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5. 如图，线段BE、CD相交于点A，若添加一个条件可使$△ ADE ∽ △ ABC$，则添加的条件可以是
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
。答案
5. $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.（答案不唯一）
解析
【分析】
首先观察图形，线段BE与CD交于点A，可先得到一组相等的角：∠DAE=∠BAC（对顶角相等），这是已有条件。接下来结合相似三角形的判定定理思考可添加的条件：①若用“两角分别相等的两三角形相似”，可添加∠D=∠B或∠E=∠C；②若用“两边成比例且夹角相等的两三角形相似”，可添加夹这组等角的两组边对应成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，任选其一即可。
【解析】
∵线段BE、CD相交于点A，
∴∠DAE=∠BAC（对顶角相等）。
若添加条件$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ ADE ∽ △ ABC$。
此外也可添加$∠ D=∠ B$、$∠ E=∠ C$等条件，均能判定两个三角形相似，答案不唯一。
【答案】
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 对顶角的性质
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是开放性题目，主要考查相似三角形的判定，解题的关键是先挖掘出图形中隐含的对顶角相等的条件，再结合相似三角形的判定定理补充合适的条件即可，注意使用两边成比例加夹角相等的判定时，边要对应相等角的两条边。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，线段BE与CD交于点A，可先得到一组相等的角：∠DAE=∠BAC（对顶角相等），这是已有条件。接下来结合相似三角形的判定定理思考可添加的条件：①若用“两角分别相等的两三角形相似”，可添加∠D=∠B或∠E=∠C；②若用“两边成比例且夹角相等的两三角形相似”，可添加夹这组等角的两组边对应成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，任选其一即可。
【解析】
∵线段BE、CD相交于点A，
∴∠DAE=∠BAC（对顶角相等）。
若添加条件$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ ADE ∽ △ ABC$。
此外也可添加$∠ D=∠ B$、$∠ E=∠ C$等条件，均能判定两个三角形相似，答案不唯一。
【答案】
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 对顶角的性质
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是开放性题目，主要考查相似三角形的判定，解题的关键是先挖掘出图形中隐含的对顶角相等的条件，再结合相似三角形的判定定理补充合适的条件即可，注意使用两边成比例加夹角相等的判定时，边要对应相等角的两条边。
【难度系数】
0.8
6. 顶点均在格点上的三角形称为格点三角形. 如图，已知$\mathrm{Rt}△ ABC$是$6×6$网格中的格点三角形，那么该网格中所有可作出的与$\mathrm{Rt}△ ABC$相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是
$5\sqrt{2}$
.答案
6. $5\sqrt{2}$.
解析
【分析】
首先先确定原Rt△ABC的边长比：观察图形可得原直角三角形的两条直角边长分别为1、2，因此和它相似的格点直角三角形的两直角边之比必须为1:2。要使相似三角形面积最大，需让三角形的边长尽可能大，同时满足三个顶点都在6×6网格的格点上，且边长符合格点线段的特征（边长的平方为整数），结合网格的尺寸限制找到符合要求的最大三角形，最后计算其斜边长即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，由图可知原Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，因此两直角边的比为AC:BC=1:2，所以与它相似的格点直角三角形的两直角边之比也为1:2。
设相似三角形的短直角边长为a，长直角边长为2a，则其斜边长为$\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，面积为$\frac{1}{2}× a×2a=a^2$，要面积最大，即要a的取值最大。
格点线段的长度平方为两个整数的平方和，因此$a^2$为正整数，且三角形的所有顶点都在6×6网格内，任意边长不能超过网格的最大对角线长$6\sqrt{2}$。
尝试可得：当$a^2=10$（即$a=\sqrt{10}$，可由水平差1、竖直差3的格点线段得到），长直角边$2a=2\sqrt{10}$（可由水平差6、竖直差2的格点线段得到，且两条直角边互相垂直），此时三个顶点均可落在6×6网格的格点上，不存在超出网格的情况。
此时斜边长为$\sqrt{(\sqrt{10})^2+(2\sqrt{10})^2}=\sqrt{10+40}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
若尝试更大的a，对应的格点线段会超出6×6网格的范围，无法构成符合要求的格点三角形，因此该值为最大斜边长。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，格点图形特征
【点评】
本题将相似三角形的性质与格点图形相结合，需要先明确相似三角形的边长比例，再结合网格的限制条件筛选出最大的符合要求的三角形，较好地考查了逻辑推理和空间想象能力。
【难度系数】
0.4
首先先确定原Rt△ABC的边长比：观察图形可得原直角三角形的两条直角边长分别为1、2，因此和它相似的格点直角三角形的两直角边之比必须为1:2。要使相似三角形面积最大，需让三角形的边长尽可能大，同时满足三个顶点都在6×6网格的格点上，且边长符合格点线段的特征（边长的平方为整数），结合网格的尺寸限制找到符合要求的最大三角形，最后计算其斜边长即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，由图可知原Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，因此两直角边的比为AC:BC=1:2，所以与它相似的格点直角三角形的两直角边之比也为1:2。
