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5. 如图，已知直线 $ l_1 // l_2 // l_3 $，$ DE=2 $，$ EF=6 $，$ BC=5 $，那么 $ AB $ 的长为
(第5题) (第6题)
$\frac{5}{3}$
。(第5题) (第6题)
答案
5. $\frac{5}{3}$.
解析
【分析】
遇到三条平行线截两条直线的问题，首先想到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。接下来找准对应线段：直线AC被三条平行线截取的线段中，l₁与l₂之间的线段是AB，l₂与l₃之间的线段是BC；直线DF被三条平行线截取的线段中，l₁与l₂之间的线段是DE，l₂与l₃之间的线段是EF，因此AB与BC的比等于DE与EF的比，代入已知数值求解即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$DE=2$，$EF=6$，$BC=5$代入上式：
$\frac{AB}{5}=\frac{2}{6}$
化简得：$6AB=10$
解得：$AB=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查平行线分线段成比例定理的使用，解题的关键是准确识别两条被截直线上的对应线段，避免因对应关系混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.8
遇到三条平行线截两条直线的问题，首先想到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。接下来找准对应线段：直线AC被三条平行线截取的线段中，l₁与l₂之间的线段是AB，l₂与l₃之间的线段是BC；直线DF被三条平行线截取的线段中，l₁与l₂之间的线段是DE，l₂与l₃之间的线段是EF，因此AB与BC的比等于DE与EF的比，代入已知数值求解即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$DE=2$，$EF=6$，$BC=5$代入上式：
$\frac{AB}{5}=\frac{2}{6}$
化简得：$6AB=10$
解得：$AB=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查平行线分线段成比例定理的使用，解题的关键是准确识别两条被截直线上的对应线段，避免因对应关系混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.8
6. 如图，已知直线$l_1 // l_2 // l_3$，$\frac{AG}{GB}=\frac{2}{3}$，那么$\frac{AG+CH}{AB+CD}$的值为
$\frac{2}{5}$
.答案
6. $\frac{2}{5}$.
解析
【分析】
解题时首先运用平行线分线段成比例定理，得到两条被截直线上对应分段的比值相等；接下来通过设参数的方式表示各段线段长度，分别求出AG与AB的比值、CH与CD的比值；最后将待求式的分子分母用参数表示，通过约分消去参数即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理，可得
$ \frac{AG}{GB} = \frac{CH}{HD} = \frac{2}{3} $
设 $ AG=2k $（$ k ≠ 0 $），则 $ GB=3k $，因此 $ AB=AG+GB=2k+3k=5k $，即 $ \frac{AG}{AB}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5} $。
同理设 $ CH=2m $（$ m ≠ 0 $），则 $ HD=3m $，因此 $ CD=CH+HD=2m+3m=5m $，即 $ \frac{CH}{CD}=\frac{2m}{5m}=\frac{2}{5} $。
将上述关系代入待求式：
$ \frac{AG+CH}{AB+CD} = \frac{2k+2m}{5k+5m} = \frac{2(k+m)}{5(k+m)} $
∵ $ k+m ≠ 0 $，约分后得 $ \frac{2}{5} $。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的化简
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，核心解题技巧是引入参数表示线段长度，利用参数化简时注意需保证所设参数的和不为0，才可进行约分。
【难度系数】
0.7
解题时首先运用平行线分线段成比例定理，得到两条被截直线上对应分段的比值相等；接下来通过设参数的方式表示各段线段长度，分别求出AG与AB的比值、CH与CD的比值；最后将待求式的分子分母用参数表示，通过约分消去参数即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理，可得
$ \frac{AG}{GB} = \frac{CH}{HD} = \frac{2}{3} $
设 $ AG=2k $（$ k ≠ 0 $），则 $ GB=3k $，因此 $ AB=AG+GB=2k+3k=5k $，即 $ \frac{AG}{AB}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5} $。
