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5. 用因式分解法解下列方程：
(1) $(2x+1)^2 - 1 = 0$；
(2) $(2x-1)^2 - 16(x+1)^2 = 0$；
(3) $3(x-1)^2 = x^2 - 1$；
(4) $(x-7)(x-5) = -1$。
(1) $(2x+1)^2 - 1 = 0$；
(2) $(2x-1)^2 - 16(x+1)^2 = 0$；
(3) $3(x-1)^2 = x^2 - 1$；
(4) $(x-7)(x-5) = -1$。
答案
5. (1) $x_1=0,x_2=-1$ (2) $x_1=-\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$ (3) $x_1=2,x_2=1$ (4) $x_1=x_2=6$
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“两个一次因式相乘等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解，通用步骤为：①移项使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式为0，解一元一次方程得到原方程的根。
各小题具体思考方向：(1)左边是平方减1的结构，直接用平方差公式分解；(2)整体是两个平方的差，用平方差公式分解；(3)先移项把右边的式子移到左边，再提取公因式分解；(4)先展开左边、合并同类项整理为右边为0的标准形式，再用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 对原方程左边用平方差公式分解：
$\begin{aligned}(2x+1+1)(2x+1-1)&=0\\2x(2x+2)&=0\\4x(x+1)&=0\end{aligned}$
令$x=0$或$x+1=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
(2) 对原方程左边用平方差公式分解：
$\begin{aligned}[(2x-1)+4(x+1)][(2x-1)-4(x+1)]&=0\\(6x+3)(-2x-5)&=0\\-3(2x+1)(2x+5)&=0\end{aligned}$
令$2x+1=0$或$2x+5=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{5}{2}$。
(3) 先移项，再对左边分解因式：
$\begin{aligned}3(x-1)^2-(x^2-1)&=0\\3(x-1)^2-(x-1)(x+1)&=0\\(x-1)[3(x-1)-(x+1)]&=0\\(x-1)(2x-4)&=0\\2(x-1)(x-2)&=0\end{aligned}$
令$x-1=0$或$x-2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$。
(4) 先展开整理为标准形式再分解：
$\begin{aligned}x^2-12x+35&=-1\\x^2-12x+36&=0\\(x-6)^2&=0\end{aligned}$
令$x-6=0$，解得$x_1=x_2=6$。
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=-1$；(2) $x_1=-\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$；(3) $x_1=2,x_2=1$；(4) $x_1=x_2=6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查因式分解在解一元二次方程中的应用，需要熟练掌握常用的因式分解方法，解题时注意不要直接约去含未知数的公因式避免漏根，展开合并同类项时计算要准确。
【难度系数】
0.75
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“两个一次因式相乘等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解，通用步骤为：①移项使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式为0，解一元一次方程得到原方程的根。
各小题具体思考方向：(1)左边是平方减1的结构，直接用平方差公式分解；(2)整体是两个平方的差，用平方差公式分解；(3)先移项把右边的式子移到左边，再提取公因式分解；(4)先展开左边、合并同类项整理为右边为0的标准形式，再用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 对原方程左边用平方差公式分解：
$\begin{aligned}(2x+1+1)(2x+1-1)&=0\\2x(2x+2)&=0\\4x(x+1)&=0\end{aligned}$
令$x=0$或$x+1=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
(2) 对原方程左边用平方差公式分解：
$\begin{aligned}[(2x-1)+4(x+1)][(2x-1)-4(x+1)]&=0\\(6x+3)(-2x-5)&=0\\-3(2x+1)(2x+5)&=0\end{aligned}$
令$2x+1=0$或$2x+5=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{5}{2}$。
(3) 先移项，再对左边分解因式：
$\begin{aligned}3(x-1)^2-(x^2-1)&=0\\3(x-1)^2-(x-1)(x+1)&=0\\(x-1)[3(x-1)-(x+1)]&=0\\(x-1)(2x-4)&=0\\2(x-1)(x-2)&=0\end{aligned}$
令$x-1=0$或$x-2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$。
(4) 先展开整理为标准形式再分解：
$\begin{aligned}x^2-12x+35&=-1\\x^2-12x+36&=0\\(x-6)^2&=0\end{aligned}$
令$x-6=0$，解得$x_1=x_2=6$。
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=-1$；(2) $x_1=-\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$；(3) $x_1=2,x_2=1$；(4) $x_1=x_2=6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查因式分解在解一元二次方程中的应用，需要熟练掌握常用的因式分解方法，解题时注意不要直接约去含未知数的公因式避免漏根，展开合并同类项时计算要准确。
【难度系数】
0.75
6. 定义:若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如$x^2=4$和$(x-2)(x+3)=0$有且仅有一个相同的实数根$x=2$,所以这两个方程为“同伴方程”.