设相似三角形的短直角边长为a，长直角边长为2a，则其斜边长为$\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，面积为$\frac{1}{2}× a×2a=a^2$，要面积最大，即要a的取值最大。
格点线段的长度平方为两个整数的平方和，因此$a^2$为正整数，且三角形的所有顶点都在6×6网格内，任意边长不能超过网格的最大对角线长$6\sqrt{2}$。
尝试可得：当$a^2=10$（即$a=\sqrt{10}$，可由水平差1、竖直差3的格点线段得到），长直角边$2a=2\sqrt{10}$（可由水平差6、竖直差2的格点线段得到，且两条直角边互相垂直），此时三个顶点均可落在6×6网格的格点上，不存在超出网格的情况。
此时斜边长为$\sqrt{(\sqrt{10})^2+(2\sqrt{10})^2}=\sqrt{10+40}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
若尝试更大的a，对应的格点线段会超出6×6网格的范围，无法构成符合要求的格点三角形，因此该值为最大斜边长。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，格点图形特征
【点评】
本题将相似三角形的性质与格点图形相结合，需要先明确相似三角形的边长比例，再结合网格的限制条件筛选出最大的符合要求的三角形，较好地考查了逻辑推理和空间想象能力。
【难度系数】
0.4
7. 如图，已知在$△ ABC$中，$P$为边$AB$上一点. 现给出下列四个条件：
①$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$；②$∠ APC=∠ ACB$；③$∠ ACP=∠ B$；④$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CP}$. 其中，能使$△ APC ∽ △ ACB$的有________.（填序号）
①$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$；②$∠ APC=∠ ACB$；③$∠ ACP=∠ B$；④$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CP}$. 其中，能使$△ APC ∽ △ ACB$的有________.（填序号）
答案
7. ①②③.
解析
【分析】
要判定△APC和△ACB相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需再满足“一组对应角相等”，或者“夹公共角∠A的两组对应边成比例”即可。我们逐个验证四个条件是否符合上述要求，就能得出结论。
【解析】
解：在△APC和△ACB中，公共角∠A=∠A。
① 若$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，即夹∠A的两组边对应成比例：$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可证△APC∽△ACB，故①符合要求；
② 若∠APC=∠ACB，结合∠A=∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证△APC∽△ACB，故②符合要求；
③ 若∠ACP=∠B，结合∠A=∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证△APC∽△ACB，故③符合要求；
④ 若$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CP}$，该比例中的边不是夹公共角∠A的对应边，不满足相似三角形的判定条件，无法证明△APC∽△ACB，故④不符合要求。
综上，能使△APC∽△ACB的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
相似三角形的判定，对应角识别，对应边判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是先找到两个三角形的公共角，再结合判定条件验证给出的角、边关系，注意要分清边的对应关系，避免因对应边混淆出错。
【难度系数】
0.7
要判定△APC和△ACB相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需再满足“一组对应角相等”，或者“夹公共角∠A的两组对应边成比例”即可。我们逐个验证四个条件是否符合上述要求，就能得出结论。
【解析】
解：在△APC和△ACB中，公共角∠A=∠A。
① 若$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，即夹∠A的两组边对应成比例：$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可证△APC∽△ACB，故①符合要求；
② 若∠APC=∠ACB，结合∠A=∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证△APC∽△ACB，故②符合要求；
③ 若∠ACP=∠B，结合∠A=∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证△APC∽△ACB，故③符合要求；
④ 若$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CP}$，该比例中的边不是夹公共角∠A的对应边，不满足相似三角形的判定条件，无法证明△APC∽△ACB，故④不符合要求。
综上，能使△APC∽△ACB的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
相似三角形的判定，对应角识别，对应边判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是先找到两个三角形的公共角，再结合判定条件验证给出的角、边关系，注意要分清边的对应关系，避免因对应边混淆出错。
【难度系数】
0.7
8. 如图，已知$∠ AOD=90°$，$OA=OB=BC=CD=1$，那么图中与$△ ABC$相似的三角形是
$△ DBA$
.答案
8. $△ DBA$.
