例1 用公式法解下列方程：
(1) $x^2 - 2x - 1 = 0$;
(2) $3x^2 + 2x - 5 = 0$;
(3) $x^2 - 6x = 7$;
(4) $20y^2 = 9y - 1$;
(5) $x^2 - 2\sqrt{2}x - 16 = 0$;
(6) $(x - 3)^2 = 2x + 5$.

(1) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(2) $x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$
(3) $x_1=7,x_2=-1$
(4) $y_1=\frac{1}{4},y_2=\frac{1}{5}$
(5) $x_1=4\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(6) $x_1=4+2\sqrt{3},x_2=4-2\sqrt{3}$

【分析】
用公式法解一元二次方程的核心思路是：第一步先将方程整理为标准一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确确定系数$a、b、c$的取值（注意符号不要出错）；第二步计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，通过判别式的符号判断方程是否有实数根；第三步若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根，若$\Delta＜0$则方程无实数根。
【解析】
公式法解一元二次方程统一步骤：化一般式→定系数→算判别式→代求根公式→得结果
(1) 方程$x^2 - 2x - 1 = 0$为一般式，其中$a=1，b=-2，c=-1$
判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×(-1)=8＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{2±\sqrt{8}}{2×1}=1±\sqrt{2}$
即$x_1=1+\sqrt{2}，x_2=1-\sqrt{2}$
(2) 方程$3x^2 + 2x - 5 = 0$为一般式，其中$a=3，b=2，c=-5$
判别式$\Delta=2^2-4×3×(-5)=64＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2×3}=\frac{-2±8}{6}$
即$x_1=1，x_2=-\frac{5}{3}$
(3) 整理为一般式：$x^2 - 6x -7=0$，其中$a=1，b=-6，c=-7$
判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×(-7)=64＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{6±\sqrt{64}}{2×1}=\frac{6±8}{2}$
即$x_1=7，x_2=-1$
(4) 整理为一般式：$20y^2 -9y +1=0$，其中$a=20，b=-9，c=1$
判别式$\Delta=(-9)^2-4×20×1=1＞0$
代入求根公式得：$y=\frac{9±\sqrt{1}}{2×20}=\frac{9±1}{40}$
即$y_1=\frac{1}{4}，y_2=\frac{1}{5}$
(5) 方程$x^2 - 2\sqrt{2}x - 16 = 0$为一般式，其中$a=1，b=-2\sqrt{2}，c=-16$
判别式$\Delta=(-2\sqrt{2})^2-4×1×(-16)=72＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{2}±\sqrt{72}}{2×1}=\sqrt{2}±3\sqrt{2}$
即$x_1=4\sqrt{2}，x_2=-2\sqrt{2}$
(6) 展开整理为一般式：$x^2 -8x +4=0$，其中$a=1，b=-8，c=4$
判别式$\Delta=(-8)^2-4×1×4=48＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{8±\sqrt{48}}{2×1}=4±2\sqrt{3}$
即$x_1=4+2\sqrt{3}，x_2=4-2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
(2) $x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$
(3) $x_1=7,x_2=-1$
(4) $y_1=\frac{1}{4},y_2=\frac{1}{5}$
(5) $x_1=4\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(6) $x_1=4+2\sqrt{3},x_2=4-2\sqrt{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；一元二次方程一般式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题的核心是牢记公式法的固定步骤，尤其要注意整理一般式时系数的符号，计算判别式和根式化简时要细心，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8

例2 用公式法解下列方程：
(1) $0.3y^2 -1=0.1y$；
(2) $\frac{1}{2}x^2 -x=\frac{1}{3}$。

(1) $y_1=2,y_2=-\frac{5}{3}$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3},x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$

