三、解答题
11. 如图，已知：O是△ABC的边BC上一点，连接AO. D、E、F分别OA、OB、OC的中点，连接DE、DF. 求证：△ABC∽△DEF.

证明：
∵ D、E分别是OA、OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AB。
∵ D、F分别是OA、OC的中点，
∴ DF是△OAC的中位线，
∴ DF = $\frac{1}{2}$AC。
∵ E、F分别是OB、OC的中点，
∴ EF是△OBC的中位线，
∴ EF = $\frac{1}{2}$BC。
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{EF}{BC} = \frac{1}{2}$，
∴ △ABC∽△DEF（三边对应成比例的两个三角形相似）。

【分析】
要证明△ABC∽△DEF，首先结合已知条件中多组边的中点特征，优先考虑三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。通过中位线性质分别推出△DEF的三条边与△ABC对应边的比例关系，再根据相似三角形的判定定理“三边对应成比例的两个三角形相似”即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ D、E分别是OA、OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AB。
∵ D、F分别是OA、OC的中点，
∴ DF是△OAC的中位线，
∴ DF = $\frac{1}{2}$AC。
∵ E、F分别是OB、OC的中点，
∴ EF是△OBC的中位线，
∴ EF = $\frac{1}{2}$BC。
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{EF}{BC} = \frac{1}{2}$，
∴ △ABC∽△DEF（三边对应成比例的两个三角形相似）。
【答案】
证明过程如上所示，△ABC∽△DEF得证。
【知识点】
1.三角形中位线定理
2.相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是结合中点条件利用中位线定理得到两组三角形三边的比例关系，熟记相关基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

12. 如图，已知：点 C、D 在线段 AB 上，$△ CDP$ 是等边三角形，$AC=2$，$CD=3$，$BD=\frac{9}{2}$. 求证：$△ ACP ∽ △ PDB$.

12. 提示：由$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}=\frac{2}{3}$，$∠ ACP=∠ PDB=120°$，得$△ ACP∽△ PDB$.

【分析】
要证明△ACP∽△PDB，可选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先利用等边三角形的性质，得到PC、PD的长度，以及∠ACP、∠PDB的度数，再计算两组对应边的比值，验证比值相等后结合夹角相等即可完成证明。
【解析】
证明：
∵△CDP是等边三角形，
∴PC=PD=CD=3，∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=180°-∠PCD=120°，∠PDB=180°-∠PDC=120°，即∠ACP=∠PDB。
已知AC=2，$BD=\frac{9}{2}$，则：
$\frac{AC}{PD}=\frac{2}{3}$，$\frac{PC}{BD}=\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$。
在△ACP和△PDB中：
$\begin{cases} \frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD} \\ ∠ ACP=∠ PDB \end{cases}$
∴△ACP∽△PDB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
△ACP∽△PDB，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是基础的相似三角形证明题，核心是结合等边三角形的性质获取边和角的相关条件，再匹配相似三角形的判定定理完成推导，解题时需注意对应边的比例关系不要写反。
【难度系数】
0.7