5. 如图，在线段AB上找一点C，点C把线段AB分为AC和CB两段，其中AC是较短的一段，若$\frac{AC}{CB}=\frac{CB}{AB}$（即$CB^2=AC· AB$），则点C就叫作线段AB的黄金分割点。若$AB=2$，则BC的长为。

5. $\sqrt{5}-1$

【分析】
解题时首先结合题目给出的黄金分割的等量关系$CB^2=AC·AB$梳理已知量和未知量：已知AB=2，要求BC的长，可设BC=x，利用线段和差关系表示出$AC=AB-BC=2-x$，将各量代入等量关系即可得到关于x的一元二次方程，求解后结合线段长度为正的实际意义舍去不合理的根，就能得到BC的长度。
【解析】
解：设$BC=x$，
$\because AB=2$，
$\therefore AC=AB-BC=2-x$，
根据黄金分割的定义可得$CB^2=AC·AB$，
代入得：$x^2=2(2-x)$，
整理得：$x^2+2x-4=0$，
由一元二次方程求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，
$\because$线段长度为正数，且BC为较长段，$x＞0$，
$\therefore x=-1+\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
黄金分割；一元二次方程的解法；线段和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的定义与一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据黄金分割的比例关系正确列出方程，求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7

6. 用公式法解下列方程：
(1) $x^2 -7x -18=0$；
(2) $2x^2 -6x -1=0$；
(3) $2x^2 -5=4x$；
(4) $(y-1)^2 -3y=4y^2$；
(5) $x(3x -1)=10$；
(6) $\frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{5}{2}=0$。

(1) $x_1=-2,x_2=9$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$
(3) $x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
(4) $y_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6},y_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$
(5) $x_1=2,x_2=-\frac{5}{3}$
(6) $x_1=-3,x_2=\frac{5}{3}$

【分析】
用公式法解一元二次方程的通用解题思路为：第一步先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，准确识别系数$a、b、c$的取值；第二步计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断方程是否有实数根：若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$，则直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，即可得到方程的实数根，所有题目均按该步骤逐步求解即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 -7x -18=0$为一般形式，得$a=1,b=-7,c=-18$
判别式$\Delta=(-7)^2-4×1×(-18)=121＞0$
代入求根公式：$x=\frac{7\pm\sqrt{121}}{2×1}=\frac{7\pm11}{2}$
解得$x_1=9,x_2=-2$
(2) 方程$2x^2 -6x -1=0$为一般形式，得$a=2,b=-6,c=-1$
判别式$\Delta=(-6)^2-4×2×(-1)=44＞0$
代入求根公式：$x=\frac{6\pm\sqrt{44}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{11}}{2}$
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$
(3) 整理方程为一般形式：$2x^2 -4x -5=0$，得$a=2,b=-4,c=-5$
判别式$\Delta=(-4)^2-4×2×(-5)=56＞0$
代入求根公式：$x=\frac{4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$
解得$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
(4) 展开整理方程为一般形式：$3y^2 +5y -1=0$，得$a=3,b=5,c=-1$
判别式$\Delta=5^2-4×3×(-1)=37＞0$
代入求根公式：$y=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{2×3}=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{6}$
解得$y_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6},y_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$
(5) 整理方程为一般形式：$3x^2 -x -10=0$，得$a=3,b=-1,c=-10$
判别式$\Delta=(-1)^2-4×3×(-10)=121＞0$
代入求根公式：$x=\frac{1\pm\sqrt{121}}{2×3}=\frac{1\pm11}{6}$
解得$x_1=2,x_2=-\frac{5}{3}$
(6) 去分母整理方程为一般形式：$3x^2 +4x -15=0$，得$a=3,b=4,c=-15$
判别式$\Delta=4^2-4×3×(-15)=196＞0$
代入求根公式：$x=\frac{-4\pm\sqrt{196}}{2×3}=\frac{-4\pm14}{6}$
解得$x_1=-3,x_2=\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $x_1=-2,x_2=9$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$
(3) $x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
(4) $y_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6},y_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$
(5) $x_1=2,x_2=-\frac{5}{3}$
(6) $x_1=-3,x_2=\frac{5}{3}$
【知识点】
一元二次方程公式法；根的判别式；一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题的核心是先将方程整理为一般形式，注意系数的符号，计算判别式和代入求根公式时要细心，避免运算错误，求出根后可代入原方程检验结果是否正确。
【难度系数】
0.75