【分析】
用公式法解一元二次方程可按固定步骤进行：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，注意移项要变号；②准确确定系数$a、b、c$的值（需携带对应符号）；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta＜0$方程无实根，若$\Delta≥0$则代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根；④最后将根化简为最简形式。本题两个小题分别含有小数、分数，可先消去小数、分数简化后续计算，降低出错概率。
【解析】
(1) 移项，将方程化为一般形式：$0.3y^2 - 0.1y - 1 = 0$
方程两边同时乘10消去小数，得：$3y^2 - y - 10 = 0$
其中$a=3$，$b=-1$，$c=-10$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 - 4×3×(-10) = 1 + 120 = 121＞0$
代入求根公式：$y = \frac{-(-1)\pm\sqrt{121}}{2×3} = \frac{1\pm11}{6}$
因此：$y_1=\frac{1+11}{6}=2$，$y_2=\frac{1-11}{6}=-\frac{5}{3}$
(2) 移项，将方程化为一般形式：$\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{3} = 0$
方程两边同时乘6消去分母，得：$3x^2 - 6x - 2 = 0$
其中$a=3$，$b=-6$，$c=-2$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-6)^2 - 4×3×(-2) = 36 + 24 = 60＞0$
代入求根公式：$x = \frac{-(-6)\pm\sqrt{60}}{2×3} = \frac{6\pm2\sqrt{15}}{6}$
约分后得：$x = \frac{3\pm\sqrt{15}}{3}$
因此：$x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$
【答案】
(1) $y_1=2,y_2=-\frac{5}{3}$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{15}}{3},x_2=\frac{3-\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程一般式；根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础应用，解题核心是严格遵循公式法的解题步骤，注意在确定系数$a、b、c$时不要漏掉符号，计算判别式和代入求根公式时要细心，含有小数、分数的方程可先通过乘公倍数的方式化为整数系数方程，能有效降低计算错误率，最后结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8

1. 用公式法解方程$x^2 -4x -11=0$时，$\Delta=$ （）

A.45
B.60
C.$-28$
D.$-43$

1. B

【分析】
要计算一元二次方程的判别式Δ，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式的计算公式为$\Delta=b^2-4ac$。解题第一步先从给定方程中准确找出对应系数a、b、c，注意系数的符号，再代入公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x -11=0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0$可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-11$。
根据判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，代入数值计算：
$\Delta=(-4)^2 - 4×1×(-11)=16 + 44=60$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程判别式公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程根的判别式的计算，解题核心是准确识别方程的各项系数，计算时要注意负号的处理，避免因符号失误出错。
【难度系数】
0.8

2. 用公式法解一元二次方程，得 $x=$$$，则该一元二次方程是 （）

A.$3x^2 -5x +1=0$
B.$5x^2 +3x +1=0$
C.$3x^2 +5x +1=0$
D.$5x^2 -3x +1=0$

2. C

【分析】
解题的核心是熟记一元二次方程的求根公式结构，将题干给出的求根表达式和标准求根公式逐项对照，确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，再根据一元二次方程的一般形式写出对应方程，最后匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对应的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4×3×1}}{2×3}$与标准求根公式对照：
1. 分母为$2×3$，对应$2a$，因此$a=3$；
2. 分子的常数项为$-5$，对应$-b$，因此$-b=-5$，解得$b=5$；
3. 根号内的常数项为1，对应$c$，因此$c=1$。
将$a=3$、$b=5$、$c=1$代入一般式，可得该一元二次方程为$3x^2+5x+1=0$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程一般式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对求根公式的记忆与对应系数的识别，熟练掌握求根公式的结构即可快速解题。
【难度系数】
0.85

3. 方程$x^2 -1=3x$化成一般形式为，判别式$\Delta=$。

3. $x^2-3x-1=0,13$

【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），因此第一步要通过移项把原方程整理为左边按未知数降幂排列、右边为0的形式。得到一般形式后，准确找到二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，再代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算，就能得到判别式的结果。
【解析】
1. 化一元二次方程一般形式：
原方程为$x^2 -1=3x$，将右侧的$3x$移到方程左侧，移项需变号，整理得$x^2 - 3x - 1 = 0$，即为该方程的一般形式。
2. 计算判别式$\Delta$：
在一般形式$x^2 - 3x - 1 = 0$中，$a=1$（二次项系数），$b=-3$（一次项系数），$c=-1$（常数项）。
代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13$。
【答案】
$x^2-3x-1=0$，$13$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，根的判别式计算，移项法则
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考查对一元二次方程一般形式的掌握程度和判别式的计算能力，易错点为移项时符号处理错误，以及代入判别式计算时忽略系数的负号，做题时需注意核对系数符号。
【难度系数】
0.9