同理设 $ CH=2m $（$ m ≠ 0 $），则 $ HD=3m $，因此 $ CD=CH+HD=2m+3m=5m $，即 $ \frac{CH}{CD}=\frac{2m}{5m}=\frac{2}{5} $。
将上述关系代入待求式：
$ \frac{AG+CH}{AB+CD} = \frac{2k+2m}{5k+5m} = \frac{2(k+m)}{5(k+m)} $
∵ $ k+m ≠ 0 $，约分后得 $ \frac{2}{5} $。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的化简
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，核心解题技巧是引入参数表示线段长度，利用参数化简时注意需保证所设参数的和不为0，才可进行约分。
【难度系数】
0.7
7. 如图，已知直线 $ l_1 // l_2 // l_3 $，直线AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么$\frac{DE}{EF}$的值为
$\frac{3}{5}$
。答案
7. $\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
本题应用平行线分线段成比例定理求解，解题思路如下：首先明确一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，确定待求$\frac{DE}{EF}$对应的同一直线上的线段比；其次先计算线段AB的长度，AB由AH和BH两段组成，求和即可得到；最后将AB和BC的长度代入对应比例式，就能求出结果。
【解析】
解：$\because l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例，可得：
$\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$
先计算AB的长度：
$AB=AH+BH=2+1=3$
已知$BC=5$，代入比例式得：
$\frac{DE}{EF}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确找到平行线截得的对应线段，避免对应线段匹配错误，熟记定理即可快速完成计算。
【难度系数】
0.8
本题应用平行线分线段成比例定理求解，解题思路如下：首先明确一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，确定待求$\frac{DE}{EF}$对应的同一直线上的线段比；其次先计算线段AB的长度，AB由AH和BH两段组成，求和即可得到；最后将AB和BC的长度代入对应比例式，就能求出结果。
【解析】
解：$\because l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例，可得：
$\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$
先计算AB的长度：
$AB=AH+BH=2+1=3$
已知$BC=5$，代入比例式得：
$\frac{DE}{EF}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确找到平行线截得的对应线段，避免对应线段匹配错误，熟记定理即可快速完成计算。
【难度系数】
0.8
8. 如图，已知直线$ l_1 // l_2 // l_3 // l_4 $，$ AB:BC:CD=2:3:4 $，$ EG=10 $，那么$ EH $的长为
18
。答案
8. 18.
解析
【分析】
本题可根据平行线分线段成比例定理解题：首先观察图形，四条平行直线被两条直线所截，截得的对应线段成比例，因此右侧线段EF、FG、GH的比等于左侧AB、BC、CD的比；已知EG是EF与FG的和，先结合比例关系求出每份的长度，再计算EH的总长度即可。
【解析】
∵ $l_1 // l_2 // l_3 // l_4$
根据平行线分线段成比例定理，截得的对应线段成比例
∴ $EF:FG:GH = AB:BC:CD = 2:3:4$
设 $EF=2k$，$FG=3k$，$GH=4k$（$k≠0$）
由题意得 $EG = EF + FG = 2k + 3k = 5k = 10$
解得 $k=2$
∴ $EH = EF + FG + GH = 2k + 3k + 4k = 9k = 9×2 = 18$
【答案】
18
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例线段计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的核心是找准对应线段的比例关系，通过设参数的方式将比例关系转化为数量关系求解，计算难度较低，掌握定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题可根据平行线分线段成比例定理解题：首先观察图形，四条平行直线被两条直线所截，截得的对应线段成比例，因此右侧线段EF、FG、GH的比等于左侧AB、BC、CD的比；已知EG是EF与FG的和，先结合比例关系求出每份的长度，再计算EH的总长度即可。
【解析】
∵ $l_1 // l_2 // l_3 // l_4$
根据平行线分线段成比例定理，截得的对应线段成比例
∴ $EF:FG:GH = AB:BC:CD = 2:3:4$
设 $EF=2k$，$FG=3k$，$GH=4k$（$k≠0$）
