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3. 若代数式$2x^2 -5x$与$-2x +3$的值互为相反数，则$x$的值为
3 或$\frac{1}{2}$
。答案
3 或$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据互为相反数的两个数之和为0的性质，列出关于x的等式，再将等式整理为标准形式的一元二次方程，最后用因式分解法求解一元二次方程即可得到x的值。
【解析】
∵ 代数式$2x^2 -5x$与$-2x +3$的值互为相反数
∴ $(2x^2 -5x) + (-2x +3) = 0$
整理得：$2x^2 -7x +3 = 0$
对左边因式分解得：$(2x-1)(x-3)=0$
则$2x-1=0$或$x-3=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$
【答案】
3或$\frac{1}{2}$
【知识点】
相反数的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握相反数的性质，正确列出一元二次方程，解方程时注意运算准确性即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据互为相反数的两个数之和为0的性质，列出关于x的等式，再将等式整理为标准形式的一元二次方程，最后用因式分解法求解一元二次方程即可得到x的值。
【解析】
∵ 代数式$2x^2 -5x$与$-2x +3$的值互为相反数
∴ $(2x^2 -5x) + (-2x +3) = 0$
整理得：$2x^2 -7x +3 = 0$
对左边因式分解得：$(2x-1)(x-3)=0$
则$2x-1=0$或$x-3=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$
【答案】
3或$\frac{1}{2}$
【知识点】
相反数的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握相反数的性质，正确列出一元二次方程，解方程时注意运算准确性即可得分。
【难度系数】
0.7
4. 将一元二次方程$2x^2 - 2x - 1 = 0$配方后得到$2(x + c)^2 = b$，则$b + c =$
1
.答案
1
解析
【分析】
要解决本题，需用配方法将给定的一元二次方程转化为$2(x+c)^2=b$的形式，步骤为：先将常数项移到等号右侧，再提取二次项系数2，然后对括号内的式子凑完全平方，整理后即可得到$b$、$c$的值，最后计算$b+c$。
【解析】
对原方程$2x^2 - 2x - 1 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$2x^2 - 2x = 1$
2. 提取二次项系数2：$2(x^2 - x) = 1$
3. 对括号内的式子配方：一次项系数为$-1$，其一半的平方为$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，因此括号内加、减$\frac{1}{4}$：
$2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 1$
4. 整理为完全平方式：
$2[(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] = 1$
展开并移项合并常数项：
$2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = 1$
$2(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2}$
对比$2(x+c)^2 = b$，可得$c=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{3}{2}$，因此$b+c=\frac{3}{2}+(-\frac{1}{2})=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意配方过程中要保证等式恒成立，同时要注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需用配方法将给定的一元二次方程转化为$2(x+c)^2=b$的形式，步骤为：先将常数项移到等号右侧，再提取二次项系数2，然后对括号内的式子凑完全平方，整理后即可得到$b$、$c$的值，最后计算$b+c$。
【解析】
对原方程$2x^2 - 2x - 1 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$2x^2 - 2x = 1$
2. 提取二次项系数2：$2(x^2 - x) = 1$
3. 对括号内的式子配方：一次项系数为$-1$，其一半的平方为$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，因此括号内加、减$\frac{1}{4}$：
$2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 1$
4. 整理为完全平方式：
$2[(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] = 1$
展开并移项合并常数项：
$2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = 1$
$2(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2}$
对比$2(x+c)^2 = b$，可得$c=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{3}{2}$，因此$b+c=\frac{3}{2}+(-\frac{1}{2})=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意配方过程中要保证等式恒成立，同时要注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
5. 解下列方程：
(1) $2x^2 + 1 = 3x$；
(2) $-x^2 + 4x = 2$；
(3) $-\frac{1}{2}x^2 + 3x + 1 = 0$；
(4) $(2x - 1)(x + 3) = -6$。
(1) $2x^2 + 1 = 3x$；
(2) $-x^2 + 4x = 2$；
(3) $-\frac{1}{2}x^2 + 3x + 1 = 0$；
(4) $(2x - 1)(x + 3) = -6$。
答案
(1) $x_1 = \frac{1}{2},x_2 = 1$
(2) $x_1 = 2+\sqrt{2},x_2 = 2-\sqrt{2}$
