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1. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”其大意是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?设这个矩形的宽为$x$步,根据题意可列方程为 (
A.$x(x-60)=864$
B.$x(60-x)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
B
)A.$x(x-60)=864$
B.$x(60-x)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
答案
B
解析
【分析】
解题时先明确题设的未知数含义，题目已设矩形的宽为x步，首先根据“长与宽共60步”的条件，可用含x的代数式表示出长；再结合矩形面积=长×宽的等量关系，代入已知的面积数值即可列出方程。也可通过排除法快速筛选：选项D对应的是周长公式，不符合面积的求解条件；选项A中x-60为负数，不可能是矩形的长；选项C中60+x大于60，不符合长+宽=60的条件，即可锁定正确答案。
【解析】
解：已知设矩形的宽为$x$步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$(60 - x)$步，
∵ 矩形的面积=长×宽，且面积为864平方步，
∴ 代入等量关系可得：$x(60 - x) = 864$，
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算，代数式表示量
【点评】
本题以中国古代数学问题为背景，属于基础类题型，解题的核心是找准题干中的等量关系，正确用未知数表示出对应未知量，再结合几何公式列方程即可。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题设的未知数含义，题目已设矩形的宽为x步，首先根据“长与宽共60步”的条件，可用含x的代数式表示出长；再结合矩形面积=长×宽的等量关系，代入已知的面积数值即可列出方程。也可通过排除法快速筛选：选项D对应的是周长公式，不符合面积的求解条件；选项A中x-60为负数，不可能是矩形的长；选项C中60+x大于60，不符合长+宽=60的条件，即可锁定正确答案。
【解析】
解：已知设矩形的宽为$x$步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$(60 - x)$步，
∵ 矩形的面积=长×宽，且面积为864平方步，
∴ 代入等量关系可得：$x(60 - x) = 864$，
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算，代数式表示量
【点评】
本题以中国古代数学问题为背景，属于基础类题型，解题的核心是找准题干中的等量关系，正确用未知数表示出对应未知量，再结合几何公式列方程即可。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m²，则小路的宽是 （
A.5 m
B.70 m
C.5 m或70 m
D.10 m
A
）A.5 m
B.70 m
C.5 m或70 m
D.10 m
答案
A
解析
【分析】
解决这类含道路的面积问题，可采用平移法简化计算：将分散的花圃区域平移拼接，得到一个完整的新矩形，只需用原矩形的长、宽减去对应方向道路的总宽度，就能得到新矩形的长和宽，再根据花圃面积列一元二次方程求解即可，最后要注意检验根是否符合实际意义。
【解析】
设小路的宽为$ x $米。
观察图形可知，竖直方向共有2条小路，水平方向共有2条小路，将花圃平移拼接后，得到的新矩形长为$ (100-2x) $米，宽为$ (50-2x) $米。
根据花圃面积为$ 3600\ \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(100-2x)(50-2x) = 3600$
展开并整理方程：
$5000 - 300x + 4x^2 = 3600 \\4x^2 - 300x + 1400 = 0 \x^2 -75x + 350 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-70)=0$
解得$ x_1=5 $，$ x_2=70 $。
检验：当$ x=70 $时，$ 50-2x=50-140=-90 ＜0 $，不符合实际情况，舍去；当$ x=5 $时，符合实际。
因此小路的宽是5m，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 图形平移 3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是面积类实际问题的典型考题，解题关键是通过平移将不规则的花圃区域转化为规则矩形，降低计算难度，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
解决这类含道路的面积问题，可采用平移法简化计算：将分散的花圃区域平移拼接，得到一个完整的新矩形，只需用原矩形的长、宽减去对应方向道路的总宽度，就能得到新矩形的长和宽，再根据花圃面积列一元二次方程求解即可，最后要注意检验根是否符合实际意义。
【解析】
设小路的宽为$ x $米。
观察图形可知，竖直方向共有2条小路，水平方向共有2条小路，将花圃平移拼接后，得到的新矩形长为$ (100-2x) $米，宽为$ (50-2x) $米。
根据花圃面积为$ 3600\ \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(100-2x)(50-2x) = 3600$
展开并整理方程：