由题意得 $EG = EF + FG = 2k + 3k = 5k = 10$
解得 $k=2$
∴ $EH = EF + FG + GH = 2k + 3k + 4k = 9k = 9×2 = 18$
【答案】
18
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例线段计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的核心是找准对应线段的比例关系，通过设参数的方式将比例关系转化为数量关系求解，计算难度较低，掌握定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
9. 如果一条直线把一个图形的周长等分成两个部分，那么我们称这条直线为“绝美分割线”.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，AB=2，CD=3，BC=4，一条与AD平行的“绝美分割线”分别交边AB、DC于点E、F，那么CF的长是
$\frac{3}{5}$
.答案
9. $\frac{3}{5}$. 提示：由 $AD // BC // EF$，得$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{DC}$，即$\frac{AE}{2}=\frac{DF}{3}$，可设 $AE=2k$，$DF=3k$. 由“绝美分割线”的定义，得 $AE+AD+DF=\frac{1}{2}(AD+AB+BC+CD)$，即 $2k+1+3k=5$，解得 $k=\frac{4}{5}$，则 $CF=\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
首先理解“绝美分割线”的定义：直线将图形周长分为相等的两部分，即直线上方部分周长等于总周长的一半。已知EF平行于AD和BC，可根据平行线分线段成比例定理得到AE与DF的比例关系，通过设参数表示AE、DF的长度，再结合周长等分的条件列方程求解参数，最后计算CF的长度即可。
【解析】
1. 计算梯形ABCD的总周长：
$C_{梯形ABCD}=AD+AB+BC+CD=1+2+4+3=10$
根据“绝美分割线”的定义，EF分得的两部分周长均为$\frac{1}{2}×10=5$，即$AE+AD+DF=5$。
2. 由$AD// EF// BC$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{DC}$
代入$AB=2$，$DC=3$，得$\frac{AE}{2}=\frac{DF}{3}$，设$AE=2k$，$DF=3k$（$k＞0$）。
3. 代入周长等式求解参数：
$2k + 1 + 3k = 5$
解得$5k=4$，$k=\frac{4}{5}$。
4. 计算CF的长度：
$DF=3k=3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$
$CF=CD - DF=3 - \frac{12}{5}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例，新定义问题，方程思想
【点评】
本题结合新定义考查几何知识的综合应用，解题的核心是准确理解新定义的含义，灵活运用平行线分线段成比例的性质建立线段间的关系，通过设参数列方程求解，解题思路清晰，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
首先理解“绝美分割线”的定义：直线将图形周长分为相等的两部分，即直线上方部分周长等于总周长的一半。已知EF平行于AD和BC，可根据平行线分线段成比例定理得到AE与DF的比例关系，通过设参数表示AE、DF的长度，再结合周长等分的条件列方程求解参数，最后计算CF的长度即可。
【解析】
1. 计算梯形ABCD的总周长：
$C_{梯形ABCD}=AD+AB+BC+CD=1+2+4+3=10$
根据“绝美分割线”的定义，EF分得的两部分周长均为$\frac{1}{2}×10=5$，即$AE+AD+DF=5$。
2. 由$AD// EF// BC$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{DC}$
代入$AB=2$，$DC=3$，得$\frac{AE}{2}=\frac{DF}{3}$，设$AE=2k$，$DF=3k$（$k＞0$）。
3. 代入周长等式求解参数：
$2k + 1 + 3k = 5$
解得$5k=4$，$k=\frac{4}{5}$。
4. 计算CF的长度：
$DF=3k=3×\frac{4}{5}=\frac{12}{5}$
$CF=CD - DF=3 - \frac{12}{5}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例，新定义问题，方程思想
【点评】
本题结合新定义考查几何知识的综合应用，解题的核心是准确理解新定义的含义，灵活运用平行线分线段成比例的性质建立线段间的关系，通过设参数列方程求解，解题思路清晰，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
10 如图，在$△ ABC$中，点M、N分别在边AB、AC上，AD与MN交于点G，G为$△ ABC$的重心。如果$\frac{AM}{AB}=\frac{3}{4}$，那么$\frac{AN}{NC}$的值为
$\frac{3}{2}$
。答案
