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例1 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) $2x^2 +5x -2=0$；
(2) $5y^2 -3y=-4$；
(3) $\frac{1}{3}y^2 -2y +3=0$。
(1) $2x^2 +5x -2=0$；
(2) $5y^2 -3y=-4$；
(3) $\frac{1}{3}y^2 -2y +3=0$。
答案
(1) 由$a=2,b=5,c=-2,\Delta=5^2-4×2×(-2)=41＞0$,可得原方程有两个不相等的实数根
(2) 原方程可变为$5y^2-3y+4=0$.由$a=5,b=-3,c=4,\Delta=(-3)^2-4×5×4=-71＜0$,可得原方程没有实数根
(3) 由$a=\frac{1}{3},b=-2,c=3,\Delta=(-2)^2-4×\frac{1}{3}×3=0$,可得原方程有两个相等的实数根
(2) 原方程可变为$5y^2-3y+4=0$.由$a=5,b=-3,c=4,\Delta=(-3)^2-4×5×4=-71＜0$,可得原方程没有实数根
(3) 由$a=\frac{1}{3},b=-2,c=3,\Delta=(-2)^2-4×\frac{1}{3}×3=0$,可得原方程有两个相等的实数根
解析
【分析】
不解方程判别一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$。解题思路如下：①首先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意各项的符号不要出错；②将$a、b、c$的值代入判别式公式计算$\Delta$的结果；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。注意第(2)题等号右侧有常数项，需要先移项化为一般形式再计算。
【解析】
(1) 方程$2x^2 +5x -2=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=5$，$c=-2$，
代入判别式得：$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×2×(-2)=25+16=41＞0$，
因此原方程有两个不相等的实数根。
(2) 先将原方程移项，化为一般形式：$5y^2-3y+4=0$，
其中$a=5$，$b=-3$，$c=4$，
代入判别式得：$\Delta=(-3)^2-4×5×4=9-80=-71＜0$，
因此原方程没有实数根。
(3) 方程$\frac{1}{3}y^2 -2y +3=0$为一般形式，其中$a=\frac{1}{3}$，$b=-2$，$c=3$，
代入判别式得：$\Delta=(-2)^2-4×\frac{1}{3}×3=4-4=0$，
因此原方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) 原方程有两个不相等的实数根
(2) 原方程没有实数根
(3) 原方程有两个相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题关键是先将方程化为一般形式，准确识别各项系数及符号，再结合判别式与根的对应关系判断结果，熟练掌握相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
不解方程判别一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$。解题思路如下：①首先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意各项的符号不要出错；②将$a、b、c$的值代入判别式公式计算$\Delta$的结果；③根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。注意第(2)题等号右侧有常数项，需要先移项化为一般形式再计算。
【解析】
(1) 方程$2x^2 +5x -2=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=5$，$c=-2$，
代入判别式得：$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×2×(-2)=25+16=41＞0$，
因此原方程有两个不相等的实数根。
(2) 先将原方程移项，化为一般形式：$5y^2-3y+4=0$，
其中$a=5$，$b=-3$，$c=4$，
代入判别式得：$\Delta=(-3)^2-4×5×4=9-80=-71＜0$，
因此原方程没有实数根。
(3) 方程$\frac{1}{3}y^2 -2y +3=0$为一般形式，其中$a=\frac{1}{3}$，$b=-2$，$c=3$，
代入判别式得：$\Delta=(-2)^2-4×\frac{1}{3}×3=4-4=0$，
因此原方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) 原方程有两个不相等的实数根
(2) 原方程没有实数根
(3) 原方程有两个相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题关键是先将方程化为一般形式，准确识别各项系数及符号，再结合判别式与根的对应关系判断结果，熟练掌握相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
例2 已知关于x的方程$mx^2-(3m-1)x+2m-1=0$，其根的判别式$\Delta=1$，求m的值及该方程的根。
答案
$\because\Delta=1,\therefore m≠0,\Delta=[-(3m-1)]^2-4m(2m-1)=1$.解得$m_1=0$(不符合题意,舍去),$m_2=2$.$\therefore$原方程化为$2x^2-5x+3=0$.解得$x_1=1,x_2=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
首先，题目提到方程的根的判别式Δ=1，说明该方程是一元二次方程，因此首先要明确二次项系数m不能为0。接下来回忆一元二次方程根的判别式公式Δ=b²-4ac，对应方程找到a、b、c的表达式，代入Δ=1的条件列出关于m的方程，求解后舍去不符合m≠0的解，得到m的正确值，最后将m代入原方程，解一元二次方程即可得到方程的根。
【解析】
解：
∵方程存在根的判别式Δ，
∴该方程为一元二次方程，即$m≠0$。
根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，其中$a=m$，$b=-(3m-1)$，$c=2m-1$，且$\Delta=1$，可得：
$[-(3m-1)]^2 - 4· m·(2m-1) = 1$
展开整理得：
$9m^2 - 6m + 1 - 8m^2 + 4m = 1$
$m^2 - 2m = 0$
因式分解得$m(m-2)=0$，解得$m_1=0$，$m_2=2$。
∵$m≠0$，
∴舍去$m_1=0$，即$m=2$。
将$m=2$代入原方程，得：
$2x^2 - 5x + 3 = 0$
因式分解得$(x-1)(2x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
$m=2$，方程的根为$x_1=1$，$x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，解题的关键是注意判别式仅适用于一元二次方程，二次项系数不为0是容易遗漏的隐含限制条件，熟练掌握判别式公式和一元二次方程的解法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
首先，题目提到方程的根的判别式Δ=1，说明该方程是一元二次方程，因此首先要明确二次项系数m不能为0。接下来回忆一元二次方程根的判别式公式Δ=b²-4ac，对应方程找到a、b、c的表达式，代入Δ=1的条件列出关于m的方程，求解后舍去不符合m≠0的解，得到m的正确值，最后将m代入原方程，解一元二次方程即可得到方程的根。
