13. 解下列方程：
(1) $x^2 +4x +1=0$；
(2) $x^2 -3x -1=0$；
(3) $x^2 +3x -40=0$；
(4) $x^2 +3x -\frac{7}{4}=0$；
(5) $y^2 -\sqrt{2}y -\frac{1}{4}=0$；
(6) $-x^2 -4x -3=0$。

13. (1) $x_1=-2-\sqrt{3},x_2=-2+\sqrt{3}$ (2) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ (3) $x_1=5,x_2=-8$ (4) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{7}{2}$ (5) $y_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2},y_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$ (6) $x_1=-3,x_2=-1$

【分析】
解一元二次方程可根据方程的系数特点灵活选择解法：①若二次项系数为1，一次项系数为偶数，优先考虑配方法；②若方程易分解为两个一次因式乘积的形式，优先考虑因式分解法；③所有一元二次方程都可以用公式法求解，公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$a\ne0$，$\Delta=b^2-4ac\ge0$），解题时先确定$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta$，再代入公式求解即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 +4x +1=0$，用配方法求解：
移项得$x^2+4x=-1$，
配方，两边同时加4得$x^2+4x+4=-1+4$，即$(x+2)^2=3$，
开平方得$x+2=\pm\sqrt{3}$，
解得$x_1=-2-\sqrt{3},x_2=-2+\sqrt{3}$。
(2) 对于方程$x^2 -3x -1=0$，用公式法求解：
这里$a=1,b=-3,c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-1)=13＞0$，
代入公式得$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$，
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
(3) 对于方程$x^2 +3x -40=0$，用因式分解法求解：
因式分解得$(x+8)(x-5)=0$，
则$x+8=0$或$x-5=0$，
解得$x_1=5,x_2=-8$。
(4) 对于方程$x^2 +3x -\frac{7}{4}=0$，先去分母再因式分解：
两边同时乘4得$4x^2+12x-7=0$，
因式分解得$(2x-1)(2x+7)=0$，
则$2x-1=0$或$2x+7=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{7}{2}$。
(5) 对于方程$y^2 -\sqrt{2}y -\frac{1}{4}=0$，用公式法求解：
这里$a=1,b=-\sqrt{2},c=-\frac{1}{4}$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-\sqrt{2})^2-4×1×(-\frac{1}{4})=3＞0$，
代入公式得$y=\frac{-(-\sqrt{2})\pm\sqrt{3}}{2×1}=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{3}}{2}$，
即$y_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2},y_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(6) 对于方程$-x^2 -4x -3=0$，先化简系数再因式分解：
两边同时乘$-1$得$x^2+4x+3=0$，
因式分解得$(x+1)(x+3)=0$，
则$x+1=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=-3,x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=-2-\sqrt{3},x_2=-2+\sqrt{3}$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$
(3) $x_1=5,x_2=-8$
(4) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{7}{2}$
(5) $y_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2},y_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(6) $x_1=-3,x_2=-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时可根据方程的系数特征灵活选择最简便的解法，能有效提升解题速度，计算过程中要注意符号判断、根式运算的准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8

14. 求证：无论$x$为何值，代数式$x^2 -4x +5$的值恒大于0.

14. $x^2 -4x +5=(x-2)^2+1$，$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore x^2 -4x +5≥0+1＞0$

【分析】
要证明代数式的值恒大于0，针对二次三项式的证明问题，优先选择配方法求解：首先将含x的二次项与一次项组合，配成完全平方式，将原式变形为“完全平方式+正数”的结构，再利用实数平方的非负性，即可推导得出代数式的最小值大于0，完成证明。
【解析】
第一步：对代数式$x^2-4x+5$进行配方：
$x^2 -4x +5 = x^2 -4x + 4 + 1 = (x-2)^2 + 1$
第二步：利用平方的非负性推导取值范围：
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，因此无论$x$取何值，都有$(x-2)^2 ≥ 0$
$\therefore (x-2)^2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 ＞ 0$
因此无论$x$为何值，代数式$x^2 -4x +5$的值恒大于0。
【答案】
$x^2 -4x +5=(x-2)^2+1$，$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore x^2 -4x +5≥0+1＞0$
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题属于代数证明类基础题型，解题关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧，结合平方的非负性即可快速判断代数式的取值范围，该解题思路通用，可推广到同类恒正、恒负的代数式证明问题中。
【难度系数】
0.8

15. 根据要求，解答下列问题.
(1) ① 方程$x^2 - 2x +1=0$的解为；
② 方程$x^2 -3x +2=0$的解为；
③ 方程$x^2 -4x +3=0$的解为；
……
(2) 根据以上方程特征及其解的特征，猜想：
① 方程$x^2 -11x +10=0$的解为；
② 关于$x$的方程的解为$x_1=1$，$x_2=n$.
(3) 请验证(2)中猜想②的正确性.

15. (1) ① $x_1=1,x_2=1$ ② $x_1=1,x_2=2$ ③ $x_1=1,x_2=3$ (2) ① $x_1=1,x_2=10$ ② $x^2-(n+1)x+n=0$ (3) 用配方法解方程$x^2-(n+1)x+n=0$，得$x_1=1,x_2=n$

【分析】
首先求解(1)中3个一元二次方程，可选用简便的因式分解法求解；求解后观察方程特征与解的特征：发现每个方程均有一个根为1，另一个根等于方程的常数项，且一次项系数等于两个根之和的相反数，常数项等于两个根的乘积。根据该规律即可完成(2)的猜想；最后(3)验证猜想时，选用配方法解对应方程，将解出的根与已知解对比即可完成验证。
【解析】
(1) ① 对$x^2 -2x +1=0$因式分解得$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$；
② 对$x^2 -3x +2=0$因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1,x_2=2$；
③ 对$x^2 -4x +3=0$因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$；
(2) 根据前面总结的规律，可得：
① 方程$x^2 -11x +10=0$的解为$x_1=1,x_2=10$；
② 若方程的解为$x_1=1,x_2=n$，根据根与系数的关系，一次项系数为$-(1+n)$，常数项为$n$，因此方程为$x^2-(n+1)x+n=0$；
(3) 验证猜想②：用配方法解方程$x^2-(n+1)x+n=0$
移项得$x^2-(n+1)x=-n$，两边同时加$(\frac{n+1}{2})^2$配方，得$(x-\frac{n+1}{2})^2=\frac{(n-1)^2}{4}$，开方后计算可得$x_1=1,x_2=n$，与已知解一致，猜想正确。
【答案】
(1) ① $x_1=1,x_2=1$ ② $x_1=1,x_2=2$ ③ $x_1=1,x_2=3$ (2) ① $x_1=1,x_2=10$ ② $x^2-(n+1)x+n=0$ (3) 用配方法解方程$x^2-(n+1)x+n=0$，得$x_1=1,x_2=n$
【知识点】
一元二次方程的解法，根与系数的关系，规律探究
【点评】
本题从基础的一元二次方程求解出发，引导学生观察归纳方程系数与解的对应规律，既考查了一元二次方程的基本运算能力，也锻炼了归纳猜想与验证的逻辑思维能力，是兼顾基础和探究性的典型习题。
【难度系数】
0.8