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5. 若一元二次方程$x^2 -5x +1=0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，求下列各式的值：
(1) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(2) $x_1^2 +x_2^2$；
(3) $(x_1 -1)(x_2 -1)$。
(1) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(2) $x_1^2 +x_2^2$；
(3) $(x_1 -1)(x_2 -1)$。
答案
5. $\because a=1,b=-5,c=1$,$\therefore$由根与系数的关系可得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$,$x_1· x_2=\frac{c}{a}=1$
(1) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=5$
(2) $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5^2-2×1=23$
(3) $(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=1-5+1=-3$
(1) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=5$
(2) $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5^2-2×1=23$
(3) $(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=1-5+1=-3$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题时无需直接求解方程的根，步骤如下：首先根据一元二次方程的一般形式确定系数a、b、c的值，利用根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；再将待求的三个代数式分别通过通分、完全平方公式变形、多项式展开等方式，转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -5x +1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$，代入$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=1$，得原式$=\frac{5}{1}=5$。
(2) 利用完全平方公式变形$x_1^2+x_2^2$：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入数值计算得$5^2-2×1=25-2=23$。
(3) 先展开$(x_1 -1)(x_2 -1)$：
$(x_1 -1)(x_2 -1)=x_1x_2 -x_1 -x_2 +1=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，代入数值计算得$1-5+1=-3$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{23}$；(3) $\boxed{-3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心方法是整体代入，避免了解方程求根的繁琐运算，熟练掌握常见的代数式变形技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题时无需直接求解方程的根，步骤如下：首先根据一元二次方程的一般形式确定系数a、b、c的值，利用根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；再将待求的三个代数式分别通过通分、完全平方公式变形、多项式展开等方式，转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -5x +1=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$，代入$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=1$，得原式$=\frac{5}{1}=5$。
(2) 利用完全平方公式变形$x_1^2+x_2^2$：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入数值计算得$5^2-2×1=25-2=23$。
(3) 先展开$(x_1 -1)(x_2 -1)$：
$(x_1 -1)(x_2 -1)=x_1x_2 -x_1 -x_2 +1=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，代入数值计算得$1-5+1=-3$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{23}$；(3) $\boxed{-3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心方法是整体代入，避免了解方程求根的繁琐运算，熟练掌握常见的代数式变形技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 已知关于x的一元二次方程$x^2-(m-4)x - m + 3 = 0$.
（1）求证：该方程总有两个实数根.
（2）若$x_1,x_2$是该方程的两个实数根，且$x_1x_2＜1$，求m的取值范围.
（1）求证：该方程总有两个实数根.
（2）若$x_1,x_2$是该方程的两个实数根，且$x_1x_2＜1$，求m的取值范围.
答案
6. (1) $\because\Delta=[-(m-4)]^2-4(-m+3)=m^2-4m+4=(m-2)^2≥0$,$\therefore$不论$k$取何值,方程总有两个实数根
(2) 由根与系数的关系可得$x_1x_2=-m+3$,$\because x_1x_2＜1$,$\therefore -m+3＜1$.解得$m＞2$.$\therefore m$的取值范围为$m＞2$
(2) 由根与系数的关系可得$x_1x_2=-m+3$,$\because x_1x_2＜1$,$\therefore -m+3＜1$.解得$m＞2$.$\therefore m$的取值范围为$m＞2$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta≥0$即可。先根据方程系数写出判别式的表达式，再通过代数运算化简，判断其取值范围即可完成证明。
（2）已知两根乘积的不等关系，可直接利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之积的代数式，结合题设条件列不等式求解即可；由于第一问已经证明对任意$m$方程都存在两个实数根，因此无需额外对判别式的取值做限制。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(m-4)x - m + 3 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m-4)$，常数项$c=-m+3$，
根据根的判别式公式可得：
$\Delta = b^2-4ac = [-(m-4)]^2 - 4×1×(-m+3)$
展开并化简得：
$\Delta = m^2 - 8m + 16 + 4m -12 = m^2 -4m +4 = (m-2)^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(m-2)^2≥0$，
∴ 不论$m$取何值，该方程总有两个实数根。
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数得：
$x_1x_2 = -m+3$
结合题设条件$x_1x_2＜1$，列不等式：
$-m + 3 ＜ 1$
移项得：$-m ＜ -2$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得$m＞2$。
【答案】
（1）证明见解析，方程总有两个实数根；
（2）$m$的取值范围为$\boldsymbol{m＞2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，第一问考查根的判别式的应用，通过将判别式化简为完全平方式即可判断其非负性；第二问结合根与系数的关系列不等式求解，解题时注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变，整体侧重对基础公式的掌握考查。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta≥0$即可。先根据方程系数写出判别式的表达式，再通过代数运算化简，判断其取值范围即可完成证明。