7. 一个直角三角形的斜边长为 15 cm，一条直角边比另一条直角边长 3 cm，求两条直角边的长。

7. 9,12

【分析】
本题是直角三角形边长求解问题，核心思路如下：1. 直角三角形的三边满足勾股定理，这是列方程的依据；2. 已知两条直角边的长度差，可设较短直角边为未知数，用含未知数的代数式表示较长直角边；3. 将三边代入勾股定理得到一元二次方程，求解后结合边长为正数的实际意义舍去不合理解，即可得到结果。
【解析】
解：设较短的直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则较长的直角边长为$ (x+3) \, \mathrm{cm} $。
根据勾股定理，得：
$ x^2 + (x+3)^2 = 15^2 $
展开并整理方程：
$ x^2 + x^2 + 6x + 9 = 225 $
$ 2x^2 + 6x - 216 = 0 $
化简得：
$ x^2 + 3x - 108 = 0 $
因式分解得：
$ (x+12)(x-9) = 0 $
解得：$ x_1 = -12 $，$ x_2 = 9 $
∵ 边长为正数，
∴ 舍去$ x=-12 $，取$ x=9 $
则较长直角边长为：$ 9 + 3 = 12 \, \mathrm{cm} $
【答案】
9cm，12cm
【知识点】
勾股定理；解一元二次方程；一元二次方程实际应用
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题的关键是找准等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.8

8. 如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在边BC，DC上，且$DF=4$。
（1）线段AF的长为；
（2）当点E移动到使$△ AEF$为直角三角形时，求CE的长。

(1) $\sqrt{41}$
(2) $\because ∠ FAE≤∠ FAB＜90°$，
$\therefore△ AEF$ 为直角三角形分两种情况讨论:① 当$∠ AFE=90°$时,设$CE=x$,则$BE=5-x$.在$\mathrm{Rt}△ CEF$中,由勾股定理,得$EF^2=CF^2+CE^2=1+x^2$.在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理,得$AE^2=AB^2+BE^2=25+(5-x)^2$,而$AF^2=(\sqrt{41})^2=41$,$\therefore$当$∠ AFE=90°$时,$AF^2+EF^2=AE^2$.$\therefore41+1+x^2=25+(5-x)^2$.解得$x=\frac{4}{5}$.②当$∠ AEF=90°$时,$AE^2+EF^2=AF^2$,即$1+x^2+25+(5-x)^2=41$.整理,得$x^2-5x+5=0$.解得$x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或$x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$.综上所述,当$△ AEF$为直角三角形时,$CE$的长为$\frac{4}{5}$或$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$

【分析】
（1）第一问利用正方形的性质可得∠D为直角，AD边长为5，结合已知DF=4，在Rt△ADF中直接运用勾股定理即可求出AF的长度。
（2）第二问为直角三角形存在性问题，首先判断直角顶点位置：由于∠FAE≤∠FAB＜90°，故直角顶点只能是F或E，分两种情况讨论：①当∠AFE=90°时；②当∠AEF=90°时。设CE=x，分别用含x的式子表示出相关直角三角形各边的平方，再结合勾股定理列一元二次方程求解，验证解的合理性即可得到CE的长。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，AD=CD=5，
已知DF=4，在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$。
（2）
∵∠FAE≤∠FAB＜90°，
∴△AEF为直角三角形分两种情况讨论：
① 当$∠ AFE=90°$时，设$CE=x$，则$BE=5-x$，$CF=CD-DF=1$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，由勾股定理得$EF^2=CF^2+CE^2=1+x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得$AE^2=AB^2+BE^2=25+(5-x)^2$；
已知$AF^2=(\sqrt{41})^2=41$，当$∠ AFE=90°$时，满足$AF^2+EF^2=AE^2$，
代入得：$41+1+x^2=25+(5-x)^2$，
解得$x=\frac{4}{5}$。
②当$∠ AEF=90°$时，满足$AE^2+EF^2=AF^2$，
代入得：$1+x^2+25+(5-x)^2=41$，
整理得$x^2-5x+5=0$，
解得$x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，两个解均符合线段长度取值要求。
综上，CE的长为$\frac{4}{5}$或$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{41}$；(2) $\frac{4}{5}$或$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题解题的核心是先确定直角顶点的所有可能情况，避免漏解，再结合勾股定理建立方程求解，得到结果后要注意验证是否符合实际图形的线段长度范围。
【难度系数】
0.6