例1 不解方程，判断下列方程是否有实数根，求两根的和与两根的积：
(1) $x^2 -5x -2=0$；
(2) $3x^2 -2x=1$；
(3) $\frac{1}{2}y^2 -3y=0$。

(1) 由$a=1,b=-5,c=-2,\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-2)=33＞0$,可得原方程有两个不相等的实数根.设方程的两根分别是$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$,$x_1· x_2=\frac{c}{a}=-2$
(2) 原方程可变为$3x^2-2x-1=0$,由$a=3,b=-2,c=-1,\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×3×(-1)=16＞0$,可得原方程有两个不相等的实数根.设方程的两根分别是$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$,$x_1· x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{3}$
(3) 由$a=\frac{1}{2}$,$b=-3,c=0,\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×\frac{1}{2}×0=9＞0$,可得原方程有两个不相等的实数根.设方程的两根分别是$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=6$,$x_1· x_2=\frac{c}{a}=0$

【分析】
要不解方程判断一元二次方程的实数根情况、计算两根和与积，解题思路分为三步：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的一般形式，准确确定系数$a、b、c$的值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；第三步若方程有实数根，直接套用根与系数的关系公式，计算$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$和$x_1x_2=\frac{c}{a}$即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 -5x -2=0$为一般形式，得$a=1,b=-5,c=-2$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-2)=33＞0$，因此原方程有两个不相等的实数根。
设方程两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}=-2$。
(2) 先将$3x^2 -2x=1$整理为一般形式：$3x^2-2x-1=0$，得$a=3,b=-2,c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×3×(-1)=16＞0$，因此原方程有两个不相等的实数根。
设方程两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{3}$。
(3) 方程$\frac{1}{2}y^2 -3y=0$为一般形式，得$a=\frac{1}{2},b=-3,c=0$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×\frac{1}{2}×0=9＞0$，因此原方程有两个不相等的实数根。
设方程两根为$y_1,y_2$，根据根与系数的关系：
$y_1+y_2=-\frac{b}{a}=6$，$y_1· y_2=\frac{c}{a}=0$。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根，两根和为$5$，两根积为$-2$；
(2) 有两个不相等的实数根，两根和为$\frac{2}{3}$，两根积为$-\frac{1}{3}$；
(3) 有两个不相等的实数根，两根和为$6$，两根积为$0$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程一般形式
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是先将方程化为一般形式，确定$a、b、c$时要注意符号，避免因符号错误出现计算失误。
【难度系数】
0.8

例2 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+6x+(2m+1)=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，且$2x_1x_2 - x_1 - x_2 ≥6$，求$m$的取值范围。

$\because x_1,x_2$是方程$x^2+6x+(2m+1)=0$的两个实数根,由根与系数的关系可得$x_1+x_2=-6$,$x_1· x_2=2m+1$.$\because 2x_1x_2-x_1-x_2≥6$,$\therefore 2(2m+1)+6≥6$.解得$m≥-\frac{1}{2}$.由$\Delta=6^2-4(2m+1)＞0$,$\therefore m＜4$.$\therefore m$的取值范围是$-\frac{1}{2}≤ m＜4$

【分析】
这道题需要结合一元二次方程根的情况和根与系数的关系求解参数范围，解题思路分三步：第一步，根据方程有两个不相等的实数根，可知判别式Δ＞0，先得到一个关于m的不等式；第二步，利用根与系数的关系，求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的表达式，代入题干给出的不等式$2x_1x_2 -x_1 -x_2≥6$，解出另一个关于m的不等式；第三步，将两个不等式的解集取交集，就是m的最终取值范围。
【解析】
∵ 方程$x^2+6x+(2m+1)=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，
由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2 = -6$，$x_1x_2 = 2m+1$。
将其代入不等式$2x_1x_2 - x_1 - x_2 ≥6$，变形得：
$2x_1x_2 - (x_1+x_2) ≥6$，
代入表达式得：$2(2m+1) - (-6) ≥6$，
化简得：$4m + 8 ≥6$，
解得$m ≥ -\frac{1}{2}$。
再根据方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta ＞ 0$：
$\Delta = 6^2 - 4×1×(2m+1) = 32 - 8m ＞ 0$，
解得$m ＜ 4$。
综合两个条件可得m的取值范围。
【答案】
$-\frac{1}{2} ≤ m ＜ 4$
【知识点】
根的判别式、韦达定理、解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的综合应用，解题时容易遗漏“方程有两个不相等实数根”对应的判别式限制条件，需同时满足所有约束条件后取解集的交集，才能得到正确的参数范围。
【难度系数】
0.7

1. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2■x - 8 = 0$，其中一次项系数被墨迹污染了。若这个方程的一个根为−4，则一次项系数为（）