【解析】
解：
∵方程存在根的判别式Δ，
∴该方程为一元二次方程，即$m≠0$。
根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，其中$a=m$，$b=-(3m-1)$，$c=2m-1$，且$\Delta=1$，可得：
$[-(3m-1)]^2 - 4· m·(2m-1) = 1$
展开整理得：
$9m^2 - 6m + 1 - 8m^2 + 4m = 1$
$m^2 - 2m = 0$
因式分解得$m(m-2)=0$，解得$m_1=0$，$m_2=2$。
∵$m≠0$，
∴舍去$m_1=0$，即$m=2$。
将$m=2$代入原方程，得：
$2x^2 - 5x + 3 = 0$
因式分解得$(x-1)(2x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
$m=2$，方程的根为$x_1=1$，$x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用类题目，解题的关键是注意判别式仅适用于一元二次方程，二次项系数不为0是容易遗漏的隐含限制条件，熟练掌握判别式公式和一元二次方程的解法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
例3 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）若$\mathrm{Rt}△ ABC$的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求$m$的值.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）若$\mathrm{Rt}△ ABC$的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求$m$的值.
答案
(1) $\because\Delta=[-(2m+1)]^2-4(m^2+m)=1＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根
(2) 一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$的解为$x=\frac{2m+1\pm1}{2}$,即$x_1=m,x_2=m+1$.$\because m＜m+1,\therefore m$不可能是斜边长度.当$m+1$是斜边长度时,$m^2+5^2=(m+1)^2$,解得$m=12$;当5是斜边长度时,$m^2+(m+1)^2=5^2$,解得$m=3$或$m=-4$(舍弃负数值).综合上述,$m$的值为12或3
(2) 一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$的解为$x=\frac{2m+1\pm1}{2}$,即$x_1=m,x_2=m+1$.$\because m＜m+1,\therefore m$不可能是斜边长度.当$m+1$是斜边长度时,$m^2+5^2=(m+1)^2$,解得$m=12$;当5是斜边长度时,$m^2+(m+1)^2=5^2$,解得$m=3$或$m=-4$(舍弃负数值).综合上述,$m$的值为12或3
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心方法是计算根的判别式$\Delta$，判断$\Delta$与0的大小关系，若$\Delta＞0$即可得证。（2）先求解方程得到两个根的表达式，再结合直角三角形三边的勾股定理求解$m$；由于直角三角形斜边未明确，需分类讨论斜边的情况，同时边长为正数，需舍去不符合实际意义的负解。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$，
根的判别式$\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4×1×(m^2+m)$
$=4m^2+4m+1-4m^2-4m$
$=1＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
（2）解：解一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$，
由求根公式得$x=\frac{2m+1\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{2m+1\pm1}{2}$，
即$x_1=m$，$x_2=m+1$。
因为$m＜m+1$，所以$m$不可能是直角三角形的斜边，分两种情况讨论：
① 当$m+1$为斜边时，由勾股定理得：
$m^2+5^2=(m+1)^2$，
展开整理得$2m=24$，解得$m=12$；
② 当5为斜边时，由勾股定理得：
$m^2+(m+1)^2=5^2$，
整理得$m^2+m-12=0$，解得$m=3$或$m=-4$，
由于三角形边长为正数，舍去$m=-4$。
综上可得$m$的值为3或12。
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根，得证；
（2）$m$的值为3或12。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理
【点评】
本题结合了一元二次方程与直角三角形的相关知识，重点考查分类讨论思想的应用，解题时要注意斜边的多种可能性，同时结合边长的实际意义舍去不符合要求的解，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心方法是计算根的判别式$\Delta$，判断$\Delta$与0的大小关系，若$\Delta＞0$即可得证。（2）先求解方程得到两个根的表达式，再结合直角三角形三边的勾股定理求解$m$；由于直角三角形斜边未明确，需分类讨论斜边的情况，同时边长为正数，需舍去不符合实际意义的负解。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$，
根的判别式$\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4×1×(m^2+m)$
$=4m^2+4m+1-4m^2-4m$
$=1＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
（2）解：解一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$，
由求根公式得$x=\frac{2m+1\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{2m+1\pm1}{2}$，
即$x_1=m$，$x_2=m+1$。
因为$m＜m+1$，所以$m$不可能是直角三角形的斜边，分两种情况讨论：
① 当$m+1$为斜边时，由勾股定理得：
$m^2+5^2=(m+1)^2$，
展开整理得$2m=24$，解得$m=12$；
② 当5为斜边时，由勾股定理得：
$m^2+(m+1)^2=5^2$，
整理得$m^2+m-12=0$，解得$m=3$或$m=-4$，
由于三角形边长为正数，舍去$m=-4$。
综上可得$m$的值为3或12。
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根，得证；
（2）$m$的值为3或12。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理
【点评】
本题结合了一元二次方程与直角三角形的相关知识，重点考查分类讨论思想的应用，解题时要注意斜边的多种可能性，同时结合边长的实际意义舍去不符合要求的解，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
1. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 （
A.$x^2 +5x=0$