解析
【分析】
要判断与△ABC相似的三角形，我们可以先利用勾股定理计算出AB的长度，再找到夹公共角的两组对应边，计算它们的比值，若比值相等，则可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定相似。首先梳理图中已知线段长度，再依次计算相关线段的长度，验证边的比例关系即可。
【解析】
解：已知∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD=1，
① 在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
② 计算线段BD的长度：
$BD=BC+CD=1+1=2$，
③ 观察△ABC和△DBA：
公共角∠ABC=∠DBA，
夹这个角的两组边的比值：
$\frac{AB}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△DBA。
【答案】
△DBA
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用，解题的关键是先通过勾股定理求出公共边AB的长度，再验证夹公共角的两组边是否对应成比例，要注意相似三角形对应边的顺序不要混淆。
【难度系数】
0.6
要判断与△ABC相似的三角形，我们可以先利用勾股定理计算出AB的长度，再找到夹公共角的两组对应边，计算它们的比值，若比值相等，则可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定相似。首先梳理图中已知线段长度，再依次计算相关线段的长度，验证边的比例关系即可。
【解析】
解：已知∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD=1，
① 在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
② 计算线段BD的长度：
$BD=BC+CD=1+1=2$，
③ 观察△ABC和△DBA：
公共角∠ABC=∠DBA，
夹这个角的两组边的比值：
$\frac{AB}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△DBA。
【答案】
△DBA
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用，解题的关键是先通过勾股定理求出公共边AB的长度，再验证夹公共角的两组边是否对应成比例，要注意相似三角形对应边的顺序不要混淆。
【难度系数】
0.6
9. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置
②
处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似.(填序号)答案
9. ②.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用相似三角形“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理推导。首先设每个小正方形的边长为1，先用勾股定理计算出“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长，得到三边的比例；再计算“车”“炮”两点的距离，接着分别计算“马”落在4个位置时，“马”“车”“炮”构成的三角形的三边长，对比两组三边的比例，比例一致的即为符合要求的位置。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长：
相到兵的距离为2；
帅到相的距离：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
帅到兵的距离：$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
因此该三角形三边之比为$2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2}=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
2. 计算“车”“炮”的距离：车和炮在同一水平线上，距离为1。
3. 分别计算马落在各位置时三角形的三边长：
马在①处：三边长为1、2、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，比例为$1:2:\sqrt{5}$，和已知三角形比例不符；
马在②处：三边长为1、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，比例为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，和已知三角形三边比例完全相同，满足相似条件；
马在③、④处时，计算可得三边比例均和已知三角形比例不符。
综上，只有马落在位置②时两个三角形相似。
【答案】
②
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合象棋“马走日”的规则考查相似三角形的判定，解题核心是利用勾股定理准确计算各条线段的长度，再通过三边对应成比例验证相似，兼顾了趣味性和对几何基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用相似三角形“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理推导。首先设每个小正方形的边长为1，先用勾股定理计算出“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长，得到三边的比例；再计算“车”“炮”两点的距离，接着分别计算“马”落在4个位置时，“马”“车”“炮”构成的三角形的三边长，对比两组三边的比例，比例一致的即为符合要求的位置。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长：
相到兵的距离为2；
帅到相的距离：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