(1) 关于$x$的一元二次方程$x^2 - x = 0$与$x^2 + x + m -1 =0$为“同伴方程”,求$m$的值.
(2) 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c =0(a≠0)$同时满足$a - b + c =0$和$9a +3b + c =0$,且与$(x -n)(x +2)=0$互为“同伴方程”,求$n$的值.
(1) 关于$x$的一元二次方程$x^2 - x = 0$与$x^2 + x + m -1 =0$为“同伴方程”,求$m$的值.
(2) 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c =0(a≠0)$同时满足$a - b + c =0$和$9a +3b + c =0$,且与$(x -n)(x +2)=0$互为“同伴方程”,求$n$的值.
答案
6. (1) 一元二次方程$x^2 - x = 0$的解为$x_1=0,x_2=1$.当相同的根是$x=0$时,则$m-1=0$,解得$m=1$.当相同的根是$x=1$时,则$1+1+m-1=0$,解得$m=-1$.综上,$m$的值为1或$-1$
(2) $\because$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c =0(a≠0)$同时满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$,$\therefore$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c =0(a≠0)$的两个根是$x_1=-1,x_2=3$.$\because (x-n)(x+2)=0$的两个根是$x_1=n,x_2=-2$,$\because$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c =0(a≠0)$同时满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$,且与$(x-n)(x+2)=0$互为“同伴方程”,$\therefore n=-1$或$3$
(2) $\because$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c =0(a≠0)$同时满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$,$\therefore$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c =0(a≠0)$的两个根是$x_1=-1,x_2=3$.$\because (x-n)(x+2)=0$的两个根是$x_1=n,x_2=-2$,$\because$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c =0(a≠0)$同时满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$,且与$(x-n)(x+2)=0$互为“同伴方程”,$\therefore n=-1$或$3$
解析
【分析】
(1) 第一问解题思路：首先求解方程$x^2 - x = 0$得到它的两个实根，再根据“同伴方程”仅有一个相同实根的定义，分两种情况讨论：相同根为$x=0$或$x=1$，分别将根代入第二个方程求出$m$的值，验证是否符合仅有一个相同根的要求即可。
(2) 第二问解题思路：根据代数式$a-b+c$、$9a+3b+c$的形式，可对应$x=-1$、$x=3$代入$ax^2+bx+c$的计算结果，由此得到方程$ax^2+bx+c=0$的两个根；再求出$(x-n)(x+2)=0$的两个根，结合“同伴方程”的定义，因为$x=-2$不是第一个方程的根，因此$n$只能等于第一个方程的两个根之一，即可得到$n$的取值。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - x = 0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
① 若相同实根为$x=0$，代入$x^2 + x + m -1 =0$得$0+0+m-1=0$，解得$m=1$。此时第二个方程为$x^2+x=0$，根为$0$和$-1$，与第一个方程仅有$x=0$一个相同实根，符合题意。
② 若相同实根为$x=1$，代入$x^2 + x + m -1 =0$得$1+1+m-1=0$，解得$m=-1$。此时第二个方程为$x^2+x-2=0$，根为$1$和$-2$，与第一个方程仅有$x=1$一个相同实根，符合题意。
综上，$m$的值为1或$-1$。
(2) 对于$ax^2 + bx + c =0(a≠0)$：当$x=-1$时，左边$=a-b+c=0$，故$x=-1$是方程的根；当$x=3$时，左边$=9a+3b+c=0$，故$x=3$是方程的根，即该方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=3$。