(3) $x_1 = 3+\sqrt{11},x_2 = 3-\sqrt{11}$
(4) $x_1 = -1,x_2 = -\frac{3}{2}$
(2) $x_1 = 2+\sqrt{2},x_2 = 2-\sqrt{2}$
(3) $x_1 = 3+\sqrt{11},x_2 = 3-\sqrt{11}$
(4) $x_1 = -1,x_2 = -\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解一元二次方程首先需将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a、b、c$的取值后，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程根的情况，若$\Delta≥0$，可代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，也可根据方程的结构特点选择配方法、因式分解法简化计算过程。
【解析】
(1) 移项整理得方程的一般形式：$2x^2-3x+1=0$
这里$a=2$，$b=-3$，$c=1$
判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×1=9-8=1＞0$
代入求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$
$\therefore x_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{3+1}{4}=1$
(2) 移项整理得方程的一般形式：$x^2-4x+2=0$
这里$a=1$，$b=-4$，$c=2$
判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×2=16-8=8＞0$
代入求根公式得$x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2×1}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$
$\therefore x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$
(3) 方程两边同乘$-2$整理得一般形式：$x^2-6x-2=0$
这里$a=1$，$b=-6$，$c=-2$
判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×(-2)=36+8=44＞0$
代入求根公式得$x=\frac{6\pm\sqrt{44}}{2×1}=\frac{6\pm2\sqrt{11}}{2}=3\pm\sqrt{11}$
$\therefore x_1=3+\sqrt{11}$，$x_2=3-\sqrt{11}$
(4) 先展开左边再移项整理得一般形式：
$2x^2+5x+3=0$
这里$a=2$，$b=5$，$c=3$
判别式$\Delta=5^2-4×2×3=25-24=1＞0$
代入求根公式得$x=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{-5\pm1}{4}$
$\therefore x_1=\frac{-5+1}{4}=-1$，$x_2=\frac{-5-1}{4}=-\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x_1 = \frac{1}{2},x_2 = 1$
(2) $x_1 = 2+\sqrt{2},x_2 = 2-\sqrt{2}$
(3) $x_1 = 3+\sqrt{11},x_2 = 3-\sqrt{11}$
(4) $x_1 = -1,x_2 = -\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础巩固题，解题核心是先将方程转化为一般形式，准确识别各项系数，计算时需注意符号问题，熟练掌握求根公式的应用即可快速求解，也可根据方程特点选择更简便的方法提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程首先需将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a、b、c$的取值后，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程根的情况，若$\Delta≥0$，可代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，也可根据方程的结构特点选择配方法、因式分解法简化计算过程。
【解析】
(1) 移项整理得方程的一般形式：$2x^2-3x+1=0$
这里$a=2$，$b=-3$，$c=1$
判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×1=9-8=1＞0$
代入求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$
$\therefore x_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{3+1}{4}=1$
(2) 移项整理得方程的一般形式：$x^2-4x+2=0$
这里$a=1$，$b=-4$，$c=2$
判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×2=16-8=8＞0$
代入求根公式得$x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2×1}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$
$\therefore x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$
(3) 方程两边同乘$-2$整理得一般形式：$x^2-6x-2=0$
这里$a=1$，$b=-6$，$c=-2$
判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×(-2)=36+8=44＞0$
代入求根公式得$x=\frac{6\pm\sqrt{44}}{2×1}=\frac{6\pm2\sqrt{11}}{2}=3\pm\sqrt{11}$
$\therefore x_1=3+\sqrt{11}$，$x_2=3-\sqrt{11}$
(4) 先展开左边再移项整理得一般形式：
$2x^2+5x+3=0$
这里$a=2$，$b=5$，$c=3$
判别式$\Delta=5^2-4×2×3=25-24=1＞0$