B.$x^2 -3x -\frac{3}{4}=0$
C.$x^2 -\sqrt{15}x +5=0$
D.$x^2 -6x +9=0$
D
）A.$x^2 +5x=0$
B.$x^2 -3x -\frac{3}{4}=0$
C.$x^2 -\sqrt{15}x +5=0$
D.$x^2 -6x +9=0$
答案
D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个相等的实数根，需结合根的判别式分析。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。因此我们只需要分别计算四个选项中方程的判别式，找到$\Delta=0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$：
选项A：方程$x^2 +5x=0$中，$a=1$，$b=5$，$c=0$，$\Delta=5^2 - 4×1×0=25＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2 -3x -\frac{3}{4}=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-\frac{3}{4}$，$\Delta=(-3)^2 - 4×1×(-\frac{3}{4})=9+3=12＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2 -\sqrt{15}x +5=0$中，$a=1$，$b=-\sqrt{15}$，$c=5$，$\Delta=(-\sqrt{15})^2 - 4×1×5=15-20=-5＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2 -6x +9=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=9$，$\Delta=(-6)^2 - 4×1×9=36-36=0$，方程有两个相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的判定
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，牢记判别式的计算公式以及不同取值对应的根的情况是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有两个相等的实数根，需结合根的判别式分析。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。因此我们只需要分别计算四个选项中方程的判别式，找到$\Delta=0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$：
选项A：方程$x^2 +5x=0$中，$a=1$，$b=5$，$c=0$，$\Delta=5^2 - 4×1×0=25＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2 -3x -\frac{3}{4}=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-\frac{3}{4}$，$\Delta=(-3)^2 - 4×1×(-\frac{3}{4})=9+3=12＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2 -\sqrt{15}x +5=0$中，$a=1$，$b=-\sqrt{15}$，$c=5$，$\Delta=(-\sqrt{15})^2 - 4×1×5=15-20=-5＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2 -6x +9=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=9$，$\Delta=(-6)^2 - 4×1×9=36-36=0$，方程有两个相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的判定
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，牢记判别式的计算公式以及不同取值对应的根的情况是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx - m - 2 = 0$的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.实数根的个数由$m$的值确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.实数根的个数由$m$的值确定
答案
A
解析
【分析】
判断一元二次方程的根的情况，需利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号来判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。首先确定方程中对应的$a$、$b$、$c$的值，代入判别式化简后，判断化简结果的符号即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx - m - 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-m-2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = m^2 - 4×1×(-m-2)$
$= m^2 + 4m + 8$
对式子配方可得：
$\Delta = (m^2 + 4m + 4) + 4 = (m+2)^2 + 4$
∵ 任意实数的平方是非负数，即$(m+2)^2 ≥ 0$
∴ $(m+2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta$恒大于0
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；配方法
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是正确代入系数计算判别式，通过配方即可快速判断判别式的符号，无需代入$m$的具体值就能确定根的情况。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程的根的情况，需利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号来判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。首先确定方程中对应的$a$、$b$、$c$的值，代入判别式化简后，判断化简结果的符号即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx - m - 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-m-2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = m^2 - 4×1×(-m-2)$
$= m^2 + 4m + 8$
对式子配方可得：
$\Delta = (m^2 + 4m + 4) + 4 = (m+2)^2 + 4$
∵ 任意实数的平方是非负数，即$(m+2)^2 ≥ 0$
∴ $(m+2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta$恒大于0
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；配方法
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是正确代入系数计算判别式，通过配方即可快速判断判别式的符号，无需代入$m$的具体值就能确定根的情况。
【难度系数】
0.8