A.2
B.−2
C.4
D.−4

1. A

【分析】
我们可以利用一元二次方程根的定义解题，方程的根代入原方程可使等式成立。首先设被污染的一次项系数为未知数，再将已知根x=-4代入原方程，得到关于未知系数的一元一次方程，求解即可得到一次项系数；也可以用根与系数的关系，通过已知根和常数项快速计算。
【解析】
方法一：利用一元二次方程根的定义求解
设被墨迹污染的一次项系数为$a$，则原方程为$x^2+ax-8=0$。
将$x=-4$代入方程，得：
$(-4)^2 + a×(-4) - 8 = 0$
计算化简：
$16 -4a -8 = 0$
$8 -4a =0$
移项得$4a=8$，解得$a=2$。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的两个根为$x_1=-4$，$x_2$，对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+ax-8=0$，根据根与系数的关系：
两根之积$x_1x_2=-8$，代入$x_1=-4$，得$-4x_2=-8$，解得$x_2=2$。
两根之和$x_1+x_2=-a$，代入$x_1=-4$、$x_2=2$，得$-4+2=-a$，解得$a=2$。
综上，一次项系数为2。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是基础题型，核心考察一元二次方程相关基础性质的应用，两种解法都属于常规解题思路，熟练掌握根的定义或韦达定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

2. 关于x的一元二次方程$x^2 - 2kx -1=0$的根的情况是 （）

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根且两根异号
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根且两根同号

2. B

【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需分两步思考：第一步用根的判别式Δ判断实根的存在性以及是否相等；第二步若存在两个实根，再通过根与系数的关系计算两根之积，根据乘积的正负判断两根的符号关系。首先明确方程中a、b、c的取值，代入判别式公式计算Δ，判断Δ的正负性，再代入韦达定理公式计算两根之积，即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2kx -1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=-1$：
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4×1×(-1) = 4k^2 + 4$
∵ $k^2≥0$，
∴ $4k^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 根据根与系数的关系，两根之积为：
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1 ＜ 0$，说明两个实数根异号。
综上，方程有两个不相等的实数根且两根异号。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的判断的常规题型，解题核心是熟练掌握判别式判断根的个数的方法，以及用根与系数的关系判断根的符号的技巧，注意代值计算时不要弄错常数项的符号。
【难度系数】
0.7

3. 设$x_1,x_2$是方程$x^2+mx-3=0$的两个根，且$x_1+x_2 - x_1x_2=2$，则$m$的值为。

3. 1

【分析】
遇到已知一元二次方程两根的和与积的关系式求参数的问题，首先想到运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步先确定方程中二次项系数、一次项系数、常数项，分别写出两根之和、两根之积的表达式；第二步将表达式代入题干给出的等量关系，得到关于参数m的一元一次方程；第三步求解方程即可得到m的值，本题方程显然有两个实数根，无需额外验证判别式。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+mx-3=0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3$。
将上述结果代入$x_1+x_2 - x_1x_2=2$，得：
$-m - (-3) = 2$
整理得：$-m + 3 = 2$
移项计算得：$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的记忆与应用，解题逻辑清晰，计算量小，掌握韦达定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

4. 请写出一个关于x的一元二次方程，使它的两个实数根分别为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$和$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$。

4. $x^2-x-\frac{1}{2}=0$(答案不唯一)

【分析】
已知一元二次方程的两个实数根，我们可以利用一元二次方程根与系数的关系构造方程。为了计算简便，通常先将二次项系数设为1，此时方程形式为$x^2+px+q=0$，其中一次项系数$p$是两根之和的相反数，常数项$q$等于两根之积，我们只需要分别计算两根的和与积，就能确定$p$、$q$的值，进而得到所求方程，也可以将方程化为整系数形式，因此答案不唯一。
【解析】
设所求一元二次方程的二次项系数为1，即方程为$x^2+px+q=0$，两根分别为$x_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$。
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{2}=1$
根据根与系数的关系$x_1+x_2=-p$，可得$p=-(x_1+x_2)=-1$。
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{1+\sqrt{3}}{2}×\frac{1-\sqrt{3}}{2}=\frac{1^2-(\sqrt{3})^2}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$
根据根与系数的关系$x_1x_2=q$，可得$q=-\frac{1}{2}$。
将$p$、$q$代入所设方程，得到$x^2-x-\frac{1}{2}=0$，若两边同乘2可得整系数方程$2x^2-2x-1=0$，也符合要求，因此答案不唯一。
【答案】
$x^2-x-\frac{1}{2}=0$(答案不唯一)
【知识点】
根与系数的关系、平方差公式、一元二次方程构造
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题时将二次项系数设为1可简化计算，计算两根乘积时运用平方差公式能降低运算出错率，满足条件的方程不唯一，符合要求均正确。
【难度系数】
0.8