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例1 用因式分解法解下列方程：
(1) $ y^2 + 2y = 0 $;
(2) $ 3x^2 = 12x $;
(3) $ 2x(x - 3) = x - 3 $.
(1) $ y^2 + 2y = 0 $;
(2) $ 3x^2 = 12x $;
(3) $ 2x(x - 3) = x - 3 $.
答案
(1) $y_1=0,y_2=-2$ (2) $x_1=0,x_2=4$ (3) $x_1=3,x_2=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解题时注意不能随意在方程两边同时除以含有未知数的整式，否则会丢失根。各小题具体思考方向：(1)方程左边可直接提取公因式$y$变形；(2)先移项把所有项移到等号左侧，再提取公因式$3x$；(3)先移项把右侧的$(x-3)$移到左侧，再提取公因式$(x-3)$。
【解析】
(1) 对$y^2 + 2y = 0$提取公因式，得：
$y(y + 2) = 0$
令每个因式等于0，得：
$y = 0$ 或 $y + 2 = 0$
解得$y_1=0$，$y_2=-2$。
(2) 将$3x^2 = 12x$移项，得：
$3x^2 - 12x = 0$
提取公因式$3x$，得：
$3x(x - 4) = 0$
令每个因式等于0，得：
$3x = 0$ 或 $x - 4 = 0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
(3) 将$2x(x - 3) = x - 3$移项，得：
$2x(x - 3) - (x - 3) = 0$
提取公因式$(x - 3)$，得：
$(x - 3)(2x - 1) = 0$
令每个因式等于0，得：
$x - 3 = 0$ 或 $2x - 1 = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $y_1=0,y_2=-2$ (2) $x_1=0,x_2=4$ (3) $x_1=3,x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法、解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题时需注意不要直接约去含未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握提公因式的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解题时注意不能随意在方程两边同时除以含有未知数的整式，否则会丢失根。各小题具体思考方向：(1)方程左边可直接提取公因式$y$变形；(2)先移项把所有项移到等号左侧，再提取公因式$3x$；(3)先移项把右侧的$(x-3)$移到左侧，再提取公因式$(x-3)$。
【解析】
(1) 对$y^2 + 2y = 0$提取公因式，得：
$y(y + 2) = 0$
令每个因式等于0，得：
$y = 0$ 或 $y + 2 = 0$
解得$y_1=0$，$y_2=-2$。
(2) 将$3x^2 = 12x$移项，得：
$3x^2 - 12x = 0$
提取公因式$3x$，得：
$3x(x - 4) = 0$
令每个因式等于0，得：
$3x = 0$ 或 $x - 4 = 0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
(3) 将$2x(x - 3) = x - 3$移项，得：
$2x(x - 3) - (x - 3) = 0$
提取公因式$(x - 3)$，得：
$(x - 3)(2x - 1) = 0$
令每个因式等于0，得：
$x - 3 = 0$ 或 $2x - 1 = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $y_1=0,y_2=-2$ (2) $x_1=0,x_2=4$ (3) $x_1=3,x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法、解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题时需注意不要直接约去含未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握提公因式的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
例2 用因式分解法解下列方程：
(1) $(x-2)^2 - 36 = 0$；
(2) $25a^2 - (4a+1)^2 = 0$；
(3) $(3x-4)^2 - (4x-3)^2 = 0$；
(4) $(x+2)^2 + 9 = 6(x+2)$。
(1) $(x-2)^2 - 36 = 0$；
(2) $25a^2 - (4a+1)^2 = 0$；
(3) $(3x-4)^2 - (4x-3)^2 = 0$；