解方程$(x-n)(x+2)=0$，得$x_1=n$，$x_2=-2$。
因为两方程为“同伴方程”，仅存在一个相同实根，且$-2$不是$ax^2 + bx + c =0$的根，因此相同实根为$-1$或$3$，即$n=-1$或$n=3$。
【答案】
(1) $m$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$；(2) $n$的值为$\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程的解，新定义应用，分类讨论
【点评】
本题以新定义“同伴方程”为载体考查一元二次方程的根的性质，解题核心是准确理解新定义的内涵，结合方程根的特征分类讨论求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问解题思路：首先求解方程$x^2 - x = 0$得到它的两个实根，再根据“同伴方程”仅有一个相同实根的定义，分两种情况讨论：相同根为$x=0$或$x=1$，分别将根代入第二个方程求出$m$的值，验证是否符合仅有一个相同根的要求即可。
(2) 第二问解题思路：根据代数式$a-b+c$、$9a+3b+c$的形式，可对应$x=-1$、$x=3$代入$ax^2+bx+c$的计算结果，由此得到方程$ax^2+bx+c=0$的两个根；再求出$(x-n)(x+2)=0$的两个根，结合“同伴方程”的定义，因为$x=-2$不是第一个方程的根，因此$n$只能等于第一个方程的两个根之一，即可得到$n$的取值。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - x = 0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
① 若相同实根为$x=0$，代入$x^2 + x + m -1 =0$得$0+0+m-1=0$，解得$m=1$。此时第二个方程为$x^2+x=0$，根为$0$和$-1$，与第一个方程仅有$x=0$一个相同实根，符合题意。
② 若相同实根为$x=1$，代入$x^2 + x + m -1 =0$得$1+1+m-1=0$，解得$m=-1$。此时第二个方程为$x^2+x-2=0$，根为$1$和$-2$，与第一个方程仅有$x=1$一个相同实根，符合题意。
综上，$m$的值为1或$-1$。
(2) 对于$ax^2 + bx + c =0(a≠0)$：当$x=-1$时，左边$=a-b+c=0$，故$x=-1$是方程的根；当$x=3$时，左边$=9a+3b+c=0$，故$x=3$是方程的根，即该方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=3$。
解方程$(x-n)(x+2)=0$，得$x_1=n$，$x_2=-2$。
因为两方程为“同伴方程”，仅存在一个相同实根，且$-2$不是$ax^2 + bx + c =0$的根，因此相同实根为$-1$或$3$，即$n=-1$或$n=3$。
【答案】
(1) $m$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$；(2) $n$的值为$\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程的解，新定义应用，分类讨论
【点评】
本题以新定义“同伴方程”为载体考查一元二次方程的根的性质，解题核心是准确理解新定义的内涵，结合方程根的特征分类讨论求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
7.【阅读理解】将$2x^2 - 3x - 2$进行因式分解，我们可以按下面的方法解答：
① 竖分“二次项”与“常数项”：$2x^2 = 2x · x$，$-2 = (-2) × 1$；
② 交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）；
③ 横向写出两因式：$2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2)$。
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法。
【观察思考】例:解方程$x^2 + 2x - 35 = 0$。
解:$(x - 5)(x + 7) = 0$，
$\therefore x - 5 = 0$或$x + 7 = 0$。
$\therefore x_1 = 5, x_2 = -7$。
【问题解决】(1) 请参考以上方法解下列方程：
① $x^2 + 5x + 6 = 0$；
② $2x^2 - x - 15 = 0$；
(2) 已知关于$x$的方程$3x^2 - (a - 3)x - a = 0$，若方程有一个根大于1，请求出$a$的取值范围。
① 竖分“二次项”与“常数项”：$2x^2 = 2x · x$，$-2 = (-2) × 1$；
② 交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）；