$5000 - 300x + 4x^2 = 3600 \\4x^2 - 300x + 1400 = 0 \x^2 -75x + 350 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-70)=0$
解得$ x_1=5 $，$ x_2=70 $。
检验：当$ x=70 $时，$ 50-2x=50-140=-90 ＜0 $，不符合实际情况，舍去；当$ x=5 $时，符合实际。
因此小路的宽是5m，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 图形平移 3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是面积类实际问题的典型考题，解题关键是通过平移将不规则的花圃区域转化为规则矩形，降低计算难度，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
3. 从一块正方形的木板上锯掉0.5 m宽的长方形木条，剩下的面积是1.5 m²，则原来这块木板的面积是
$\frac{9}{4}$
m².答案
$\frac{9}{4}$
解析
【分析】
首先明确题目中的几何关系：原图形为正方形，锯掉0.5m宽的长方形木条后，剩余图形是长方形，其长等于原正方形的边长，宽等于原正方形边长减去0.5m。我们可以设原正方形边长为未知数，根据剩余面积列一元二次方程求解，再计算原正方形的面积即可，注意求解后要根据边长为正数的实际意义取舍根。
【解析】
设原来正方形木板的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则锯掉0.5m宽的木条后，剩余长方形的长为$ x \, \mathrm{m} $，宽为$ (x-0.5) \, \mathrm{m} $。
根据长方形面积公式，结合剩余面积为$ 1.5 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(x - 0.5) = 1.5$
整理方程得：
$2x^2 - x - 3 = 0$
因式分解得：
$(2x - 3)(x + 1) = 0$
解得：$ x_1 = 1.5 $，$ x_2 = -1 $
因为边长为正数，所以舍去$ x = -1 $，即原正方形边长为$ 1.5 \, \mathrm{m} $。
原正方形面积为：$ 1.5^2 = \frac{9}{4} \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程解决实际问题的基础题型，解题核心是准确找到剩余图形的边长与原正方形边长的数量关系，列方程求解后要注意结合实际情况舍去不符合要求的根，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
首先明确题目中的几何关系：原图形为正方形，锯掉0.5m宽的长方形木条后，剩余图形是长方形，其长等于原正方形的边长，宽等于原正方形边长减去0.5m。我们可以设原正方形边长为未知数，根据剩余面积列一元二次方程求解，再计算原正方形的面积即可，注意求解后要根据边长为正数的实际意义取舍根。
【解析】
设原来正方形木板的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则锯掉0.5m宽的木条后，剩余长方形的长为$ x \, \mathrm{m} $，宽为$ (x-0.5) \, \mathrm{m} $。
根据长方形面积公式，结合剩余面积为$ 1.5 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(x - 0.5) = 1.5$
整理方程得：
$2x^2 - x - 3 = 0$
因式分解得：
$(2x - 3)(x + 1) = 0$
解得：$ x_1 = 1.5 $，$ x_2 = -1 $
因为边长为正数，所以舍去$ x = -1 $，即原正方形边长为$ 1.5 \, \mathrm{m} $。
原正方形面积为：$ 1.5^2 = \frac{9}{4} \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程解决实际问题的基础题型，解题核心是准确找到剩余图形的边长与原正方形边长的数量关系，列方程求解后要注意结合实际情况舍去不符合要求的根，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为
$\frac{12\sqrt{2}}{5}$
cm.答案
$\frac{12\sqrt{2}}{5}$
解析
【分析】
要解决本题，首先设立方体的棱长为x cm，立方体的棱长就是展开图中小正方形的边长。观察图形可知，剪开部分的三角形都是等腰直角三角形，且斜边等于小正方形的边长x，可推出等腰直角三角形的直角边长为$\frac{x}{\sqrt{2}}$；再观察大正方形的边长，可发现大正方形的边长恰好等于5个上述等腰直角三角形的直角边之和，据此列方程求解即可得到棱长。
【解析】
设折成立方体的棱长为$x$ cm。
由图可知，展开图中的小正方形为立方体的面，边长为$x$；裁剪得到的小三角形均为等腰直角三角形，且斜边长等于小正方形的边长$x$，因此等腰直角三角形的直角边长为$\frac{x}{\sqrt{2}}$。
已知大正方形硬纸板的边长为12 cm，大正方形的边长等于5个上述等腰直角三角形的直角边之和，列方程得：
$5×\frac{x}{\sqrt{2}}=12$
解得：
$x=\frac{12\sqrt{2}}{5}$
【答案】
$\frac{12\sqrt{2}}{5}$
【知识点】
正方体展开图、等腰直角三角形性质、方程的应用
【点评】
本题结合立体图形展开图与平面图形特征考查，解题关键是通过观察图形找到大正方形边长和立方体棱长之间的数量关系，对学生的空间想象能力和图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
