登录
例1 某中学准备建一个面积为$375\ \mathrm{m}^2$的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m.设游泳池的长为$x\ \mathrm{m}$，则可列方程（
A.$x(x+10)=375$
B.$x(x-10)=375$
C.$2x(2x+10)=375$
D.$2x(2x-10)=375$
B
）A.$x(x+10)=375$
B.$x(x-10)=375$
C.$2x(2x+10)=375$
D.$2x(2x-10)=375$
答案
B
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决几何面积的应用题，解题思路如下：第一步先明确题中给出的未知量设定，题目已经设游泳池的长为x m；第二步根据“宽比长短10 m”的数量关系，用含x的式子表示出宽的长度；第三步回忆矩形的面积计算公式，将长、宽、已知面积代入公式即可列出对应的方程，解题时要注意区分宽是比长小10，不要写成加10，同时不要混淆面积公式和周长公式。
【解析】
解：已知设游泳池的长为$x\ \mathrm{m}$，
∵ 游泳池的宽比长短10 m，
∴ 游泳池的宽为$(x-10)\ \mathrm{m}$，
∵ 矩形面积 = 长 × 宽，且游泳池面积为$375\ \mathrm{m}^2$，
∴ 代入得方程：$x(x-10)=375$，
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积公式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查对题干数量关系的提取能力和基础几何公式的运用，解题的关键是正确表示出矩形的宽，避免混淆长宽的大小关系、错用周长公式。
【难度系数】
0.85
这是一道利用一元二次方程解决几何面积的应用题，解题思路如下：第一步先明确题中给出的未知量设定，题目已经设游泳池的长为x m；第二步根据“宽比长短10 m”的数量关系，用含x的式子表示出宽的长度；第三步回忆矩形的面积计算公式，将长、宽、已知面积代入公式即可列出对应的方程，解题时要注意区分宽是比长小10，不要写成加10，同时不要混淆面积公式和周长公式。
【解析】
解：已知设游泳池的长为$x\ \mathrm{m}$，
∵ 游泳池的宽比长短10 m，
∴ 游泳池的宽为$(x-10)\ \mathrm{m}$，
∵ 矩形面积 = 长 × 宽，且游泳池面积为$375\ \mathrm{m}^2$，
∴ 代入得方程：$x(x-10)=375$，
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积公式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查对题干数量关系的提取能力和基础几何公式的运用，解题的关键是正确表示出矩形的宽，避免混淆长宽的大小关系、错用周长公式。
【难度系数】
0.85
例2 如图1.4.1①，一张长方形纸板的长为24 cm，宽为12 cm，将其剪掉四角并折叠成如图1.4.1②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32 cm²，求该长方体盒子的高。
答案
设该长方体盒子的高为x cm,则该长方形盒子的底面为长$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm,宽(12-2x)cm的长方形.依题意,得$(12-x)(12-2x)=32$.整理,得$x^2-18x+56=0$.解得$x_1=4,x_2=14$.又$\because 12-2x＞0,\therefore x＜6.\therefore x=4$.答:该长方体盒子的高为4 cm
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确长方体盒子的高就是剪去的四角小正方形的边长，我们设其为x cm。接下来需要结合原长方形的尺寸和折叠成带盖盒子的要求，推导盒子底面的长和宽：原长方形长24cm，长方向左右各减去x的长度后，剩余部分平均分成2份就是底面的长；原长方形宽12cm，宽方向上下各减去x的长度后，剩余部分就是底面的宽。再根据“底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后要结合边长为正的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到盒子的高。
【解析】
解：设该长方体盒子的高为x cm。
由折叠的性质可得，盒子底面的长为$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm，底面的宽为$(12-2x)$cm。
根据盒子底面积为32 cm²，列方程得：
$(12-x)(12-2x)=32$
整理方程：
$144-24x-12x+2x^2=32$
化简得$x^2-18x+56=0$
因式分解得$(x-4)(x-14)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=14$。
又因为底面宽需满足$12-2x＞0$，即$x＜6$，因此$x=14$不符合实际意义，舍去。
故$x=4$。
【答案】
该长方体盒子的高为4 cm
【知识点】
一元二次方程应用；图形折叠性质；实际方程验根
【点评】
本题是结合几何折叠的一元二次方程实际应用题，解题的关键是准确根据带盖盒子的折叠特征用未知数表示出底面的长和宽，同时要注意实际问题中方程的解必须符合几何量的取值要求，避免保留不符合实际的错误解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确长方体盒子的高就是剪去的四角小正方形的边长，我们设其为x cm。接下来需要结合原长方形的尺寸和折叠成带盖盒子的要求，推导盒子底面的长和宽：原长方形长24cm，长方向左右各减去x的长度后，剩余部分平均分成2份就是底面的长；原长方形宽12cm，宽方向上下各减去x的长度后，剩余部分就是底面的宽。再根据“底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后要结合边长为正的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到盒子的高。
【解析】
解：设该长方体盒子的高为x cm。
由折叠的性质可得，盒子底面的长为$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm，底面的宽为$(12-2x)$cm。
根据盒子底面积为32 cm²，列方程得：
$(12-x)(12-2x)=32$
整理方程：
$144-24x-12x+2x^2=32$