代入求根公式得$x=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{-5\pm1}{4}$
$\therefore x_1=\frac{-5+1}{4}=-1$，$x_2=\frac{-5-1}{4}=-\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x_1 = \frac{1}{2},x_2 = 1$
(2) $x_1 = 2+\sqrt{2},x_2 = 2-\sqrt{2}$
(3) $x_1 = 3+\sqrt{11},x_2 = 3-\sqrt{11}$
(4) $x_1 = -1,x_2 = -\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础巩固题，解题核心是先将方程转化为一般形式，准确识别各项系数，计算时需注意符号问题，熟练掌握求根公式的应用即可快速求解，也可根据方程特点选择更简便的方法提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 已知$x=2$时，多项式$3x^2 - 2mx + 4$的值等于20.当$x$为何值时，这个多项式的值为12？
答案
$\because x=2$时,二次三项式$3x^2 -2mx +4$的值等于20,$\therefore 12-4m+4=20$.$\therefore m=-1$.$\therefore 3x^2 -2mx +4 = 3x^2 +2x +4$.$\therefore 3x^2 +2x +4 = 12$.$\therefore (x+\frac{1}{3})^2 = \frac{25}{9}$.$\therefore x_1 = -2,x_2 = \frac{4}{3}$.$\therefore x$为$-2$或$\frac{4}{3}$时,这个多项式的值为12
解析
【分析】
解题分两步走：第一步，先利用已知条件求参数m：已知x=2时多项式的值为20，将x=2代入多项式即可得到关于m的一元一次方程，解出m的值就能确定多项式的具体表达式；第二步，求多项式值为12时的x：令确定后的多项式等于12，得到关于x的一元二次方程，用配方法求解该方程即可得到对应的x值。
【解析】
第一步，求参数m：
将$x=2$代入多项式$3x^2 - 2mx + 4$，根据其值为20可得：
$3× 2^2 - 2m× 2 + 4 = 20$
计算得：$12 - 4m + 4 = 20$，即$16 - 4m = 20$
移项解得：$4m = 16 - 20 = -4$，$\therefore m = -1$
第二步，确定多项式并解方程：
将$m=-1$代入原多项式，得多项式为$3x^2 + 2x + 4$
令该多项式的值为12，列方程：
$3x^2 + 2x + 4 = 12$
移项整理得：$3x^2 + 2x - 8 = 0$
两边同时除以3得：$x^2 + \frac{2}{3}x = \frac{8}{3}$
配方，两边同时加$(\frac{1}{3})^2$得：
$x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 = \frac{8}{3} + \frac{1}{9}$
即$(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{25}{9}$
开平方得：$x + \frac{1}{3} = \pm \frac{5}{3}$
解得：$x_1 = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$，$x_2 = -\frac{5}{3} - \frac{1}{3} = -2$
【答案】
$x=-2$或$x=\frac{4}{3}$
【知识点】
代数式求值；一元一次方程求解；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是代数部分的基础常考题，解题逻辑清晰，先求参数确定表达式，再解方程即可，计算时要注意移项变号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题分两步走：第一步，先利用已知条件求参数m：已知x=2时多项式的值为20，将x=2代入多项式即可得到关于m的一元一次方程，解出m的值就能确定多项式的具体表达式；第二步，求多项式值为12时的x：令确定后的多项式等于12，得到关于x的一元二次方程，用配方法求解该方程即可得到对应的x值。
【解析】
第一步，求参数m：
将$x=2$代入多项式$3x^2 - 2mx + 4$，根据其值为20可得：
$3× 2^2 - 2m× 2 + 4 = 20$
计算得：$12 - 4m + 4 = 20$，即$16 - 4m = 20$
移项解得：$4m = 16 - 20 = -4$，$\therefore m = -1$
第二步，确定多项式并解方程：
将$m=-1$代入原多项式，得多项式为$3x^2 + 2x + 4$
令该多项式的值为12，列方程：
$3x^2 + 2x + 4 = 12$
移项整理得：$3x^2 + 2x - 8 = 0$
两边同时除以3得：$x^2 + \frac{2}{3}x = \frac{8}{3}$
配方，两边同时加$(\frac{1}{3})^2$得：
$x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 = \frac{8}{3} + \frac{1}{9}$
即$(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{25}{9}$
开平方得：$x + \frac{1}{3} = \pm \frac{5}{3}$
解得：$x_1 = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$，$x_2 = -\frac{5}{3} - \frac{1}{3} = -2$
【答案】
$x=-2$或$x=\frac{4}{3}$
【知识点】
代数式求值；一元一次方程求解；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是代数部分的基础常考题，解题逻辑清晰，先求参数确定表达式，再解方程即可，计算时要注意移项变号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
7. 求代数式$x^2 - 4x + 3$的最小值时，我们通常运用“$a^2 ≥ 0$”这个结论对代数式进行配方来解决.比如$x^2 - 4x + 3 = x^2 - 4x + 4 - 1 = (x - 2)^2 - 1$，$\because (x - 2)^2 ≥ 0$，$\therefore (x - 2)^2 - 1 ≥ -1$. $\therefore x^2 - 4x + 3$的最小值是$-1$.试利用“配方法”求代数式$a^2 - 8a + 18$的最小值.
