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3. 若关于$x$的方程$4x^2 + (k+1)x +1=0$有两个相等的实数根，则$k$的值为
3或-5
。答案
3或-5
解析
【分析】
已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。我们可以先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式等于0的等式，得到关于k的一元二次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$4x^2 + (k+1)x +1=0$中，$a=4$，$b=k+1$，$c=1$，结合题意得：
$\Delta=(k+1)^2 - 4×4×1=0$
整理得：$(k+1)^2=16$
开平方得：$k+1=\pm4$
当$k+1=4$时，解得$k=3$；
当$k+1=-4$时，解得$k=-5$。
【答案】
3或-5
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是明确判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，代入计算时注意不要遗漏负根即可。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。我们可以先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式等于0的等式，得到关于k的一元二次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$4x^2 + (k+1)x +1=0$中，$a=4$，$b=k+1$，$c=1$，结合题意得：
$\Delta=(k+1)^2 - 4×4×1=0$
整理得：$(k+1)^2=16$
开平方得：$k+1=\pm4$
当$k+1=4$时，解得$k=3$；
当$k+1=-4$时，解得$k=-5$。
【答案】
3或-5
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是明确判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，代入计算时注意不要遗漏负根即可。
【难度系数】
0.8
4. 关于x的一元二次方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
$m＜1$且$m≠0$
。答案
$m＜1$且$m≠0$
解析
【分析】
首先，题目明确说明是关于x的一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的核心定义：二次项系数不为0，即$m≠0$；其次，方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当判别式$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，我们代入对应系数计算判别式、解不等式得到m的取值范围，最后结合两个限制条件得到最终结果。
【解析】
解：$\because$ 方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数$m≠0$
又$\because$ 方程有两个不相等的实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=m$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m× 1 = 4 - 4m ＞ 0$
解不等式$4-4m＞0$：
移项得$-4m ＞ -4$，两边同时除以-4（不等号方向改变），得$m ＜ 1$
综合两个限制条件，实数m的取值范围是$m ＜ 1$且$m≠0$
【答案】
$m＜1$且$m≠0$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，仅通过判别式计算得到$m＜1$，导致结果缺漏限制条件。解答这类题目时要先明确方程类型，再结合根的情况列不等式求解，最后综合所有限制条件得到最终取值范围。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确说明是关于x的一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的核心定义：二次项系数不为0，即$m≠0$；其次，方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当判别式$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，我们代入对应系数计算判别式、解不等式得到m的取值范围，最后结合两个限制条件得到最终结果。
【解析】
解：$\because$ 方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数$m≠0$
又$\because$ 方程有两个不相等的实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=m$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m× 1 = 4 - 4m ＞ 0$
解不等式$4-4m＞0$：
移项得$-4m ＞ -4$，两边同时除以-4（不等号方向改变），得$m ＜ 1$
综合两个限制条件，实数m的取值范围是$m ＜ 1$且$m≠0$
【答案】
$m＜1$且$m≠0$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，仅通过判别式计算得到$m＜1$，导致结果缺漏限制条件。解答这类题目时要先明确方程类型，再结合根的情况列不等式求解，最后综合所有限制条件得到最终取值范围。
【难度系数】
0.7
5. 已知关于$x$的方程$2x^2 - x - (m - 1) = 0$.