③ 横向写出两因式：$2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2)$。
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法。
【观察思考】例:解方程$x^2 + 2x - 35 = 0$。
解:$(x - 5)(x + 7) = 0$，
$\therefore x - 5 = 0$或$x + 7 = 0$。
$\therefore x_1 = 5, x_2 = -7$。
【问题解决】(1) 请参考以上方法解下列方程：
① $x^2 + 5x + 6 = 0$；
② $2x^2 - x - 15 = 0$；
(2) 已知关于$x$的方程$3x^2 - (a - 3)x - a = 0$，若方程有一个根大于1，请求出$a$的取值范围。
答案
7. (1) ① $x^2 + 5x + 6 = 0, \therefore (x + 2)(x + 3) = 0. \therefore x + 2 = 0$ 或 $x + 3 = 0. \therefore x_1 = -2, x_2 = -3$
② $2x^2 - x - 15 = 0, \therefore (2x + 5)(x - 3) = 0. \therefore 2x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0. \therefore x_1 = -\frac{5}{2}, x_2 = 3$
(2) $3x^2 - (a - 3)x - a = 0, \therefore (3x - a)(x + 1) = 0. \therefore x_1 = \frac{a}{3}, x_2 = -1. \because$方程有一个根大于1, $\therefore \frac{a}{3} ＞ 1. \therefore a ＞ 3$
② $2x^2 - x - 15 = 0, \therefore (2x + 5)(x - 3) = 0. \therefore 2x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0. \therefore x_1 = -\frac{5}{2}, x_2 = 3$
(2) $3x^2 - (a - 3)x - a = 0, \therefore (3x - a)(x + 1) = 0. \therefore x_1 = \frac{a}{3}, x_2 = -1. \because$方程有一个根大于1, $\therefore \frac{a}{3} ＞ 1. \therefore a ＞ 3$
解析
【分析】
本题考查十字相乘法因式分解的应用，以及根据一元二次方程根的范围求参数取值，解题思路如下：
1. 第(1)问的两个一元二次方程，先将方程左侧二次三项式用十字相乘法拆分为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，将二次方程转化为两个一次方程求解即可。
2. 第(2)问的含参一元二次方程，同样先用十字相乘法因式分解求出两个根，其中一个根为-1，小于1，因此只需令另一个根大于1，列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) ① 对$x^2+5x+6$十字相乘：二次项$x^2=x· x$，常数项$6=2×3$，交叉相乘相加得$2x+3x=5x$，与一次项一致，因此：
$x^2 + 5x + 6 = 0$
因式分解得：$(x + 2)(x + 3) = 0$
$\therefore x + 2 = 0$ 或 $x + 3 = 0$
解得$x_1=-2$，$x_2=-3$。
② 对$2x^2 - x - 15$十字相乘：二次项$2x^2=2x· x$，常数项$-15=5×(-3)$，交叉相乘相加得$2x×(-3)+x×5=-x$，与一次项一致，因此：
$2x^2 - x - 15 = 0$
因式分解得：$(2x + 5)(x - 3) = 0$
$\therefore 2x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得$x_1=-\frac{5}{2}$，$x_2=3$。
(2) 对$3x^2 - (a - 3)x - a$十字相乘：二次项$3x^2=3x· x$，常数项$-a=(-a)×1$，交叉相乘相加得$3x×1 + x×(-a)=-(a-3)x$，与一次项一致，因此：
$3x^2 - (a - 3)x - a = 0$
因式分解得：$(3x - a)(x + 1) = 0$
$\therefore 3x - a = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得$x_1=\frac{a}{3}$，$x_2=-1$。
$\because -1＜1$，方程有一个根大于1
$\therefore \frac{a}{3}＞1$，解得$a＞3$。
【答案】