(4) $(x+2)^2 + 9 = 6(x+2)$。
答案
(1) $x_1=8,x_2=-4$ (2) $a_1=1,a_2=-\frac{1}{9}$ (3) $x_1=1,x_2=-1$ (4) $x_1=x_2=1$
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。本题4个小题均可利用乘法公式因式分解：(1)将(x-2)看作整体，36是6²，符合平方差公式结构；(2)25a²是(5a)²，和(4a+1)²构成平方差结构；(3)两个平方项直接相减，用平方差公式分解；(4)先移项，左侧可构成完全平方结构。
【解析】
(1) 原方程变形为：$(x-2)^2 - 6^2 = 0$
由平方差公式因式分解得：$[(x-2)+6][(x-2)-6] = 0$
化简得：$(x+4)(x-8) = 0$
∴ $x+4=0$ 或 $x-8=0$
解得：$x_1=8, x_2=-4$
(2) 原方程变形为：$(5a)^2 - (4a+1)^2 = 0$
由平方差公式因式分解得：$[5a+(4a+1)][5a-(4a+1)] = 0$
化简得：$(9a+1)(a-1) = 0$
∴ $9a+1=0$ 或 $a-1=0$
解得：$a_1=1, a_2=-\frac{1}{9}$
(3) 由平方差公式因式分解得：$[(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)] = 0$
化简得：$(7x-7)(-x-1) = 0$
整理得：$(x-1)(x+1) = 0$
∴ $x-1=0$ 或 $x+1=0$
解得：$x_1=1, x_2=-1$
(4) 移项得：$(x+2)^2 - 6(x+2) + 9 = 0$
将$(x+2)$看作整体，逆用完全平方公式得：$[(x+2)-3]^2 = 0$
化简得：$(x-1)^2 = 0$
∴ $x-1=0$
解得：$x_1=x_2=1$
【答案】
(1) $x_1=8,x_2=-4$；(2) $a_1=1,a_2=-\frac{1}{9}$；(3) $x_1=1,x_2=-1$；(4) $x_1=x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查一元二次方程的因式分解解法，解题关键是观察方程结构特征，灵活选用乘法公式进行因式分解，将二次方程降为一次方程求解，计算时注意去括号的符号变化，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。本题4个小题均可利用乘法公式因式分解：(1)将(x-2)看作整体，36是6²，符合平方差公式结构；(2)25a²是(5a)²，和(4a+1)²构成平方差结构；(3)两个平方项直接相减，用平方差公式分解；(4)先移项，左侧可构成完全平方结构。
【解析】
(1) 原方程变形为：$(x-2)^2 - 6^2 = 0$
由平方差公式因式分解得：$[(x-2)+6][(x-2)-6] = 0$
化简得：$(x+4)(x-8) = 0$
∴ $x+4=0$ 或 $x-8=0$
解得：$x_1=8, x_2=-4$
(2) 原方程变形为：$(5a)^2 - (4a+1)^2 = 0$
由平方差公式因式分解得：$[5a+(4a+1)][5a-(4a+1)] = 0$
化简得：$(9a+1)(a-1) = 0$
∴ $9a+1=0$ 或 $a-1=0$
解得：$a_1=1, a_2=-\frac{1}{9}$
(3) 由平方差公式因式分解得：$[(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)] = 0$
化简得：$(7x-7)(-x-1) = 0$
整理得：$(x-1)(x+1) = 0$
∴ $x-1=0$ 或 $x+1=0$
解得：$x_1=1, x_2=-1$
(4) 移项得：$(x+2)^2 - 6(x+2) + 9 = 0$
将$(x+2)$看作整体，逆用完全平方公式得：$[(x+2)-3]^2 = 0$
化简得：$(x-1)^2 = 0$
∴ $x-1=0$
解得：$x_1=x_2=1$
【答案】
(1) $x_1=8,x_2=-4$；(2) $a_1=1,a_2=-\frac{1}{9}$；(3) $x_1=1,x_2=-1$；(4) $x_1=x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查一元二次方程的因式分解解法，解题关键是观察方程结构特征，灵活选用乘法公式进行因式分解，将二次方程降为一次方程求解，计算时注意去括号的符号变化，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
1. 下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是 （
A.$(x - 2)(x + 5) = 2$
B.$(3x - 1)^2 = 2(3x - 1)$
C.$x^2 - 4x + 1 = 2$
D.$(x - 2)^2 = 3x$
B
）A.$(x - 2)(x + 5) = 2$