(1) 若$x=-1$是方程的一个根，求$m$的值和方程的另一根；
(2) 当$m$取何值时，方程总有实数根？
(1) 若$x=-1$是方程的一个根，求$m$的值和方程的另一根；
(2) 当$m$取何值时，方程总有实数根？
答案
(1) 将$x=-1$,代入$2x^2-x-(m-1)=0$,得$2+1-m+1=0$.解得$m=4$.$\therefore$方程为$2x^2-x-3=0$.解得$x_1=-1,x_2=\frac{3}{2}$.$\therefore$方程的另一个根为$x=\frac{3}{2}$
(2) $\Delta=(-1)^2+4×2(m-1)≥0$,解得$m≥\frac{7}{8}$.$\therefore$当$m≥\frac{7}{8}$时,方程总有实数根
(2) $\Delta=(-1)^2+4×2(m-1)≥0$,解得$m≥\frac{7}{8}$.$\therefore$当$m≥\frac{7}{8}$时,方程总有实数根
解析
【分析】
(1) 已知方程的根，则该根满足方程的等式关系，首先将$x=-1$代入原方程，可得到关于$m$的一元一次方程，解出$m$的值；再把$m$代回原方程，解一元二次方程即可得到另一根，也可通过根与系数的关系快速求解另一根。
(2) 一元二次方程总有实数根的判定条件是判别式$\Delta≥0$，本题二次项系数为2，不为0，属于一元二次方程，直接计算判别式，列出关于$m$的不等式求解即可。
【解析】
(1) 将$x=-1$代入方程$2x^2 - x - (m - 1) = 0$，得：
$2×(-1)^2 - (-1) - (m - 1) = 0$
化简得$2+1-m+1=0$，解得$m=4$。
把$m=4$代入原方程，得$2x^2 - x - 3 = 0$，
因式分解为$(x+1)(2x-3)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=\frac{3}{2}$，即方程的另一根为$\frac{3}{2}$。
(2) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程总有实数根。
本题中$a=2$，$b=-1$，$c=-(m-1)$，则：
$\Delta=(-1)^2 - 4×2×[-(m-1)] = 1 + 8(m-1)$
令$\Delta≥0$，即$1+8m-8≥0$，
整理得$8m≥7$，解得$m≥\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $m=4$，方程的另一根为$\frac{3}{2}$；
(2) $m≥\frac{7}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，第一问直接应用方程根的定义代入求解，第二问考查根的判别式和方程实数根个数的对应关系，整体计算量小，掌握基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 已知方程的根，则该根满足方程的等式关系，首先将$x=-1$代入原方程，可得到关于$m$的一元一次方程，解出$m$的值；再把$m$代回原方程，解一元二次方程即可得到另一根，也可通过根与系数的关系快速求解另一根。
(2) 一元二次方程总有实数根的判定条件是判别式$\Delta≥0$，本题二次项系数为2，不为0，属于一元二次方程，直接计算判别式，列出关于$m$的不等式求解即可。
【解析】
(1) 将$x=-1$代入方程$2x^2 - x - (m - 1) = 0$，得：
$2×(-1)^2 - (-1) - (m - 1) = 0$
化简得$2+1-m+1=0$，解得$m=4$。
把$m=4$代入原方程，得$2x^2 - x - 3 = 0$，
因式分解为$(x+1)(2x-3)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=\frac{3}{2}$，即方程的另一根为$\frac{3}{2}$。
(2) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程总有实数根。
本题中$a=2$，$b=-1$，$c=-(m-1)$，则：
$\Delta=(-1)^2 - 4×2×[-(m-1)] = 1 + 8(m-1)$
令$\Delta≥0$，即$1+8m-8≥0$，
整理得$8m≥7$，解得$m≥\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $m=4$，方程的另一根为$\frac{3}{2}$；
(2) $m≥\frac{7}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，第一问直接应用方程根的定义代入求解，第二问考查根的判别式和方程实数根个数的对应关系，整体计算量小，掌握基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (k+5)x +6 +2k=0$.
（1）若此方程恰有一个根等于$-1$，求$k$的值.
（2）求证：不论$k$取何值，方程总有实数根.
（1）若此方程恰有一个根等于$-1$，求$k$的值.
（2）求证：不论$k$取何值，方程总有实数根.