(1) ① $x^2 + 5x + 6 = 0, \therefore (x + 2)(x + 3) = 0. \therefore x + 2 = 0$ 或 $x + 3 = 0. \therefore x_1 = -2, x_2 = -3$
② $2x^2 - x - 15 = 0, \therefore (2x + 5)(x - 3) = 0. \therefore 2x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0. \therefore x_1 = -\frac{5}{2}, x_2 = 3$
(2) $3x^2 - (a - 3)x - a = 0, \therefore (3x - a)(x + 1) = 0. \therefore x_1 = \frac{a}{3}, x_2 = -1. \because$方程有一个根大于1, $\therefore \frac{a}{3} ＞ 1. \therefore a ＞ 3$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程；含参方程根的应用
【点评】
本题以新知引入的形式考查十字相乘法的应用，侧重考查学生的迁移运用能力，题型从基础解方程到含参求范围，梯度清晰，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查十字相乘法因式分解的应用，以及根据一元二次方程根的范围求参数取值，解题思路如下：
1. 第(1)问的两个一元二次方程，先将方程左侧二次三项式用十字相乘法拆分为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，将二次方程转化为两个一次方程求解即可。
2. 第(2)问的含参一元二次方程，同样先用十字相乘法因式分解求出两个根，其中一个根为-1，小于1，因此只需令另一个根大于1，列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) ① 对$x^2+5x+6$十字相乘：二次项$x^2=x· x$，常数项$6=2×3$，交叉相乘相加得$2x+3x=5x$，与一次项一致，因此：
$x^2 + 5x + 6 = 0$
因式分解得：$(x + 2)(x + 3) = 0$
$\therefore x + 2 = 0$ 或 $x + 3 = 0$
解得$x_1=-2$，$x_2=-3$。
② 对$2x^2 - x - 15$十字相乘：二次项$2x^2=2x· x$，常数项$-15=5×(-3)$，交叉相乘相加得$2x×(-3)+x×5=-x$，与一次项一致，因此：
$2x^2 - x - 15 = 0$
因式分解得：$(2x + 5)(x - 3) = 0$
$\therefore 2x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得$x_1=-\frac{5}{2}$，$x_2=3$。
(2) 对$3x^2 - (a - 3)x - a$十字相乘：二次项$3x^2=3x· x$，常数项$-a=(-a)×1$，交叉相乘相加得$3x×1 + x×(-a)=-(a-3)x$，与一次项一致，因此：
$3x^2 - (a - 3)x - a = 0$
因式分解得：$(3x - a)(x + 1) = 0$
$\therefore 3x - a = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得$x_1=\frac{a}{3}$，$x_2=-1$。
$\because -1＜1$，方程有一个根大于1
$\therefore \frac{a}{3}＞1$，解得$a＞3$。
【答案】
(1) ① $x^2 + 5x + 6 = 0, \therefore (x + 2)(x + 3) = 0. \therefore x + 2 = 0$ 或 $x + 3 = 0. \therefore x_1 = -2, x_2 = -3$
② $2x^2 - x - 15 = 0, \therefore (2x + 5)(x - 3) = 0. \therefore 2x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0. \therefore x_1 = -\frac{5}{2}, x_2 = 3$
(2) $3x^2 - (a - 3)x - a = 0, \therefore (3x - a)(x + 1) = 0. \therefore x_1 = \frac{a}{3}, x_2 = -1. \because$方程有一个根大于1, $\therefore \frac{a}{3} ＞ 1. \therefore a ＞ 3$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程；含参方程根的应用
【点评】
本题以新知引入的形式考查十字相乘法的应用，侧重考查学生的迁移运用能力，题型从基础解方程到含参求范围，梯度清晰，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