答案
$a^2 -8a +18 = a^2 -8a +16 +2 = (a-4)^2 +2$,$\because (a-4)^2 ≥ 0$,$\therefore (a-4)^2 +2 ≥ 2$.$\therefore a^2 -8a +20$的最小值是2
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以参考题目给出的配方法求最值的思路：第一步先对二次三项式进行配方，对于二次项系数为1的式子，只需加上一次项系数一半的平方，将含字母的部分凑成完全平方式，再调整常数项保证式子和原式相等；第二步利用完全平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0），确定配方后式子的取值范围，进而求出代数式的最小值。本题中代数式的一次项系数是-8，它的一半是-4，平方为16，我们据此拆分常数项即可完成配方。
【解析】
解：对代数式进行配方：
$a^2 - 8a + 18$
$= a^2 - 8a + 16 + 2$
$= (a - 4)^2 + 2$
$\because$ 任意实数的平方都是非负数，即 $(a - 4)^2 ≥ 0$
$\therefore (a - 4)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2$
当且仅当 $a - 4 = 0$，即 $a = 4$ 时，等号成立。
因此代数式$a^2 - 8a + 18$的最小值为2。
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
配方法，完全平方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型基础应用题，核心考查二次三项式的配方步骤，以及结合完全平方非负性推导二次式最值的能力，熟练掌握配方规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以参考题目给出的配方法求最值的思路：第一步先对二次三项式进行配方，对于二次项系数为1的式子，只需加上一次项系数一半的平方，将含字母的部分凑成完全平方式，再调整常数项保证式子和原式相等；第二步利用完全平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0），确定配方后式子的取值范围，进而求出代数式的最小值。本题中代数式的一次项系数是-8，它的一半是-4，平方为16，我们据此拆分常数项即可完成配方。
【解析】
解：对代数式进行配方：
$a^2 - 8a + 18$
$= a^2 - 8a + 16 + 2$
$= (a - 4)^2 + 2$
$\because$ 任意实数的平方都是非负数，即 $(a - 4)^2 ≥ 0$
$\therefore (a - 4)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2$
当且仅当 $a - 4 = 0$，即 $a = 4$ 时，等号成立。
因此代数式$a^2 - 8a + 18$的最小值为2。
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
配方法，完全平方的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型基础应用题，核心考查二次三项式的配方步骤，以及结合完全平方非负性推导二次式最值的能力，熟练掌握配方规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 新定义:若关于x的一元二次方程:$m(x-a)^2 + b=0$与$n(x-a)^2 + b=0$，称为“同类方程”.
如$2(x-1)^2 +3=0$与$6(x-1)^2 +3=0$是“同类方程”.
(1) 若$3x^2 -6x +b=0$与$a(x-1)^2 +1=0$是“同类方程”，则$b=$
(2) 现有关于x的一元二次方程:$(a-2)x^2 -(b+4)x -2=0$与$(a+3)(x+1)^2 +2=0$是“同类方程”.求方程$(a-2)x^2 -(b+4)x -2=0$的解.
如$2(x-1)^2 +3=0$与$6(x-1)^2 +3=0$是“同类方程”.
(1) 若$3x^2 -6x +b=0$与$a(x-1)^2 +1=0$是“同类方程”，则$b=$
4
.(2) 现有关于x的一元二次方程:$(a-2)x^2 -(b+4)x -2=0$与$(a+3)(x+1)^2 +2=0$是“同类方程”.求方程$(a-2)x^2 -(b+4)x -2=0$的解.
答案
(1) 4
(2) 由条件可知$(a-2)x^2 -(b+4)x -2 = (a-2)(x+1)^2 +2$,$\therefore (a-2)x^2 -(b+4)x -2 = (a-2)x^2 +2(a-2)x +a$.
$\therefore \begin{cases} -(b+4)=2(a-2),\\ -2=a. \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-2,\\ b=4. \end{cases}$$\therefore$方程为:$-4x^2 -8x -2=0$.解得$x_1 = \frac{-2+\sqrt{2}}{2},x_2 = \frac{-2-\sqrt{2}}{2}$
(2) 由条件可知$(a-2)x^2 -(b+4)x -2 = (a-2)(x+1)^2 +2$,$\therefore (a-2)x^2 -(b+4)x -2 = (a-2)x^2 +2(a-2)x +a$.