答案
(1) 将$x=-1$代入方程,得$1+k+5+6+2k=0$.解得$k=-4$.$\therefore k$的值为$-4$
(2) $\because\Delta=[-(k+5)]^2-4(6+2k)=k^2+10k+25-24-8k=k^2+2k+1=(k+1)^2$,$\because(k+1)^2≥0$,$\therefore$不论$k$取何值,方程总有实数根
(2) $\because\Delta=[-(k+5)]^2-4(6+2k)=k^2+10k+25-24-8k=k^2+2k+1=(k+1)^2$,$\because(k+1)^2≥0$,$\therefore$不论$k$取何值,方程总有实数根
解析
【分析】
（1）根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知根$x=-1$代入原方程，即可得到关于$k$的一元一次方程，求解该方程就能得到$k$的值。
（2）要证明不论$k$取何值方程总有实数根，对于一元二次方程，只需证明其根的判别式$\Delta$恒大于等于0即可。先写出判别式的表达式，再通过化简、配方，判断其取值范围即可完成证明。
【解析】
（1）将$x=-1$代入方程$x^2 - (k+5)x +6 +2k=0$，得：
$1 + (k+5) + 6 + 2k = 0$
合并同类项得：$3k + 12 = 0$
解得$k=-4$。
（2）证明：对于一元二次方程$x^2 - (k+5)x +6 +2k=0$，其根的判别式为：
$\Delta=[-(k+5)]^2-4(6+2k)$
$=k^2+10k+25-24-8k$
$=k^2+2k+1$
$=(k+1)^2$
$\because (k+1)^2≥0$，即$\Delta≥0$恒成立，
$\therefore$ 不论$k$取何值，方程总有实数根。
【答案】
(1) $k=-4$；
(2) 不论$k$取何值，方程总有实数根，证明如上。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，完全平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问直接利用根的定义代入计算即可，第二问核心是掌握用判别式判断一元二次方程根的情况的方法，化简判别式用到的配方技巧也是代数运算中的常用技能，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
（1）根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知根$x=-1$代入原方程，即可得到关于$k$的一元一次方程，求解该方程就能得到$k$的值。
（2）要证明不论$k$取何值方程总有实数根，对于一元二次方程，只需证明其根的判别式$\Delta$恒大于等于0即可。先写出判别式的表达式，再通过化简、配方，判断其取值范围即可完成证明。
【解析】
（1）将$x=-1$代入方程$x^2 - (k+5)x +6 +2k=0$，得：
$1 + (k+5) + 6 + 2k = 0$
合并同类项得：$3k + 12 = 0$
解得$k=-4$。
（2）证明：对于一元二次方程$x^2 - (k+5)x +6 +2k=0$，其根的判别式为：
$\Delta=[-(k+5)]^2-4(6+2k)$
$=k^2+10k+25-24-8k$
$=k^2+2k+1$
$=(k+1)^2$
$\because (k+1)^2≥0$，即$\Delta≥0$恒成立，
$\therefore$ 不论$k$取何值，方程总有实数根。
【答案】
(1) $k=-4$；
(2) 不论$k$取何值，方程总有实数根，证明如上。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，完全平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问直接利用根的定义代入计算即可，第二问核心是掌握用判别式判断一元二次方程根的情况的方法，化简判别式用到的配方技巧也是代数运算中的常用技能，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
7. 已知关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0$.
（1）请你判断方程的根的情况；
（2）求出方程的根；
（3）若方程的两个根都是正整数，求整数$m$的值.
（1）请你判断方程的根的情况；
（2）求出方程的根；
（3）若方程的两个根都是正整数，求整数$m$的值.