10. $\frac{3}{2}$. 提示：如图，过点B作$BF// MN$，分别交AD、AC于点E、F，过点D作$DP// BF$，交AC于点P. 由AD为中线，可得P为CF中点. 由 $BF// MN$，$\frac{AM}{AB}=\frac{3}{4}$，得 $\frac{AG}{GE}=\frac{AN}{NF}=3$；再由 G 为$△ ABC$ 的重心，得 $AG=2GD$，则 $AG:GE:ED=6:2:1$，即 $AE:ED=8:1$. 由 $DP// BF// MN$，得 $AN:NF:FP:PC=6:2:1:1$，则$\frac{AN}{NC}=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
这是一道求三角形内线段比值的问题，解题思路如下：1. 首先明确已知条件：G是△ABC的重心，可得重心性质“重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”，且AD是BC边的中线，D为BC中点；2. 已知AB边上的线段比例，要求AC边上的线段比例，可通过作平行于MN的辅助线，利用平行线分线段成比例定理，将AB边的比例转化为AD、AC边上的线段比例；3. 结合重心的线段比例关系，逐步推导AC上各段的比例，最终求出AN与NC的比值。
【解析】
解：过点B作$BF// MN$，分别交AD、AC于点E、F，过点D作$DP// BF$，交AC于点P。
1. 由G是$△ ABC$的重心可知：AD是BC边上的中线，即D为BC的中点，且$AG:GD=2:1$。
2. 因为$DP// BF$，D是BC中点，根据平行线分线段成比例定理，可得P是CF的中点，即$FP=PC$。
3. 因为$BF// MN$，$\frac{AM}{AB}=\frac{3}{4}$，所以$AM:MB=3:1$，由平行线分线段成比例可得$\frac{AG}{GE}=\frac{AN}{NF}=\frac{AM}{MB}=\frac{3}{1}$。
4. 设$AG=6k$，由$AG:GD=2:1$得$GD=3k$；结合$\frac{AG}{GE}=3$，得$GE=2k$，因此$ED=GD-GE=3k-2k=k$，即$AG:GE:ED=6:2:1$。
5. 由$MN// BF// DP$，根据平行线分线段成比例，可得$AN:NF:FP=AG:GE:ED=6:2:1$，又因为$FP=PC$，所以$AN:NF:FP:PC=6:2:1:1$。
6. 设$AN=6a$，则$NC=NF+FP+PC=2a+a+a=4a$，因此$\frac{AN}{NC}=\frac{6a}{4a}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
三角形重心性质，平行线分线段成比例，三角形中位线性质
【点评】
本题是线段比例类的典型综合题，解题关键是通过作平行辅助线将已知的线段比例进行传递转化，结合重心的性质逐步推导所求比例，需要熟练掌握平行线分线段成比例的比例对应关系，这类辅助线做法是解决同类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
这是一道求三角形内线段比值的问题，解题思路如下：1. 首先明确已知条件：G是△ABC的重心，可得重心性质“重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”，且AD是BC边的中线，D为BC中点；2. 已知AB边上的线段比例，要求AC边上的线段比例，可通过作平行于MN的辅助线，利用平行线分线段成比例定理，将AB边的比例转化为AD、AC边上的线段比例；3. 结合重心的线段比例关系，逐步推导AC上各段的比例，最终求出AN与NC的比值。
【解析】
解：过点B作$BF// MN$，分别交AD、AC于点E、F，过点D作$DP// BF$，交AC于点P。
1. 由G是$△ ABC$的重心可知：AD是BC边上的中线，即D为BC的中点，且$AG:GD=2:1$。
2. 因为$DP// BF$，D是BC中点，根据平行线分线段成比例定理，可得P是CF的中点，即$FP=PC$。
3. 因为$BF// MN$，$\frac{AM}{AB}=\frac{3}{4}$，所以$AM:MB=3:1$，由平行线分线段成比例可得$\frac{AG}{GE}=\frac{AN}{NF}=\frac{AM}{MB}=\frac{3}{1}$。
4. 设$AG=6k$，由$AG:GD=2:1$得$GD=3k$；结合$\frac{AG}{GE}=3$，得$GE=2k$，因此$ED=GD-GE=3k-2k=k$，即$AG:GE:ED=6:2:1$。
5. 由$MN// BF// DP$，根据平行线分线段成比例，可得$AN:NF:FP=AG:GE:ED=6:2:1$，又因为$FP=PC$，所以$AN:NF:FP:PC=6:2:1:1$。
6. 设$AN=6a$，则$NC=NF+FP+PC=2a+a+a=4a$，因此$\frac{AN}{NC}=\frac{6a}{4a}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
三角形重心性质，平行线分线段成比例，三角形中位线性质
【点评】
本题是线段比例类的典型综合题，解题关键是通过作平行辅助线将已知的线段比例进行传递转化，结合重心的性质逐步推导所求比例，需要熟练掌握平行线分线段成比例的比例对应关系，这类辅助线做法是解决同类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