帅到兵的距离：$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
因此该三角形三边之比为$2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2}=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
2. 计算“车”“炮”的距离：车和炮在同一水平线上，距离为1。
3. 分别计算马落在各位置时三角形的三边长：
马在①处：三边长为1、2、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，比例为$1:2:\sqrt{5}$，和已知三角形比例不符；
马在②处：三边长为1、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，比例为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，和已知三角形三边比例完全相同，满足相似条件；
马在③、④处时，计算可得三边比例均和已知三角形比例不符。
综上，只有马落在位置②时两个三角形相似。
【答案】
②
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合象棋“马走日”的规则考查相似三角形的判定，解题核心是利用勾股定理准确计算各条线段的长度，再通过三边对应成比例验证相似，兼顾了趣味性和对几何基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
10 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上，$AD＜AE$，$CD$、$BE$交于点$F$。如果$CD=BE$，那么图中与$△ ABE$相似的三角形是________。
答案
10. $△ FBD$. 提示：如图，在 AC 上截取 $CG=BD$，连接 BG，则 $△ DBC≌△ GCB$，可得 $DC=GB$，$∠ BDF=∠ BGE$. 由 $CD=BE$，得 $BG=BE$，即 $∠ BGE=∠ BEG$，则可得 $∠ BDF=∠ BEA$. 又由 $∠ FBD=∠ ABE$，可证$△ FBD∽△ ABE$.
解析
【分析】
要找到与$△ ABE$相似的三角形，已知$AB=AC$、$CD=BE$，直接推导角相等的条件不足，可通过构造辅助线转化边角关系：先在$AC$上截取与$BD$等长的线段$CG$，连接$BG$，先证$△ DBC$和$△ GCB$全等，得到边和角的等量关系，再结合$CD=BE$推导对应角相等，最终通过两组对应角相等判定相似三角形。
【解析】
解：如图，在$AC$上截取$CG=BD$，连接$BG$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$（等腰三角形两底角相等）。
在$△ DBC$和$△ GCB$中：
$\begin{cases} BD=CG \\ ∠ DBC=∠ GCB \\ BC=CB \end{cases}$
$\therefore △ DBC≌△ GCB$（$\mathrm{SAS}$），
$\therefore DC=GB$，$∠ BDC=∠ BGC$（全等三角形对应边、对应角相等）。
又$\because CD=BE$，$\therefore BG=BE$，
$\therefore ∠ BGE=∠ BEG$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ BDC=∠ BEG$，即$∠ BDF=∠ BEA$。
又$\because ∠ FBD=∠ ABE$（公共角），
$\therefore △ FBD∽△ ABE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
$△ FBD$
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是三角形全等、相似与等腰三角形性质的综合应用题，构造辅助线转化边、角的等量关系是解题的突破口，需要熟练掌握全等和相似的判定定理，具备一定的辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
要找到与$△ ABE$相似的三角形，已知$AB=AC$、$CD=BE$，直接推导角相等的条件不足，可通过构造辅助线转化边角关系：先在$AC$上截取与$BD$等长的线段$CG$，连接$BG$，先证$△ DBC$和$△ GCB$全等，得到边和角的等量关系，再结合$CD=BE$推导对应角相等，最终通过两组对应角相等判定相似三角形。
【解析】
解：如图，在$AC$上截取$CG=BD$，连接$BG$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$（等腰三角形两底角相等）。
在$△ DBC$和$△ GCB$中：
$\begin{cases} BD=CG \\ ∠ DBC=∠ GCB \\ BC=CB \end{cases}$
$\therefore △ DBC≌△ GCB$（$\mathrm{SAS}$），
$\therefore DC=GB$，$∠ BDC=∠ BGC$（全等三角形对应边、对应角相等）。
又$\because CD=BE$，$\therefore BG=BE$，
$\therefore ∠ BGE=∠ BEG$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ BDC=∠ BEG$，即$∠ BDF=∠ BEA$。
又$\because ∠ FBD=∠ ABE$（公共角），
$\therefore △ FBD∽△ ABE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
$△ FBD$
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是三角形全等、相似与等腰三角形性质的综合应用题，构造辅助线转化边、角的等量关系是解题的突破口，需要熟练掌握全等和相似的判定定理，具备一定的辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
