13. 如图，已知：在四边形ABCD中，AD//BC，点E、F分别在AC、BC上，∠FAC=∠EDA，∠ACD=∠ADC，$AF^2 = BF · CE$. 求证：$△ ABF ∽ △ CDE$.

13. $\because ∠ ACD=∠ ADC,\therefore AC=AD.$
$\because AD// BC,\therefore ∠ DAE=∠ ACF.$
$\because ∠ FAC=∠ EDA,\therefore △ ADE≌△ CAF.$
$\therefore DE=AF,∠ AED=∠ CFA.$
$\therefore ∠ CED=∠ BFA.$
$\because AF^2=BF· CE,\therefore \frac{AF}{CE}=\frac{BF}{AF}.\therefore \frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE}.$
在$△ ABF$与$△ CDE$中，
$\because \begin{cases}\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE},\\∠ BAF=∠ DCE,\end{cases}$
$\therefore △ ABF∽△ CDE.$

【分析】
要证明△ABF∽△CDE，可结合相似三角形的判定定理推导。首先从已知条件入手：①由∠ACD=∠ADC可推出AC=AD；②由AD//BC可得内错角∠DAE=∠ACF，结合已知∠FAC=∠EDA，可证明△ADE≌△CAF，得到DE=AF，为后续比例式的等量替换做准备；③将已知的乘积式AF²=BF·CE转化为比例式，把AF替换为DE即可得到两个三角形的两组对应边成比例，再证明对应边的夹角相等，即可完成相似证明。
【解析】
$\because ∠ACD=∠ADC,\therefore AC=AD.$
$\because AD// BC,\therefore ∠DAE=∠ACF.$
$\because ∠FAC=∠EDA,\therefore △ADE≌△CAF.$
$\therefore DE=AF,∠AED=∠CFA.$
$\therefore ∠CED=∠BFA.$
$\because AF^2=BF· CE,\therefore \frac{AF}{CE}=\frac{BF}{AF}.\therefore \frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE}.$
在$△ABF$与$△CDE$中，
$\because \begin{cases}\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE},\\∠BAF=∠DCE,\end{cases}$
$\therefore △ABF∽△CDE.$
【答案】
$\because ∠ACD=∠ADC,\therefore AC=AD.$
$\because AD// BC,\therefore ∠DAE=∠ACF.$
$\because ∠FAC=∠EDA,\therefore △ADE≌△CAF.$
$\therefore DE=AF,∠AED=∠CFA.$
$\therefore ∠CED=∠BFA.$
$\because AF^2=BF· CE,\therefore \frac{AF}{CE}=\frac{BF}{AF}.\therefore \frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE}.$
在$△ABF$与$△CDE$中，
$\because \begin{cases}\frac{AF}{CE}=\frac{BF}{DE},\\∠BAF=∠DCE,\end{cases}$
$\therefore △ABF∽△CDE.$
【知识点】
等腰三角形判定，全等三角形判定与性质，相似三角形判定
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、平行线性质、全等及相似三角形的相关知识，解题关键是先通过全等得到边的等量关系，再将乘积式转化为比例式，结合相似判定定理完成证明，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

14 如图，已知：在$△ ABC$中，点D、E分别在边BC、AC上，$AB=AD$，AD与BE交于点F，且$BC^2=AC· EC$。
（1）求证：$∠ ADB=∠ BEC$。
（2）如果$AB=BC$，求证：$AE· AD=AF· BE$。

14. (1) $\because BC^2=AC· EC,\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{EC}{BC}.$
$\because ∠ C$为公共角，$\therefore △ ABC∽△ BEC.\therefore ∠ ABC=∠ BEC.$
$\because AB=AD,\therefore ∠ ABC=∠ ADB.$
$\therefore ∠ ADB=∠ BEC.$
(2) $\because AB=BC,\therefore ∠ BAC=∠ C.$
$\because ∠ ADB=∠ CAD+∠ C,∠ BEC=∠ EBA+∠ BAC,∠ ADB=∠ BEC,$
$\therefore ∠ CAD=∠ EBA.$
$\because ∠ AEF=∠ BEA,\therefore △ AEF∽△ BEA.$
$\therefore \frac{AE}{BE}=\frac{AF}{BA},即 AE· AB=AF· BE.$
$\because AB=AD,\therefore AE· AD=AF· BE.$

【分析】
（1）要证∠ADB=∠BEC，首先将已知的边的乘积式$BC^2=AC· EC$转化为比例式，结合公共角∠C证明△ABC∽△BEC，得到∠ABC=∠BEC；再利用AB=AD的等腰三角形性质得∠ABC=∠ADB，等量代换即可得证。
（2）要证乘积式$AE· AD=AF· BE$，先转化为比例式分析，结合AB=AD，只需证明△AEF∽△BEA即可。先由AB=BC得∠BAC=∠C，结合三角形外角性质和（1）的结论推导得∠CAD=∠EBA，再结合公共角∠AEF=∠BEA证明三角形相似，最后替换AB=AD即可得证。
【解析】
（1）证明：
$\because BC^2=AC· EC$，
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{EC}{BC}$，
$\because ∠C$为△ABC和△BEC的公共角，
$\therefore △ ABC∽△ BEC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ BEC$，
$\because AB=AD$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ADB$，
$\therefore ∠ ADB=∠ BEC$。
（2）证明：
$\because AB=BC$，
$\therefore ∠ BAC=∠ C$，
由三角形外角性质可得：$∠ ADB=∠ CAD+∠ C$，$∠ BEC=∠ EBA+∠ BAC$，
$\because ∠ ADB=∠ BEC$，
$\therefore ∠ CAD=∠ EBA$，
又$\because ∠ AEF=∠ BEA$（公共角），
$\therefore △ AEF∽△ BEA$，
$\therefore \frac{AE}{BE}=\frac{AF}{BA}$，即$AE· AB=AF· BE$，
$\because AB=AD$，
$\therefore AE· AD=AF· BE$。
【答案】
（1）$∠ ADB=∠ BEC$，证明成立；
（2）$AE· AD=AF· BE$，证明成立。
【知识点】
相似三角形判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题目，解题核心是灵活将边的乘积关系转化为比例关系，结合公共角、等角推导得到相似三角形，再利用相似的性质得到边的关系，解题过程中要注意等量代换的运用，掌握基础的几何性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.65