ACB$中，$\frac{AF}{FB}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$。
设$AD=2a$，则$DG=3a$，因此$AG=AD+DG=2a+3a=5a$；
设$AF=2b$，则$FB=3b$，因此$AB=AF+FB=2b+3b=5b$。
可得：$DF=AF-AD=2b-2a=2(b-a)$，
$GB=AB-AG=5b-5a=5(b-a)$（$b≠ a$），
$\therefore \frac{DF}{GB}=\frac{2(b-a)}{5(b-a)}=\frac{2}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例的计算
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是借助两组平行线得到对应线段的比例关系，通过设参数的方式消去公共因式求出比值，是比例性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 已知线段$ b $是线段$ a $、$ c $的比例中项，$ a = 4 \ \mathrm{cm} $，$ c = 16 \ \mathrm{cm} $，那么$ b = \_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
4. 已知线段$ b $是线段$ a $、$ c $的比例中项，$ a = 4 \ \mathrm{cm} $，$ c = 16 \ \mathrm{cm} $，那么$ b = \_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
4. 8.
解析
【分析】
解决本题的核心是先明确比例中项的定义：若线段$b$是线段$a$、$c$的比例中项，可推出$b^2=ac$；其次需要注意线段的长度为正数，因此开平方后只需保留正的结果。解题思路为：首先根据比例中项的性质列出等量关系，再代入$a$、$c$的数值计算乘积，最后开平方取正根即可得到$b$的长度。
【解析】
解：
∵ 线段$b$是线段$a$、$c$的比例中项，
∴ 根据比例中项的性质可得：$b^2 = a· c$，
将$a=4\ \mathrm{cm}$，$c=16\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$b^2=4×16=64$，
又
∵ 线段长度为正数，
∴ $b=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
比例中项的定义；线段的非负性
【点评】
本题为基础概念考查题，易错点是忽略线段长度为正的隐含条件，错误填写$\pm8$，熟练掌握比例中项的性质即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先明确比例中项的定义：若线段$b$是线段$a$、$c$的比例中项，可推出$b^2=ac$；其次需要注意线段的长度为正数，因此开平方后只需保留正的结果。解题思路为：首先根据比例中项的性质列出等量关系，再代入$a$、$c$的数值计算乘积，最后开平方取正根即可得到$b$的长度。
【解析】
解：
∵ 线段$b$是线段$a$、$c$的比例中项，
∴ 根据比例中项的性质可得：$b^2 = a· c$，
将$a=4\ \mathrm{cm}$，$c=16\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$b^2=4×16=64$，
又
∵ 线段长度为正数，
∴ $b=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
比例中项的定义；线段的非负性
【点评】
本题为基础概念考查题，易错点是忽略线段长度为正的隐含条件，错误填写$\pm8$，熟练掌握比例中项的性质即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