答案
(1) $a=m-1,b=-2m,c=m+1$,$\therefore\Delta=b^2-4ac=(-2m)^2-4×(m-1)(m+1)=4m^2-4m^2+4=4＞0$.$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根
(2) 由(1),得$\Delta=4$.$\therefore x=\frac{-(-2m)\pm2}{2(m-1)}=\frac{m\pm1}{m-1}$.$\therefore x_1=1,x_2=\frac{m+1}{m-1}$
(3) 由(2)知$x_1=1,x_2=\frac{m+1}{m-1}$.$\because m$为整数,方程的两个根都是正整数,$\therefore\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}$必为正整数.$\therefore m-1=1$或2.$\therefore m=2$或$m=3$
(2) 由(1),得$\Delta=4$.$\therefore x=\frac{-(-2m)\pm2}{2(m-1)}=\frac{m\pm1}{m-1}$.$\therefore x_1=1,x_2=\frac{m+1}{m-1}$
(3) 由(2)知$x_1=1,x_2=\frac{m+1}{m-1}$.$\because m$为整数,方程的两个根都是正整数,$\therefore\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}$必为正整数.$\therefore m-1=1$或2.$\therefore m=2$或$m=3$
解析
【分析】
（1）判断一元二次方程根的情况，首先明确题干已说明是一元二次方程，因此二次项系数不为0，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号即可判断根的情况；
（2）求方程的根时，直接利用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入已算出的$\Delta$值和对应系数化简，即可得到两个根；
（3）已知两个根都是正整数，其中一个根为1，已满足正整数要求，只需将另一个根的分式变形，分析出分母是分子的正约数，即可求出整数$m$的取值。
【解析】
（1）由题意得该方程为一元二次方程，故$a=m-1$，$b=-2m$，$c=m+1$，且$m-1≠0$，
则判别式$\Delta=b^2-4ac=(-2m)^2-4×(m-1)(m+1)=4m^2-4m^2+4=4＞0$，
因此方程总有两个不相等的实数根。
（2）由（1）知$\Delta=4$，代入求根公式得：
$x=\frac{-(-2m)\pm\sqrt{4}}{2(m-1)}=\frac{2m\pm2}{2(m-1)}=\frac{m\pm1}{m-1}$，
因此$x_1=\frac{m-1}{m-1}=1$，$x_2=\frac{m+1}{m-1}$。
（3）由（2）可知两个根为$x_1=1$，$x_2=\frac{m+1}{m-1}$，其中$x_1=1$是正整数，
将$x_2$变形得：$\frac{m+1}{m-1}=\frac{(m-1)+2}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}$，
因为$m$为整数，$x_2$为正整数，所以$\frac{2}{m-1}$为非负整数，且$m-1≠0$，
因此$m-1$是2的正约数，即$m-1=1$或$m-1=2$，
解得$m=2$或$m=3$。
【答案】
(1) 方程总有两个不相等的实数根；
(2) $x_1=1$，$x_2=\frac{m+1}{m-1}$；
(3) $m=2$或$m=3$
【知识点】
根的判别式；公式法解方程；整数解求值
【点评】
本题由浅入深考查一元二次方程的相关知识，基础部分要求熟练掌握根的判定方法和求根公式的应用，第三问的整数解问题需要灵活对分式进行拆分变形，解题时要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，能有效锻炼代数运算和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断一元二次方程根的情况，首先明确题干已说明是一元二次方程，因此二次项系数不为0，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号即可判断根的情况；
（2）求方程的根时，直接利用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入已算出的$\Delta$值和对应系数化简，即可得到两个根；
（3）已知两个根都是正整数，其中一个根为1，已满足正整数要求，只需将另一个根的分式变形，分析出分母是分子的正约数，即可求出整数$m$的取值。
【解析】
（1）由题意得该方程为一元二次方程，故$a=m-1$，$b=-2m$，$c=m+1$，且$m-1≠0$，
则判别式$\Delta=b^2-4ac=(-2m)^2-4×(m-1)(m+1)=4m^2-4m^2+4=4＞0$，
因此方程总有两个不相等的实数根。
（2）由（1）知$\Delta=4$，代入求根公式得：
$x=\frac{-(-2m)\pm\sqrt{4}}{2(m-1)}=\frac{2m\pm2}{2(m-1)}=\frac{m\pm1}{m-1}$，
因此$x_1=\frac{m-1}{m-1}=1$，$x_2=\frac{m+1}{m-1}$。
（3）由（2）可知两个根为$x_1=1$，$x_2=\frac{m+1}{m-1}$，其中$x_1=1$是正整数，
将$x_2$变形得：$\frac{m+1}{m-1}=\frac{(m-1)+2}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}$，
因为$m$为整数，$x_2$为正整数，所以$\frac{2}{m-1}$为非负整数，且$m-1≠0$，
因此$m-1$是2的正约数，即$m-1=1$或$m-1=2$，
解得$m=2$或$m=3$。
【答案】
(1) 方程总有两个不相等的实数根；
(2) $x_1=1$，$x_2=\frac{m+1}{m-1}$；
(3) $m=2$或$m=3$
【知识点】
根的判别式；公式法解方程；整数解求值
【点评】
本题由浅入深考查一元二次方程的相关知识，基础部分要求熟练掌握根的判定方法和求根公式的应用，第三问的整数解问题需要灵活对分式进行拆分变形，解题时要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，能有效锻炼代数运算和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
8. 已知$△ ABC$的一条边$BC$的长为5，另两边$AB$，$AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$的两个实数根.