B.$(3x - 1)^2 = 2(3x - 1)$
C.$x^2 - 4x + 1 = 2$
D.$(x - 2)^2 = 3x$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个一元二次方程最适合用因式分解法求解，首先明确因式分解法的适用条件：方程一边为0，另一边容易分解为两个一次因式的乘积。我们逐个分析选项，优先找可直接提公因式、无需复杂变形就能分解因式的方程。
【解析】
对每个选项逐一判断：
A. 方程展开整理为$x^2 + 3x - 12 = 0$，左边无法直接分解为两个一次因式的乘积，不适合用因式分解法；
B. 将方程移项得$(3x - 1)^2 - 2(3x - 1) = 0$，直接提取公因式$(3x - 1)$可得$(3x - 1)(3x - 3) = 0$，无需复杂变形就能分解因式，最适合用因式分解法；
C. 方程整理为$x^2 - 4x - 1 = 0$，左边不易分解因式，更适合用配方法或公式法求解；
D. 方程展开整理为$x^2 - 7x + 4 = 0$，左边不易分解因式，更适合用公式法求解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法、一元二次方程解法选择
【点评】
本题考查一元二次方程解法的选择，解题关键是掌握因式分解法解一元二次方程的适用特征，当方程中含有公共的整式因式时，优先选择因式分解法，计算更简便。
【难度系数】
0.8
要判断哪个一元二次方程最适合用因式分解法求解，首先明确因式分解法的适用条件：方程一边为0，另一边容易分解为两个一次因式的乘积。我们逐个分析选项，优先找可直接提公因式、无需复杂变形就能分解因式的方程。
【解析】
对每个选项逐一判断：
A. 方程展开整理为$x^2 + 3x - 12 = 0$，左边无法直接分解为两个一次因式的乘积，不适合用因式分解法；
B. 将方程移项得$(3x - 1)^2 - 2(3x - 1) = 0$，直接提取公因式$(3x - 1)$可得$(3x - 1)(3x - 3) = 0$，无需复杂变形就能分解因式，最适合用因式分解法；
C. 方程整理为$x^2 - 4x - 1 = 0$，左边不易分解因式，更适合用配方法或公式法求解；
D. 方程展开整理为$x^2 - 7x + 4 = 0$，左边不易分解因式，更适合用公式法求解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法、一元二次方程解法选择
【点评】
本题考查一元二次方程解法的选择，解题关键是掌握因式分解法解一元二次方程的适用特征，当方程中含有公共的整式因式时，优先选择因式分解法，计算更简便。
【难度系数】
0.8
2. 已知方程$(3x-2)(2x-4)=0$，代数式$3x-2$的值 （
A.0
B.$\frac{2}{3}$或2
C.0或4
D.4
C
）A.0
B.$\frac{2}{3}$或2
C.0或4
D.4
答案
2. C
解析
【分析】
解题思路：首先回忆因式分解法解一元二次方程的核心依据：若两个整式的乘积为0，则至少其中一个整式的值为0。因此原方程成立有两种情况，分别是3x-2=0，或者2x-4=0。我们需要分这两种情况，分别计算代数式3x-2的值，最后汇总结果即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵ 两个因式的乘积为0时，至少有一个因式的值为0
∴ 由$(3x-2)(2x-4)=0$，可得两种情况：
① 当$3x-2=0$时，此时$3x-2$的值为0；
② 当$2x-4=0$时，解方程得$2x=4$，即$x=2$，
将$x=2$代入$3x-2$得：$3×2 - 2 = 4$。
综上，代数式$3x-2$的值为0或4。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基本原理，解题时需分情况讨论，避免只考虑第一种因式为0的情况而漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆因式分解法解一元二次方程的核心依据：若两个整式的乘积为0，则至少其中一个整式的值为0。因此原方程成立有两种情况，分别是3x-2=0，或者2x-4=0。我们需要分这两种情况，分别计算代数式3x-2的值，最后汇总结果即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵ 两个因式的乘积为0时，至少有一个因式的值为0
∴ 由$(3x-2)(2x-4)=0$，可得两种情况：
① 当$3x-2=0$时，此时$3x-2$的值为0；
② 当$2x-4=0$时，解方程得$2x=4$，即$x=2$，
将$x=2$代入$3x-2$得：$3×2 - 2 = 4$。
综上，代数式$3x-2$的值为0或4。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基本原理，解题时需分情况讨论，避免只考虑第一种因式为0的情况而漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 方程$(x+1)(x-2)=0$的解是