（2）已知两根乘积的不等关系，可直接利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之积的代数式，结合题设条件列不等式求解即可；由于第一问已经证明对任意$m$方程都存在两个实数根，因此无需额外对判别式的取值做限制。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(m-4)x - m + 3 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m-4)$，常数项$c=-m+3$，
根据根的判别式公式可得：
$\Delta = b^2-4ac = [-(m-4)]^2 - 4×1×(-m+3)$
展开并化简得：
$\Delta = m^2 - 8m + 16 + 4m -12 = m^2 -4m +4 = (m-2)^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(m-2)^2≥0$，
∴ 不论$m$取何值，该方程总有两个实数根。
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数得：
$x_1x_2 = -m+3$
结合题设条件$x_1x_2＜1$，列不等式：
$-m + 3 ＜ 1$
移项得：$-m ＜ -2$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得$m＞2$。
【答案】
（1）证明见解析，方程总有两个实数根；
（2）$m$的取值范围为$\boldsymbol{m＞2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，第一问考查根的判别式的应用，通过将判别式化简为完全平方式即可判断其非负性；第二问结合根与系数的关系列不等式求解，解题时注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变，整体侧重对基础公式的掌握考查。
【难度系数】
0.8
7. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(a - 1)x + a^2 - a - 2 = 0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。
（1）若$a$为正整数，求$a$的值；
（2）若$x_1,x_2$满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 16$，求$a$的值。
（1）若$a$为正整数，求$a$的值；
（2）若$x_1,x_2$满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 16$，求$a$的值。
答案
7. (1) $\because$关于$x$的一元二次方程$x^2-2(a-1)x+a^2-a-2=0$有两个不相等的实数根,$\therefore\Delta=[-2(a-1)]^2-4(a^2-a-2)＞0$.解得$a＜3$.$\because a$为正整数,$\therefore a=1,2$
(2) 由根与系数的关系可得$x_1+x_2=2(a-1)$,$x_1x_2=a^2-a-2$.$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=16$,$\therefore(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$.$\therefore[2(a-1)]^2-3(a^2-a-2)=16$.解得$a_1=-1$,$a_2=6$.$\because a＜3$,$\therefore a=-1$
(2) 由根与系数的关系可得$x_1+x_2=2(a-1)$,$x_1x_2=a^2-a-2$.$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=16$,$\therefore(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$.$\therefore[2(a-1)]^2-3(a^2-a-2)=16$.解得$a_1=-1$,$a_2=6$.$\because a＜3$,$\therefore a=-1$
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，首先根据根的判别式Δ＞0列出关于a的不等式，解不等式得到a的取值范围，再结合a为正整数的条件，即可求出符合要求的a的值。
（2）先根据根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于a的表达式，再将给定的$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=16$利用完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$，代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式得到关于a的方程，解方程后结合（1）中a的取值范围舍去不符合的解，即可得到最终a的值。
【解析】
（1）
∵关于x的一元二次方程$x^2 - 2(a - 1)x + a^2 - a - 2 = 0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=[-2(a-1)]^2-4(a^2-a-2)＞0$，
展开化简得：$-4a+12＞0$，
解得$a＜3$。
∵a为正整数，
∴$a=1,2$。
（2）由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2(a-1)$，$x_1x_2=a^2-a-2$。
∵$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=16$，
∴$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$，
代入得：$[2(a-1)]^2-3(a^2-a-2)=16$，
展开化简得：$a^2-5a-6=0$，
解得$a_1=-1$，$a_2=6$。
∵$a＜3$，
∴$a=6$不符合题意，舍去，即$a=-1$。
【答案】
（1）$a=1,2$；（2）$a=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式和韦达定理的应用，解题时要注意先通过判别式确定参数的取值范围，求得参数值后需验证是否符合范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，首先根据根的判别式Δ＞0列出关于a的不等式，解不等式得到a的取值范围，再结合a为正整数的条件，即可求出符合要求的a的值。
（2）先根据根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于a的表达式，再将给定的$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=16$利用完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$，代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式得到关于a的方程，解方程后结合（1）中a的取值范围舍去不符合的解，即可得到最终a的值。
【解析】
（1）
∵关于x的一元二次方程$x^2 - 2(a - 1)x + a^2 - a - 2 = 0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=[-2(a-1)]^2-4(a^2-a-2)＞0$，
展开化简得：$-4a+12＞0$，
解得$a＜3$。
∵a为正整数，
∴$a=1,2$。
（2）由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2(a-1)$，$x_1x_2=a^2-a-2$。
∵$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=16$，
∴$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$，
代入得：$[2(a-1)]^2-3(a^2-a-2)=16$，
展开化简得：$a^2-5a-6=0$，
解得$a_1=-1$，$a_2=6$。
∵$a＜3$，
∴$a=6$不符合题意，舍去，即$a=-1$。
【答案】
（1）$a=1,2$；（2）$a=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式和韦达定理的应用，解题时要注意先通过判别式确定参数的取值范围，求得参数值后需验证是否符合范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于$x$的方程$x^2-(2m-1)x+4(m-1)=0$的两个根是斜边长为7的直角三角形的两条直角边的长.
（1）求$m$的值；
（2）求这个直角三角形的面积.
（1）求$m$的值；
（2）求这个直角三角形的面积.
