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14 如图(1)，已知：在矩形ABCD中，E是边AB的中点，过点E作EF//AD，交边DC于点F，点P、Q分别在边AD、BC上，连接PQ，交EF于点M.
(1) 求证：PM=QM.
(2) 如图(2)，在图(1)的基础上，点R在边BC上(点R不与点Q重合)，连接PR，交EF于点N.
① 如果MN=4，那么线段QR的长为
② 如图(3)，当点Q与点B重合，点R与点C重合时，已知BC=10，△PMN周长的最小值为12，求AB的长.
(1) 求证：PM=QM.
(2) 如图(2)，在图(1)的基础上，点R在边BC上(点R不与点Q重合)，连接PR，交EF于点N.
① 如果MN=4，那么线段QR的长为
8
.② 如图(3)，当点Q与点B重合，点R与点C重合时，已知BC=10，△PMN周长的最小值为12，求AB的长.
答案
14.（1）略.
(2) ① 8.
② 如图，作点 C 关于 AD 的对称点 G，连接 PG、BG、DG.
∵ 点 C 与点 G 关于 AD 对称，
∴ $GD=DC$，$PG=PC$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ $AB // CD$，$AD // BC$，$∠ ADC=∠ A=90°$，$AB=DC$.
∴ 点G、D、C 在同一直线上.
∵ $PB+PC=PB+PG≥ BG$，
∴ 当点 P 在 BG 上时，$PB+PC$ 取得最小值.
当点 P 在 $BG$ 上时，
∵ $AD // BC$，
∴ $\frac{GP}{BP}=\frac{GD}{DC}$.
∵ $GD=DC$，
∴ $GP=BP$.
∵ $CG // AB$，
∴ $AP=PD$，即此时 P 是 AD 的中点.
∵ E 是边 AB 的中点，$EM // AD$，
∴ $BM=MP$，即 M 是 BP 的中点.
同理，N 是 PC 的中点.
∴ MN 是$△ PBC$ 的中位线.
∵ $BC=10$，
∴ $MN=\frac{1}{2}BC=5$.
∵ $△ PMN$ 的周长为 12，
∴ $PM+PN=7$.
∴ $PB+PC=14$.
∵ $PA=PD$，$∠ PAB=∠ PDC$，$AB=DC$，
∴ $△ PAB ≌ △ PDC$.
∴ $PB=7$.
在 $\mathrm{Rt}△ PAB$ 中，由勾股定理，得 $AB=\sqrt{PB^2-AP^2}=\sqrt{7^2-5^2}=2\sqrt{6}$。
解析
【分析】
（1）要证PM=QM，先结合矩形性质得AD//BC，已知EF//AD，可得AD、EF、BC三条直线互相平行，再结合E是AB中点，根据平行线分线段成比例定理，截AB所得线段相等，那么截PQ所得线段也相等，即可得证。
（2）① 由（1）的结论可知，在△PQR中，M是PQ中点，同理可得N是PR中点，即MN是△PQR的中位线，根据中位线等于第三边的一半，已知MN=4即可求出QR的长度。
② 首先由中位线定理可知MN恒为BC的一半，即MN=5，因此△PMN周长最小等价于PM+PN最小；又因为M、N分别是PB、PC的中点，所以PM+PN=$\frac{1}{2}(PB+PC)$，即转化为求PB+PC的最小值，利用轴对称的性质，作点C关于AD的对称点G，根据两点之间线段最短，当P在BG上时PB+PC最小，再结合已知条件求出PB的长度，最后在直角三角形PAB中用勾股定理即可求出AB的长。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠A=90°，
∵ EF//AD，
∴ AD//EF//BC，
∵ E是AB的中点，
∴ AE=EB，
根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{EB}=1$，
∴ PM=QM。
（2）① 解：由（1）的结论可知，在△PQR中，M是PQ中点，同理可得N是PR中点，
∴ MN是△PQR的中位线，
∴ $MN=\frac{1}{2}QR$，
∵ MN=4，
∴ QR=2×4=8。
② 解：如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、BG、DG。
∵ 点C与点G关于AD对称，
∴ $GD=DC$，$PG=PC$，∠ADC=∠ADG=90°，
∴ 点G、D、C在同一直线上。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB // CD$，$AD // BC$，∠A=90°，$AB=DC$，
∴ $PB+PC=PB+PG≥ BG$，当且仅当B、P、G三点共线时，$PB+PC$取得最小值。
当点P在BG上时，
∵ $AD // BC$，
∴ $\frac{GP}{BP}=\frac{GD}{DC}$，
∵ $GD=DC$，
∴ $GP=BP$，即P是BG的中点。
∵ $CG // AB$，∠A=90°，
∴ P是AD的中点，即$AP=PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=5$。
∵ E是边AB的中点，$EF // AD$，
∴ M是BP的中点，同理N是PC的中点，
∴ MN是$△ PBC$的中位线，$PM=\frac{1}{2}PB$，$PN=\frac{1}{2}PC$，
∴ $MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
∵ $△ PMN$的周长最小值为12，
∴ $PM+PN=12-5=7$，
∴ $PB+PC=2(PM+PN)=14$。
∵ $PA=PD$，$∠ PAB=∠ PDC=90°$，$AB=DC$，
∴ $△ PAB ≌ △ PDC（SAS）$，
∴ $PB=PC=\frac{1}{2}×14=7$。
在 $\mathrm{Rt}△ PAB$ 中，由勾股定理，得 $AB=\sqrt{PB^2-AP^2}=\sqrt{7^2-5^2}=2\sqrt{6}$。
【答案】
（1）略.