化简得$x^2-18x+56=0$
因式分解得$(x-4)(x-14)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=14$。
又因为底面宽需满足$12-2x＞0$，即$x＜6$，因此$x=14$不符合实际意义，舍去。
故$x=4$。
【答案】
该长方体盒子的高为4 cm
【知识点】
一元二次方程应用；图形折叠性质；实际方程验根
【点评】
本题是结合几何折叠的一元二次方程实际应用题，解题的关键是准确根据带盖盒子的折叠特征用未知数表示出底面的长和宽，同时要注意实际问题中方程的解必须符合几何量的取值要求，避免保留不符合实际的错误解。
【难度系数】
0.6
例3 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10 m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的宽为x m（图1.4.2）。
（1）若矩形养殖场的总面积为36 m²，求此时x的值。
（2）该农场想要建一个50 m²的矩形养殖场，这一想法能实现吗？请说明理由。
图1.4.2
（1）若矩形养殖场的总面积为36 m²，求此时x的值。
（2）该农场想要建一个50 m²的矩形养殖场，这一想法能实现吗？请说明理由。
图1.4.2
答案
（1）由题意,得较大矩形的宽为2x m,长为$\frac{24-x-2x}{3}=(8-x)$m.$\therefore (x+2x)(8-x)=36$.解得$x_1=2,x_2=6$.经检验,当x=6时,3x=18＞10,不符合题意,舍去,$\therefore x=2$.答:此时x的值为2
（2）这一想法不能实现,理由如下:假设这一想法能实现,根据题意,得$(x+2x)(8-x)=50$.整理,得$3x^2-24x+50=0$.$\because \Delta=(-24)^2-4×3×50=-24＜0$,$\therefore$原方程没有实数根.$\therefore$假设不成立,即这一想法不能实现
（2）这一想法不能实现,理由如下:假设这一想法能实现,根据题意,得$(x+2x)(8-x)=50$.整理,得$3x^2-24x+50=0$.$\because \Delta=(-24)^2-4×3×50=-24＜0$,$\therefore$原方程没有实数根.$\therefore$假设不成立,即这一想法不能实现
解析
【分析】
解题时先根据两个矩形的面积比确定平行于墙的各段长度：两个矩形面积比为1:2，且垂直于墙的边长相同，因此较大矩形的宽为2x m，平行于墙的总长度为3x m；再结合栅栏总长度24m，三个垂直于墙的栅栏长度之和为(24-3x)m，因此垂直于墙的边长为$(24-3x)÷3=(8-x)$m。
（1）问可根据“总面积=平行墙总长度×垂直墙边长”列一元二次方程，求解后需结合墙长最大10m的限制，舍去不符合实际的解；
（2）问属于存在性问题，先假设能实现，按总面积50m²列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数解，即可得出结论。
【解析】
（1）由题意，两个矩形面积比为1:2，且垂直于墙的边长相等，因此较大矩形的宽为2x m，平行于墙的总长度为$x+2x=3x$ m。
三个垂直于墙的栅栏总长度为$24-3x$ m，因此垂直于墙的边长为$\frac{24-3x}{3}=(8-x)$ m。
根据总面积为36 m²列方程：
$(x+2x)(8-x)=36$
整理得$x^2-8x+12=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$。
检验：当$x=6$时，平行于墙的总长度$3x=18\ \mathrm{m}＞10\ \mathrm{m}$，超过墙的长度，不符合题意，舍去；当$x=2$时，$3x=6\ \mathrm{m}＜10\ \mathrm{m}$，符合题意。
（2）假设能建成面积为50 m²的养殖场，根据题意列方程：
$(x+2x)(8-x)=50$
整理得$3x^2-24x+50=0$。
计算根的判别式：$\Delta=(-24)^2-4×3×50=576-600=-24＜0$，因此该一元二次方程没有实数根，假设不成立。
【答案】
（1）此时x的值为2；
（2）这一想法不能实现，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，实际问题解的检验
【点评】
本题是一元二次方程应用的常规题型，贴近生活实际，解题时要注意两点：一是求出方程的解后必须结合实际场景的限制条件验证解的合理性，二是判断存在性问题可通过方程根的情况得出结论。
【难度系数】
0.6
解题时先根据两个矩形的面积比确定平行于墙的各段长度：两个矩形面积比为1:2，且垂直于墙的边长相同，因此较大矩形的宽为2x m，平行于墙的总长度为3x m；再结合栅栏总长度24m，三个垂直于墙的栅栏长度之和为(24-3x)m，因此垂直于墙的边长为$(24-3x)÷3=(8-x)$m。
（1）问可根据“总面积=平行墙总长度×垂直墙边长”列一元二次方程，求解后需结合墙长最大10m的限制，舍去不符合实际的解；
（2）问属于存在性问题，先假设能实现，按总面积50m²列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数解，即可得出结论。
【解析】
（1）由题意，两个矩形面积比为1:2，且垂直于墙的边长相等，因此较大矩形的宽为2x m，平行于墙的总长度为$x+2x=3x$ m。
三个垂直于墙的栅栏总长度为$24-3x$ m，因此垂直于墙的边长为$\frac{24-3x}{3}=(8-x)$ m。
根据总面积为36 m²列方程：
$(x+2x)(8-x)=36$
整理得$x^2-8x+12=0$，解得$x_1=2$，$x_2=6$。
检验：当$x=6$时，平行于墙的总长度$3x=18\ \mathrm{m}＞10\ \mathrm{m}$，超过墙的长度，不符合题意，舍去；当$x=2$时，$3x=6\ \mathrm{m}＜10\ \mathrm{m}$，符合题意。
（2）假设能建成面积为50 m²的养殖场，根据题意列方程：
$(x+2x)(8-x)=50$
整理得$3x^2-24x+50=0$。
计算根的判别式：$\Delta=(-24)^2-4×3×50=576-600=-24＜0$，因此该一元二次方程没有实数根，假设不成立。
【答案】
（1）此时x的值为2；
（2）这一想法不能实现，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，实际问题解的检验
【点评】
本题是一元二次方程应用的常规题型，贴近生活实际，解题时要注意两点：一是求出方程的解后必须结合实际场景的限制条件验证解的合理性，二是判断存在性问题可通过方程根的情况得出结论。
【难度系数】
0.6