答案
8. (1) 设关于$x$的方程$x^2-(2m-1)x+4(m-1)=0$的两个根为$x_1,x_2$.由根与系数的关系可得$x_1+x_2=2m-1$,$x_1· x_2=4(m-1)$.$\because$两个根是斜边长为7的直角三角形的两条直角边的长,$\therefore$由勾股定理,得$x_1^2+x_2^2=7^2$.$\therefore(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=49$.$\therefore(2m-1)^2-8(m-1)=49$.$\therefore$解得$m_1=-2$,$m_2=5$.$\because x_1+x_2=2m-1＞0$,$x_1· x_2=4(m-1)＞0$,$\therefore m=5$
(2) $\because x_1· x_2=4(m-1)=16$,$\therefore$这个直角三角形的面积$=\frac{1}{2}x_1x_2=8$
(2) $\because x_1· x_2=4(m-1)=16$,$\therefore$这个直角三角形的面积$=\frac{1}{2}x_1x_2=8$
解析
【分析】
本题是一元二次方程根与系数关系和直角三角形性质的综合题，解题思路如下：
1. 先设方程的两根为直角三角形的两条直角边长$x_1、x_2$，根据根与系数的关系写出两根之和、两根之积关于$m$的表达式；
2. 结合直角三角形斜边为7的条件，利用勾股定理得到$x_1^2+x_2^2=49$，再通过完全平方公式的变形，将其转化为含有两根之和、两根之积的式子，代入后即可得到关于$m$的一元二次方程，解出$m$的可能值；
3. 由于直角边长为正数，因此两根之和、两根之积都必须大于0，据此对求出的$m$值进行取舍，得到符合条件的$m$；
4. 第二问求直角三角形面积，直接利用面积公式$S=\frac{1}{2}x_1x_2$，代入已求出的$x_1x_2$的值即可计算。
【解析】
(1) 设方程$x^2-(2m-1)x+4(m-1)=0$的两个根为$x_1,x_2$，即直角三角形的两条直角边长分别为$x_1,x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1· x_2=4(m-1)$
已知直角三角形斜边长为7，由勾股定理得：
$x_1^2+x_2^2=7^2=49$
根据完全平方公式变形$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入上述关系得：
$(2m-1)^2-2×4(m-1)=49$
展开整理得$m^2-3m-10=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=5$
由于直角边长为正数，因此$x_1+x_2＞0$，$x_1x_2＞0$：
当$m=-2$时，$x_1+x_2=-5＜0$，不符合实际，舍去；
当$m=5$时，$x_1+x_2=9＞0$，$x_1x_2=16＞0$，符合要求。
故$m=5$。
(2) 由(1)可知$x_1· x_2=16$，直角三角形面积为两条直角边乘积的一半，因此：
$S=\frac{1}{2}x_1x_2=\frac{1}{2}×16=8$
【答案】
(1) $m=5$；(2) 这个直角三角形的面积为8
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 勾股定理
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于代数几何综合题，将一元二次方程的知识与直角三角形的性质结合考查，解题时需要注意方程的根对应实际的边长，必须为正数，因此求出$m$的解后要结合实际意义进行取舍，避免漏判导致出错。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程根与系数关系和直角三角形性质的综合题，解题思路如下：
1. 先设方程的两根为直角三角形的两条直角边长$x_1、x_2$，根据根与系数的关系写出两根之和、两根之积关于$m$的表达式；
2. 结合直角三角形斜边为7的条件，利用勾股定理得到$x_1^2+x_2^2=49$，再通过完全平方公式的变形，将其转化为含有两根之和、两根之积的式子，代入后即可得到关于$m$的一元二次方程，解出$m$的可能值；
3. 由于直角边长为正数，因此两根之和、两根之积都必须大于0，据此对求出的$m$值进行取舍，得到符合条件的$m$；
4. 第二问求直角三角形面积，直接利用面积公式$S=\frac{1}{2}x_1x_2$，代入已求出的$x_1x_2$的值即可计算。
【解析】
(1) 设方程$x^2-(2m-1)x+4(m-1)=0$的两个根为$x_1,x_2$，即直角三角形的两条直角边长分别为$x_1,x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1· x_2=4(m-1)$
已知直角三角形斜边长为7，由勾股定理得：
$x_1^2+x_2^2=7^2=49$
根据完全平方公式变形$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入上述关系得：
$(2m-1)^2-2×4(m-1)=49$
展开整理得$m^2-3m-10=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=5$
由于直角边长为正数，因此$x_1+x_2＞0$，$x_1x_2＞0$：
当$m=-2$时，$x_1+x_2=-5＜0$，不符合实际，舍去；
当$m=5$时，$x_1+x_2=9＞0$，$x_1x_2=16＞0$，符合要求。
故$m=5$。
(2) 由(1)可知$x_1· x_2=16$，直角三角形面积为两条直角边乘积的一半，因此：
$S=\frac{1}{2}x_1x_2=\frac{1}{2}×16=8$
【答案】
(1) $m=5$；(2) 这个直角三角形的面积为8
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 勾股定理
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于代数几何综合题，将一元二次方程的知识与直角三角形的性质结合考查，解题时需要注意方程的根对应实际的边长，必须为正数，因此求出$m$的解后要结合实际意义进行取舍，避免漏判导致出错。
【难度系数】
0.6