$\therefore \begin{cases} -(b+4)=2(a-2),\\ -2=a. \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-2,\\ b=4. \end{cases}$$\therefore$方程为:$-4x^2 -8x -2=0$.解得$x_1 = \frac{-2+\sqrt{2}}{2},x_2 = \frac{-2-\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
首先明确“同类方程”的定义：两个一元二次方程都可化为$k(x-h)^2 + c=0$的形式，且$h$和$c$分别相等时，二者为同类方程。
(1) 先将第一个方程用配方法化为顶点式，再根据同类方程的常数项与第二个方程的常数项相等，即可求出$b$的值。
(2) 根据同类方程定义，第一个方程可化为$k(x+1)^2 + 2=0$的形式，将该顶点式展开后与原方程对应系数相等，列方程组求出$a$、$b$的值，再代入原方程求解即可。
【解析】
(1) 对$3x^2 -6x +b=0$配方：
$3(x^2 - 2x) + b = 0$
$3(x^2 -2x +1 -1) + b = 0$
$3(x-1)^2 -3 + b = 0$
已知它与$a(x-1)^2 +1=0$是同类方程，根据定义得常数项相等：$b - 3 = 1$，解得$b=4$。
(2) 已知两个方程是同类方程，第二个方程为$(a+3)(x+1)^2 +2=0$，因此第一个方程可变形为：
$(a-2)(x+1)^2 + 2 = (a-2)x^2 -(b+4)x -2$
将左边展开得：
$(a-2)x^2 + 2(a-2)x + (a-2) + 2 = (a-2)x^2 + 2(a-2)x + a$
左右两边多项式恒等，对应系数相等，列方程组：
$\begin{cases} 2(a-2) = -(b+4) \\ a = -2 \end{cases}$
将$a=-2$代入第一个方程：
$2×(-2-2) = -(b+4)$
$-8 = -b -4$
解得$b=4$
将$a=-2$，$b=4$代入方程$(a-2)x^2 -(b+4)x -2=0$得：
$-4x^2 -8x -2 = 0$
化简为$2x^2 +4x +1=0$
用求根公式求解：
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4×2×1}}{2×2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$
即$x_1=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) $\boxed{x_1=\frac{-2+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
配方法，多项式恒等，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义题型，解题关键是准确理解“同类方程”的定义，通过转化方程对比系数求出未知参数，再代入解方程即可，主要考查对新知识的转化应用能力和一元二次方程的基础运算能力。
【难度系数】
0.6
首先明确“同类方程”的定义：两个一元二次方程都可化为$k(x-h)^2 + c=0$的形式，且$h$和$c$分别相等时，二者为同类方程。
(1) 先将第一个方程用配方法化为顶点式，再根据同类方程的常数项与第二个方程的常数项相等，即可求出$b$的值。
(2) 根据同类方程定义，第一个方程可化为$k(x+1)^2 + 2=0$的形式，将该顶点式展开后与原方程对应系数相等，列方程组求出$a$、$b$的值，再代入原方程求解即可。
【解析】
(1) 对$3x^2 -6x +b=0$配方：
$3(x^2 - 2x) + b = 0$
$3(x^2 -2x +1 -1) + b = 0$
$3(x-1)^2 -3 + b = 0$
已知它与$a(x-1)^2 +1=0$是同类方程，根据定义得常数项相等：$b - 3 = 1$，解得$b=4$。
(2) 已知两个方程是同类方程，第二个方程为$(a+3)(x+1)^2 +2=0$，因此第一个方程可变形为：
$(a-2)(x+1)^2 + 2 = (a-2)x^2 -(b+4)x -2$
将左边展开得：
$(a-2)x^2 + 2(a-2)x + (a-2) + 2 = (a-2)x^2 + 2(a-2)x + a$
左右两边多项式恒等，对应系数相等，列方程组：
$\begin{cases} 2(a-2) = -(b+4) \\ a = -2 \end{cases}$
将$a=-2$代入第一个方程：
$2×(-2-2) = -(b+4)$
$-8 = -b -4$
解得$b=4$
将$a=-2$，$b=4$代入方程$(a-2)x^2 -(b+4)x -2=0$得：
$-4x^2 -8x -2 = 0$
化简为$2x^2 +4x +1=0$
用求根公式求解：
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4×2×1}}{2×2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$
即$x_1=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) $\boxed{x_1=\frac{-2+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
配方法，多项式恒等，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义题型，解题关键是准确理解“同类方程”的定义，通过转化方程对比系数求出未知参数，再代入解方程即可，主要考查对新知识的转化应用能力和一元二次方程的基础运算能力。
【难度系数】
0.6