（1）求证：无论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）当$k$为何值时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形？
（3）当$k$为何值时，$△ ABC$是等腰三角形？
（1）求证：无论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）当$k$为何值时，$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形？
（3）当$k$为何值时，$△ ABC$是等腰三角形？
答案
(1) 由题意,得$\Delta=[-(2k+3)]^2-4(k^2+3k+2)=4k^2+12k+9-4k^2-12k-8=1＞0$.$\therefore$无论$k$为何值时,方程总有两个不相等的实数根
(2) $\because AB,AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$的两个实数根,$\therefore AB+AC=2k+3,AB· AC=k^2+3k+2$.$\because△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形,$\therefore AB^2+AC^2=BC^2=25$.$\because AB^2+AC^2=(AB+AC)^2-2AB· AC$,$\therefore(2k+3)^2-2(k^2+3k+2)=25$.$\therefore k^2+3k-10=0$.解得$k=2$或$k=-5$.$\because AB+AC=2k+3＞0$,$\therefore k＞-\frac{3}{2}$.$\therefore k=2$($-5$舍去).$\therefore$当$k=2$时,$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形
(3) 由(1)可知方程有两个不相等的实数根,$\therefore AB≠ AC$.$\therefore BC$为腰.$\therefore x=5$是方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$的一个根.$\therefore5^2-5(2k+3)+k^2+3k+2=0$.$\therefore k^2-7k+12=0$.解得$k=3$或$k=4$.$\therefore$当$k=3$或$k=4$时,$△ ABC$是等腰三角形
(2) $\because AB,AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$的两个实数根,$\therefore AB+AC=2k+3,AB· AC=k^2+3k+2$.$\because△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形,$\therefore AB^2+AC^2=BC^2=25$.$\because AB^2+AC^2=(AB+AC)^2-2AB· AC$,$\therefore(2k+3)^2-2(k^2+3k+2)=25$.$\therefore k^2+3k-10=0$.解得$k=2$或$k=-5$.$\because AB+AC=2k+3＞0$,$\therefore k＞-\frac{3}{2}$.$\therefore k=2$($-5$舍去).$\therefore$当$k=2$时,$△ ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形
(3) 由(1)可知方程有两个不相等的实数根,$\therefore AB≠ AC$.$\therefore BC$为腰.$\therefore x=5$是方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$的一个根.$\therefore5^2-5(2k+3)+k^2+3k+2=0$.$\therefore k^2-7k+12=0$.解得$k=3$或$k=4$.$\therefore$当$k=3$或$k=4$时,$△ ABC$是等腰三角形
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需验证判别式$\Delta$恒大于0即可，直接代入判别式公式计算化简，判断结果的正负性即可完成证明。
（2）已知$BC$为直角三角形的斜边，根据勾股定理可得$AB^2+AC^2=BC^2=25$；再结合一元二次方程根与系数的关系，得到$AB+AC$和$AB·AC$的表达式，利用完全平方公式将$AB^2+AC^2$转化为含两根和、两根积的形式，列方程求解$k$，最后结合三角形边长为正数的隐含条件，舍去不符合题意的$k$值。
（3）等腰三角形需分情况讨论，由（1）可知方程两根不相等，即$AB≠AC$，因此只能是$BC$为等腰三角形的腰，也就是$x=5$是方程的一个根，将$x=5$代入原方程求解$k$即可。
