三、解答题
11. 已知直线 $ l_1 // l_2 // l_3 $，$ AM=3 $，$ BM=2 $，$ BC=4 $，$ DF=15 $，求 $ DM $、$ ED $、$ EF $ 的长。

11. $DM=5$，$ED=\frac{25}{3}$，$EF=\frac{20}{3}$.

【分析】
本题可根据平行线分线段成比例定理求解：① 求DM时，先找到截线AC、DF被平行线$l_1$、$l_3$截得的对应线段$AM$、$MC$和$DM$、$MF$，利用比例关系结合DF总长计算DM；② 求ED和EF时，找到截线AC、DF被三条平行线截得的对应线段$AB$、$BC$和$ED$、$EF$，得到二者的比例后，结合DF总长按比例分配即可求出ED、EF的长度。
【解析】
解：$\because l_1 // l_2 // l_3$
1. 求$DM$的长度：
根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AM}{MC}=\frac{DM}{MF}$
由已知得$MC=BM+BC=2+4=6$，$\therefore \frac{AM}{MC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$\frac{DM}{MF}=\frac{1}{2}$，$\therefore MF=2DM$
又$\because DF=DM+MF=15$，代入得$DM+2DM=15$，解得$DM=5$
2. 求$ED$、$EF$的长度：
根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{EF}$
由已知得$AB=AM+BM=3+2=5$，$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{5}{4}$，即$\frac{ED}{EF}=\frac{5}{4}$，$\therefore ED=\frac{5}{4}EF$
又$\because DF=ED+EF=15$，代入得$\frac{5}{4}EF + EF = 15$，解得$EF=\frac{20}{3}$
则$ED=15-\frac{20}{3}=\frac{25}{3}$
【答案】
$DM=5$，$ED=\frac{25}{3}$，$EF=\frac{20}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例的运算
【点评】
本题属于平行线分线段成比例定理的常规应用题型，解题核心是准确识别两条被截直线上的对应线段，避免因对应关系混淆出错，熟练掌握定理后结合比例的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

12. 如图，已知线段AB及线段外一点C，求作直线CP交AB于点P，使得$AP:BP=2:1$.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

12. 如图，CP就是所求的直线。

【分析】
要构造出满足$AP:BP=2:1$的点$P$，可利用平行线分线段成比例的基本事实，将比例关系转移到线段$AB$上。思考路径：首先连接$AC$并向$C$外侧延长，在延长线上顺次截取相等的两段线段$CD$、$DE$，使$AD:DE=2:1$；再连接$EB$，过$D$作$DP$平行于$EB$，交$AB$于$P$，此时即可得到$AP:PB=AD:DE=2:1$，最后作直线$CP$即为所求。
【解析】
作图依据为平行线分线段成比例定理：
1. 连接$AC$并延长$AC$，在$AC$的延长线上顺次截取$CD=DE$，此时$AD:DE=2:1$；
2. 连接点$E$和点$B$；
3. 过点$D$作$DP// BE$，交$AB$于点$P$，由平行线分线段成比例可得，在$△ AEB$中，$DP// EB$，因此$AP:PB=AD:DE=2:1$，符合题目比例要求；
4. 作直线$CP$，即为所求直线。
（作图保留作等长线段、作平行线的痕迹即可）
【答案】
如图，CP就是所求的直线。
【知识点】
平行线分线段成比例；尺规作图；比例线段
【点评】
本题考查对平行线分线段成比例定理的灵活应用，需要掌握通过构造平行线转化线段比例的方法，作图时需按要求保留清晰的作图痕迹，理解每一步作图的原理。
【难度系数】
0.6

13. 如图，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上. 请仅用无刻度的直尺作线段BC的三等分点E、F.（保留作图痕迹，不写作法）

13. 如图，E、F就是所求作的点。

【分析】
要作线段BC的三等分点，可借助平行线分线段成比例定理求解：若一组平行线在某条直线上截得的线段长度相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段长度也相等。因此我们只需要构造3条互相平行、且间距相等的平行线，使其中1条过点B、1条过点C，另外2条平行线与BC的交点就将BC三等分。结合网格格点的特征，我们可以在BC一侧选取格点，作出符合要求的平行辅助线，即可得到所求的三等分点。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，构造出3条互相平行的虚线（如图所示），这组平行线在底边BD上截得的线段BN=NQ=QD，因此这组平行线截线段BC时，所得的线段BF=FE=EC，即点E、F就是线段BC的三等分点，作图时保留对应辅助线痕迹即可。
【答案】

【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理；2. 无刻度直尺作图
【点评】
本题属于网格类几何作图题，核心考查平行线分线段成比例定理的实际应用，需要学生结合网格的结构特征构造符合要求的平行线，对学生的几何观察能力和作图实操能力有一定要求，是同类知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.6