要解决本题，首先设立方体的棱长为x cm，立方体的棱长就是展开图中小正方形的边长。观察图形可知，剪开部分的三角形都是等腰直角三角形，且斜边等于小正方形的边长x，可推出等腰直角三角形的直角边长为$\frac{x}{\sqrt{2}}$；再观察大正方形的边长，可发现大正方形的边长恰好等于5个上述等腰直角三角形的直角边之和，据此列方程求解即可得到棱长。
【解析】
设折成立方体的棱长为$x$ cm。
由图可知，展开图中的小正方形为立方体的面，边长为$x$；裁剪得到的小三角形均为等腰直角三角形，且斜边长等于小正方形的边长$x$，因此等腰直角三角形的直角边长为$\frac{x}{\sqrt{2}}$。
已知大正方形硬纸板的边长为12 cm，大正方形的边长等于5个上述等腰直角三角形的直角边之和，列方程得：
$5×\frac{x}{\sqrt{2}}=12$
解得：
$x=\frac{12\sqrt{2}}{5}$
【答案】
$\frac{12\sqrt{2}}{5}$
【知识点】
正方体展开图、等腰直角三角形性质、方程的应用
【点评】
本题结合立体图形展开图与平面图形特征考查，解题关键是通过观察图形找到大正方形边长和立方体棱长之间的数量关系，对学生的空间想象能力和图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
5. 将一根长 20 cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长制成一个正方形.
(1) 要使这两个正方形的面积之和等于$17\ \mathrm{cm}^2$,这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2) 两个正方形的面积之和可能等于$12\ \mathrm{cm}^2$吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
(1) 要使这两个正方形的面积之和等于$17\ \mathrm{cm}^2$,这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2) 两个正方形的面积之和可能等于$12\ \mathrm{cm}^2$吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
答案
(1) 设剪后其中一段长为x cm,则另一段为(20-x)cm.依题意,得$(\frac{x}{4})^2+(\frac{20-x}{4})^2=17$.整理,得$x^2-20x+64=0$.解得$x_1=16,x_2=4$.当x=16时,20-x=4.当x=4时,20-x=16.答:这段铁丝剪成两段后的长度分别为4 cm和16 cm
(2) 不能,理由如下:设剪后其中一段长为y cm,则另一段为(20-y)cm.依题意,得$(\frac{y}{4})^2+(\frac{20-y}{4})^2=12$.整理,得$y^2-20y+104=0$.$\because \Delta=b^2-4ac=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$,$\therefore$此方程无解,即不能剪成两段,使得两个正方形的面积之和为$12\ \mathrm{cm}^2$
(2) 不能,理由如下:设剪后其中一段长为y cm,则另一段为(20-y)cm.依题意,得$(\frac{y}{4})^2+(\frac{20-y}{4})^2=12$.整理,得$y^2-20y+104=0$.$\because \Delta=b^2-4ac=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$,$\therefore$此方程无解,即不能剪成两段,使得两个正方形的面积之和为$12\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
(1) 解题时先明确等量关系：两个正方形的面积之和为17 cm²。我们可设其中一段铁丝长为x cm，则另一段长为(20-x)cm；结合正方形周长与边长的关系，可知两个正方形的边长分别为$\frac{x}{4}$cm、$\frac{20-x}{4}$cm，再根据正方形面积公式即可列出一元二次方程，求解后验证解的实际意义即可得到两段的长度。
(2) 先假设两个正方形的面积之和能等于12 cm²，参照第一问的思路列出对应的一元二次方程，再通过计算根的判别式Δ判断方程是否有实数根：若Δ≥0则存在符合条件的剪法，若Δ＜0则不存在这样的剪法。
【解析】
(1) 设剪后其中一段长为x cm，则另一段为(20-x)cm。
依题意，得$(\frac{x}{4})^2+(\frac{20-x}{4})^2=17$
整理，得$x^2-20x+64=0$
解得$x_1=16,x_2=4$
当x=16时，20-x=4；当x=4时，20-x=16。
(2) 不能，理由如下：
设剪后其中一段长为y cm，则另一段为(20-y)cm。
依题意，得$(\frac{y}{4})^2+(\frac{20-y}{4})^2=12$
整理，得$y^2-20y+104=0$
$\because \Delta=b^2-4ac=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$