（2）① $\boldsymbol{8}$；
② $AB$的长为$\boldsymbol{2\sqrt{6}}$。
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中位线定理，轴对称最短路径
【点评】
本题以矩形为背景，综合考查了平行线分线段成比例、三角形中位线、轴对称求最短路径及勾股定理等知识，解题时需注意将三角形周长最小值问题转化为线段和的最小值问题，体现了转化思想的应用，同时需要熟练掌握特殊四边形的性质进行推理计算。
【难度系数】
0.6
（1）要证PM=QM，先结合矩形性质得AD//BC，已知EF//AD，可得AD、EF、BC三条直线互相平行，再结合E是AB中点，根据平行线分线段成比例定理，截AB所得线段相等，那么截PQ所得线段也相等，即可得证。
（2）① 由（1）的结论可知，在△PQR中，M是PQ中点，同理可得N是PR中点，即MN是△PQR的中位线，根据中位线等于第三边的一半，已知MN=4即可求出QR的长度。
② 首先由中位线定理可知MN恒为BC的一半，即MN=5，因此△PMN周长最小等价于PM+PN最小；又因为M、N分别是PB、PC的中点，所以PM+PN=$\frac{1}{2}(PB+PC)$，即转化为求PB+PC的最小值，利用轴对称的性质，作点C关于AD的对称点G，根据两点之间线段最短，当P在BG上时PB+PC最小，再结合已知条件求出PB的长度，最后在直角三角形PAB中用勾股定理即可求出AB的长。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠A=90°，
∵ EF//AD，
∴ AD//EF//BC，
∵ E是AB的中点，
∴ AE=EB，
根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{PM}{QM}=\frac{AE}{EB}=1$，
∴ PM=QM。
（2）① 解：由（1）的结论可知，在△PQR中，M是PQ中点，同理可得N是PR中点，
∴ MN是△PQR的中位线，
∴ $MN=\frac{1}{2}QR$，
∵ MN=4，
∴ QR=2×4=8。
② 解：如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、BG、DG。
∵ 点C与点G关于AD对称，
∴ $GD=DC$，$PG=PC$，∠ADC=∠ADG=90°，
∴ 点G、D、C在同一直线上。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB // CD$，$AD // BC$，∠A=90°，$AB=DC$，
∴ $PB+PC=PB+PG≥ BG$，当且仅当B、P、G三点共线时，$PB+PC$取得最小值。
当点P在BG上时，
∵ $AD // BC$，
∴ $\frac{GP}{BP}=\frac{GD}{DC}$，
∵ $GD=DC$，
∴ $GP=BP$，即P是BG的中点。
∵ $CG // AB$，∠A=90°，
∴ P是AD的中点，即$AP=PD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=5$。
∵ E是边AB的中点，$EF // AD$，
∴ M是BP的中点，同理N是PC的中点，
∴ MN是$△ PBC$的中位线，$PM=\frac{1}{2}PB$，$PN=\frac{1}{2}PC$，
∴ $MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
∵ $△ PMN$的周长最小值为12，
∴ $PM+PN=12-5=7$，
∴ $PB+PC=2(PM+PN)=14$。
∵ $PA=PD$，$∠ PAB=∠ PDC=90°$，$AB=DC$，
∴ $△ PAB ≌ △ PDC（SAS）$，
∴ $PB=PC=\frac{1}{2}×14=7$。
在 $\mathrm{Rt}△ PAB$ 中，由勾股定理，得 $AB=\sqrt{PB^2-AP^2}=\sqrt{7^2-5^2}=2\sqrt{6}$。
【答案】
（1）略.
（2）① $\boldsymbol{8}$；
② $AB$的长为$\boldsymbol{2\sqrt{6}}$。
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中位线定理，轴对称最短路径
【点评】
本题以矩形为背景，综合考查了平行线分线段成比例、三角形中位线、轴对称求最短路径及勾股定理等知识，解题时需注意将三角形周长最小值问题转化为线段和的最小值问题，体现了转化思想的应用，同时需要熟练掌握特殊四边形的性质进行推理计算。
【难度系数】
0.6