$x_1=-1,x_2=2$
.答案
3. $x_1=-1,x_2=2$
解析
【分析】
首先观察方程特征：左边是两个一次因式的乘积，右边为0，符合因式分解法解一元二次方程的形式。根据乘法的性质：若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，我们可以将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程，就能得到原一元二次方程的解。
【解析】
解：
∵$(x+1)(x-2)=0$
根据“两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”，可得：
$x+1=0$ 或 $x-2=0$
解$x+1=0$，得$x=-1$；
解$x-2=0$，得$x=2$。
∴原方程的解为$x_1=-1,x_2=2$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础常考题，重点考查因式分解法的应用，只要掌握“乘积为0则至少一个因式为0”的原理，就能快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先观察方程特征：左边是两个一次因式的乘积，右边为0，符合因式分解法解一元二次方程的形式。根据乘法的性质：若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，我们可以将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程，就能得到原一元二次方程的解。
【解析】
解：
∵$(x+1)(x-2)=0$
根据“两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”，可得：
$x+1=0$ 或 $x-2=0$
解$x+1=0$，得$x=-1$；
解$x-2=0$，得$x=2$。
∴原方程的解为$x_1=-1,x_2=2$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础常考题，重点考查因式分解法的应用，只要掌握“乘积为0则至少一个因式为0”的原理，就能快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
4. 设$a,b$是一个直角三角形的两条直角边的长，且$(a^2 + b^2 -4)(a^2 + b^2 +5)=0$，则这个直角三角形的斜边长为
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
首先回忆直角三角形的勾股定理：若直角边为a、b，斜边为c，则$c^2=a^2+b^2$，因此可先把$a^2+b^2$看作一个整体，代入已知方程求解；再结合边长为正数的性质，舍去不符合实际意义的解，最终求出斜边长。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为c，根据勾股定理得：$c^2=a^2+b^2$，其中$c＞0$，因此$a^2+b^2＞0$。
令$t=a^2+b^2$（$t＞0$），则原方程可转化为：
$(t-4)(t+5)=0$
解得$t_1=4$，$t_2=-5$。
由于$t=a^2+b^2＞0$，因此$t=-5$不符合题意，舍去，即$a^2+b^2=4$。
所以$c^2=4$，又因为$c＞0$，故$c=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，因式分解法解方程，整体代入思想
【点评】
本题是几何与代数的结合题型，解题核心是运用整体思想将$a^2+b^2$看作整体求解，同时要注意结合边长为正的实际属性，舍去不合理的负根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆直角三角形的勾股定理：若直角边为a、b，斜边为c，则$c^2=a^2+b^2$，因此可先把$a^2+b^2$看作一个整体，代入已知方程求解；再结合边长为正数的性质，舍去不符合实际意义的解，最终求出斜边长。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为c，根据勾股定理得：$c^2=a^2+b^2$，其中$c＞0$，因此$a^2+b^2＞0$。
令$t=a^2+b^2$（$t＞0$），则原方程可转化为：
$(t-4)(t+5)=0$
解得$t_1=4$，$t_2=-5$。
由于$t=a^2+b^2＞0$，因此$t=-5$不符合题意，舍去，即$a^2+b^2=4$。
所以$c^2=4$，又因为$c＞0$，故$c=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，因式分解法解方程，整体代入思想
【点评】
本题是几何与代数的结合题型，解题核心是运用整体思想将$a^2+b^2$看作整体求解，同时要注意结合边长为正的实际属性，舍去不合理的负根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
