登录
7. 如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m²的羊圈?
(2) 羊圈的面积能达到650 m²吗? 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m²的羊圈?
(2) 羊圈的面积能达到650 m²吗? 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
答案
(1) 设矩形ABCD的边AB=x cm,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.根据题意,得$x(72-2x)=640$.化简,得$x^2-36x+320=0$.解得$x_1=16,x_2=20$.当x=16时,72-2x=72-32=40.当x=20时,72-2x=72-40=32.答:当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时,能围成一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈
(2) 不能,理由如下:由题意,得$x(72-2x)=650$.化简,得$x^2-36x+325=0$.$\because \Delta=(-36)^2-4×325=-4＜0$,$\therefore$一元二次方程没有实数根.$\therefore$羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$
(2) 不能,理由如下:由题意,得$x(72-2x)=650$.化简,得$x^2-36x+325=0$.$\because \Delta=(-36)^2-4×325=-4＜0$,$\therefore$一元二次方程没有实数根.$\therefore$羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
本题是利用一元二次方程解决矩形面积的实际问题，解题思路如下：
1. 首先明确边与栅栏长度的关系：垂直于外墙的边有AB、CD共2条，平行于外墙的边BC上有2m宽的门不需要栅栏，因此平行边BC的长度=栅栏总长度-2条垂直边的长度+门的宽度。
2. 第一问设垂直边AB的长度为x m，用含x的式子表示出BC的长度，再根据“矩形面积=长×宽”列一元二次方程，求解后两组解均符合外墙足够长的条件，即可得到对应的长宽。
3. 第二问同样根据面积列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0，说明方程无实根，即该面积无法达到。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的边AB长为$x\ \mathrm{m}$，则边BC的长度为$70-2x+2=(72-2x)\ \mathrm{m}$。
根据面积为$640\ \mathrm{m}^2$列方程得：
$x(72-2x)=640$
化简得：
$x^2-36x+320=0$
解得$x_1=16$，$x_2=20$。
当$x=16$时，$72-2x=72-32=40$；
当$x=20$时，$72-2x=72-40=32$。
两组解均符合实际意义。
(2) 假设羊圈面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(72-2x)=650$
化简得：
$x^2-36x+325=0$
计算根的判别式：
$\Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的边长。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的解法、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，易错点是计算平行于墙的边长时容易忽略门的宽度导致列式错误，解题时要结合实际场景准确梳理等量关系，同时掌握用根的判别式判断实际问题的存在性。
【难度系数】
0.7
本题是利用一元二次方程解决矩形面积的实际问题，解题思路如下：
1. 首先明确边与栅栏长度的关系：垂直于外墙的边有AB、CD共2条，平行于外墙的边BC上有2m宽的门不需要栅栏，因此平行边BC的长度=栅栏总长度-2条垂直边的长度+门的宽度。
2. 第一问设垂直边AB的长度为x m，用含x的式子表示出BC的长度，再根据“矩形面积=长×宽”列一元二次方程，求解后两组解均符合外墙足够长的条件，即可得到对应的长宽。
3. 第二问同样根据面积列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0，说明方程无实根，即该面积无法达到。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的边AB长为$x\ \mathrm{m}$，则边BC的长度为$70-2x+2=(72-2x)\ \mathrm{m}$。
根据面积为$640\ \mathrm{m}^2$列方程得：
$x(72-2x)=640$
化简得：
$x^2-36x+320=0$
解得$x_1=16$，$x_2=20$。
当$x=16$时，$72-2x=72-32=40$；
当$x=20$时，$72-2x=72-40=32$。
两组解均符合实际意义。
(2) 假设羊圈面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(72-2x)=650$
化简得：
$x^2-36x+325=0$
计算根的判别式：
$\Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的边长。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的解法、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，易错点是计算平行于墙的边长时容易忽略门的宽度导致列式错误，解题时要结合实际场景准确梳理等量关系，同时掌握用根的判别式判断实际问题的存在性。
【难度系数】
0.7
8. 综合与实践:数学兴趣小组计划用两块长为 100 cm,宽为 40 cm 的长方形硬纸板做收纳盒.
【任务要求】
任务一:设计无盖长方形收纳盒.把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒.如图①.
任务二:设计有盖长方形收纳盒.把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,然后折成一个有盖的长方体收纳盒,EF 和 HG 两边恰好重合且无重叠部分,如图②.
【问题解决】
(1) 若任务一中设计的收纳盒的底面积为 $1600\ \mathrm{cm}^2$,则剪去的小正方形的边长为多少厘米?
(2) 若任务二中设计的该收纳盒的底面积为 $608\ \mathrm{cm}^2$,该收纳盒的高是多少厘米?
【任务要求】
任务一:设计无盖长方形收纳盒.把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒.如图①.
任务二:设计有盖长方形收纳盒.把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,然后折成一个有盖的长方体收纳盒,EF 和 HG 两边恰好重合且无重叠部分,如图②.
【问题解决】
(1) 若任务一中设计的收纳盒的底面积为 $1600\ \mathrm{cm}^2$,则剪去的小正方形的边长为多少厘米?
(2) 若任务二中设计的该收纳盒的底面积为 $608\ \mathrm{cm}^2$,该收纳盒的高是多少厘米?