$\therefore$此方程无实数解，即不能剪成两段使得两个正方形的面积之和为$12\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 这段铁丝剪成两段后的长度分别为4 cm和16 cm；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，正方形周长与面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何实际问题中的应用，解题核心是结合图形公式找准等量关系建立方程，第二问利用根的判别式判断方程解的存在性，可有效锻炼学生的建模能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先明确等量关系：两个正方形的面积之和为17 cm²。我们可设其中一段铁丝长为x cm，则另一段长为(20-x)cm；结合正方形周长与边长的关系，可知两个正方形的边长分别为$\frac{x}{4}$cm、$\frac{20-x}{4}$cm，再根据正方形面积公式即可列出一元二次方程，求解后验证解的实际意义即可得到两段的长度。
(2) 先假设两个正方形的面积之和能等于12 cm²，参照第一问的思路列出对应的一元二次方程，再通过计算根的判别式Δ判断方程是否有实数根：若Δ≥0则存在符合条件的剪法，若Δ＜0则不存在这样的剪法。
【解析】
(1) 设剪后其中一段长为x cm，则另一段为(20-x)cm。
依题意，得$(\frac{x}{4})^2+(\frac{20-x}{4})^2=17$
整理，得$x^2-20x+64=0$
解得$x_1=16,x_2=4$
当x=16时，20-x=4；当x=4时，20-x=16。
(2) 不能，理由如下：
设剪后其中一段长为y cm，则另一段为(20-y)cm。
依题意，得$(\frac{y}{4})^2+(\frac{20-y}{4})^2=12$
整理，得$y^2-20y+104=0$
$\because \Delta=b^2-4ac=(-20)^2-4×1×104=-16＜0$
$\therefore$此方程无实数解，即不能剪成两段使得两个正方形的面积之和为$12\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 这段铁丝剪成两段后的长度分别为4 cm和16 cm；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式，正方形周长与面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何实际问题中的应用，解题核心是结合图形公式找准等量关系建立方程，第二问利用根的判别式判断方程解的存在性，可有效锻炼学生的建模能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图,将边长为8 cm 的正方形扩大成面积为120 cm² 的矩形,若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半,求矩形的长和宽. 
答案
设一边增加的长度为x cm,则另一边增加的长度为2x cm.依题意,得$(8+x)(8+2x)=120$.解得$x_1=2,x_2=-14$(不合题意,舍去).$\therefore 8+x=10,8+2x=12$.答:矩形的长与宽分别是12 cm,10 cm
解析
【分析】
本题是结合几何面积的一元二次方程应用题，解题时先梳理已知条件：原正方形边长为8cm，扩大后矩形面积为120cm²，两边的增加量存在2倍关系。首先设较小的增加量为x cm，则另一个增加量为2x cm，即可表示出矩形的两条邻边长度分别为(8+x)cm和(8+2x)cm，再根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列方程，求解后结合长度为正的实际要求舍去负根，最后代入计算得到矩形的长和宽即可。
【解析】
解：设一边增加的长度为x cm，则另一边增加的长度为2x cm。
依题意列方程得：$(8+x)(8+2x)=120$
展开整理得：$x^2+12x-28=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-14$，由于长度增加量不能为负数，因此$x_2=-14$不合题意，舍去。
则矩形的宽为：$8+x=8+2=10(\mathrm{cm})$
矩形的长为：$8+2x=8+2×2=12(\mathrm{cm})$
【答案】
矩形的长是12 cm，宽是10 cm
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的基础题，解题关键是找准面积等量关系正确列方程，同时要注意结合实际意义验证方程的根，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
本题是结合几何面积的一元二次方程应用题，解题时先梳理已知条件：原正方形边长为8cm，扩大后矩形面积为120cm²，两边的增加量存在2倍关系。首先设较小的增加量为x cm，则另一个增加量为2x cm，即可表示出矩形的两条邻边长度分别为(8+x)cm和(8+2x)cm，再根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列方程，求解后结合长度为正的实际要求舍去负根，最后代入计算得到矩形的长和宽即可。
【解析】
解：设一边增加的长度为x cm，则另一边增加的长度为2x cm。
依题意列方程得：$(8+x)(8+2x)=120$
展开整理得：$x^2+12x-28=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-14$，由于长度增加量不能为负数，因此$x_2=-14$不合题意，舍去。
则矩形的宽为：$8+x=8+2=10(\mathrm{cm})$
矩形的长为：$8+2x=8+2×2=12(\mathrm{cm})$
【答案】
矩形的长是12 cm，宽是10 cm
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的基础题，解题关键是找准面积等量关系正确列方程，同时要注意结合实际意义验证方程的根，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