【解析】
(1) 计算方程的判别式：
$\Delta=[-(2k+3)]^2-4(k^2+3k+2)=4k^2+12k+9-4k^2-12k-8=1＞0$
$\therefore$无论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 根据根与系数的关系可得：
$AB+AC=2k+3$，$AB·AC=k^2+3k+2$
$\because△ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形，$BC=5$
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2=25$
又$\because AB^2+AC^2=(AB+AC)^2-2AB·AC$
代入得：$(2k+3)^2-2(k^2+3k+2)=25$
整理得：$k^2+3k-10=0$
解得：$k=2$或$k=-5$
$\because$三角形边长为正，$\therefore AB+AC=2k+3＞0$，即$k＞-\frac{3}{2}$
$\therefore k=-5$不符合题意，舍去，取$k=2$。
(3) 由(1)可知方程总有两个不相等的实数根，因此$AB≠AC$
若$△ABC$为等腰三角形，则$BC$为腰，即$AB=5$或$AC=5$，也就是$x=5$是原方程的一个根
将$x=5$代入方程得：$5^2-5(2k+3)+k^2+3k+2=0$
整理得：$k^2-7k+12=0$
解得：$k=3$或$k=4$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $k=2$；
(3) $k=3$或$k=4$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，三角形性质
【点评】
本题是代数与几何的综合题型，考查了一元二次方程的相关性质和三角形的分类讨论思想，解题时要注意结合边长为正的实际意义，舍去不符合要求的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需验证判别式$\Delta$恒大于0即可，直接代入判别式公式计算化简，判断结果的正负性即可完成证明。
（2）已知$BC$为直角三角形的斜边，根据勾股定理可得$AB^2+AC^2=BC^2=25$；再结合一元二次方程根与系数的关系，得到$AB+AC$和$AB·AC$的表达式，利用完全平方公式将$AB^2+AC^2$转化为含两根和、两根积的形式，列方程求解$k$，最后结合三角形边长为正数的隐含条件，舍去不符合题意的$k$值。
（3）等腰三角形需分情况讨论，由（1）可知方程两根不相等，即$AB≠AC$，因此只能是$BC$为等腰三角形的腰，也就是$x=5$是方程的一个根，将$x=5$代入原方程求解$k$即可。
【解析】
(1) 计算方程的判别式：
$\Delta=[-(2k+3)]^2-4(k^2+3k+2)=4k^2+12k+9-4k^2-12k-8=1＞0$
$\therefore$无论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 根据根与系数的关系可得：
$AB+AC=2k+3$，$AB·AC=k^2+3k+2$
$\because△ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形，$BC=5$
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2=25$
又$\because AB^2+AC^2=(AB+AC)^2-2AB·AC$
代入得：$(2k+3)^2-2(k^2+3k+2)=25$
整理得：$k^2+3k-10=0$
解得：$k=2$或$k=-5$
$\because$三角形边长为正，$\therefore AB+AC=2k+3＞0$，即$k＞-\frac{3}{2}$
$\therefore k=-5$不符合题意，舍去，取$k=2$。
(3) 由(1)可知方程总有两个不相等的实数根，因此$AB≠AC$
若$△ABC$为等腰三角形，则$BC$为腰，即$AB=5$或$AC=5$，也就是$x=5$是原方程的一个根
将$x=5$代入方程得：$5^2-5(2k+3)+k^2+3k+2=0$
整理得：$k^2-7k+12=0$
解得：$k=3$或$k=4$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $k=2$；
(3) $k=3$或$k=4$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，三角形性质
【点评】
本题是代数与几何的综合题型，考查了一元二次方程的相关性质和三角形的分类讨论思想，解题时要注意结合边长为正的实际意义，舍去不符合要求的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