答案
(1) 设剪去的小正方形的边长为x cm,由题意,得$(100-2x)(40-2x)=1600$.解得$x_1=10,x_2=60$(不符合题意,舍去).答:剪去的小正方形的边长为10 cm
(2) 根据题意,长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,设收纳盒的高为a cm,则收纳盒底面的长为$\frac{100-2a}{2}=50-a$(cm),宽为(40-2a)cm.$\therefore (50-a)(40-2a)=608$.解得$a_1=12,a_2=58＞50$(不符合题意,舍去).$\therefore$收纳盒的高为12 cm
(2) 根据题意,长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,设收纳盒的高为a cm,则收纳盒底面的长为$\frac{100-2a}{2}=50-a$(cm),宽为(40-2a)cm.$\therefore (50-a)(40-2a)=608$.解得$a_1=12,a_2=58＞50$(不符合题意,舍去).$\therefore$收纳盒的高为12 cm
解析
【分析】
(1) 任务一制作无盖长方体收纳盒，剪去的小正方形的边长就是收纳盒的高。设小正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，折成的收纳盒底面长为原纸板长减去2个$x$，即$(100-2x)\ \mathrm{cm}$，底面宽为原纸板宽减去2个$x$，即$(40-2x)\ \mathrm{cm}$，根据“底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程求解，最后要结合实际意义检验解是否合理，边长不能为负，也不能超过原纸板宽度的一半。
(2) 任务二制作有盖长方体收纳盒，设收纳盒的高为$a\ \mathrm{cm}$，剪去的小长方形的宽就是$a$。收纳盒底面宽为原纸板宽减去2个$a$，即$(40-2a)\ \mathrm{cm}$；因为折完后要形成盖子，原纸板长减去2个$a$后需要平均分成2份，分别作为底面的长和盖子的长，所以底面长为$\frac{100-2a}{2}=(50-a)\ \mathrm{cm}$，再根据底面积的等量关系列方程求解，同样要检验解的合理性。
【解析】
(1) 设剪去的小正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，由题意得：
$(100-2x)(40-2x)=1600$
整理得$x^2-70x+600=0$，因式分解得$(x-10)(x-60)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=60$。
当$x=60$时，$40-2x=-80＜0$，不符合实际情况，舍去。
(2) 设该收纳盒的高为$a\ \mathrm{cm}$，则收纳盒底面长为$\frac{100-2a}{2}=(50-a)\ \mathrm{cm}$，底面宽为$(40-2a)\ \mathrm{cm}$，由题意得：
$(50-a)(40-2a)=608$
整理得$a^2-70a+696=0$，因式分解得$(a-12)(a-58)=0$，解得$a_1=12$，$a_2=58$。
当$a=58$时，$40-2a=-76＜0$，不符合实际情况，舍去。
【答案】
(1) 剪去的小正方形的边长为10 cm；(2) 该收纳盒的高为12 cm
【知识点】
一元二次方程应用，长方体展开与折叠，实际解的检验
【点评】
本题结合生活实际场景命题，需要学生结合几何体展开的特征梳理各边长的数量关系，再列方程求解，解题的易错点是忽略实际意义对根的限制，未舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
(1) 任务一制作无盖长方体收纳盒，剪去的小正方形的边长就是收纳盒的高。设小正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，折成的收纳盒底面长为原纸板长减去2个$x$，即$(100-2x)\ \mathrm{cm}$，底面宽为原纸板宽减去2个$x$，即$(40-2x)\ \mathrm{cm}$，根据“底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程求解，最后要结合实际意义检验解是否合理，边长不能为负，也不能超过原纸板宽度的一半。
(2) 任务二制作有盖长方体收纳盒，设收纳盒的高为$a\ \mathrm{cm}$，剪去的小长方形的宽就是$a$。收纳盒底面宽为原纸板宽减去2个$a$，即$(40-2a)\ \mathrm{cm}$；因为折完后要形成盖子，原纸板长减去2个$a$后需要平均分成2份，分别作为底面的长和盖子的长，所以底面长为$\frac{100-2a}{2}=(50-a)\ \mathrm{cm}$，再根据底面积的等量关系列方程求解，同样要检验解的合理性。
【解析】
(1) 设剪去的小正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，由题意得：
$(100-2x)(40-2x)=1600$
整理得$x^2-70x+600=0$，因式分解得$(x-10)(x-60)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=60$。
当$x=60$时，$40-2x=-80＜0$，不符合实际情况，舍去。
(2) 设该收纳盒的高为$a\ \mathrm{cm}$，则收纳盒底面长为$\frac{100-2a}{2}=(50-a)\ \mathrm{cm}$，底面宽为$(40-2a)\ \mathrm{cm}$，由题意得：
$(50-a)(40-2a)=608$
整理得$a^2-70a+696=0$，因式分解得$(a-12)(a-58)=0$，解得$a_1=12$，$a_2=58$。
当$a=58$时，$40-2a=-76＜0$，不符合实际情况，舍去。
【答案】
(1) 剪去的小正方形的边长为10 cm；(2) 该收纳盒的高为12 cm
【知识点】
一元二次方程应用，长方体展开与折叠，实际解的检验
【点评】
本题结合生活实际场景命题，需要学生结合几何体展开的特征梳理各边长的数量关系，再列方程求解，解题的易错点是忽略实际意义对根的限制，未舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
