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1. 用配方法解一元二次方程$x^2+bx+c=0$时，一般把它化为$(x+\_\_\_\_\_\_)^2=\_\_\_\_\_\_$的形式；当$b^2-4c\_\_\_\_\_\_0$时，就可以根据________的意义求出方程的解。
答案
1. $\frac{b}{2}$，$\frac{b^2-4c}{4}$，$≥$，平方根
解析
【分析】
首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心思路：利用完全平方公式将方程左边变形为完全平方式，右边化为常数，再通过开平方求解。第一步先移项，把常数项移到等号右侧；第二步配方，给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式；接下来要开平方求根，需要保证等号右边的常数是非负数，依据平方根的意义，只有非负数才有平方根，才能进行开方运算。
【解析】
解：对原方程$x^2+bx+c=0$移项，得：
$x^2+bx=-c$
根据完全平方公式的结构，给方程两边同时加上一次项系数$b$一半的平方$(\frac{b}{2})^2$，可得：
$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=-c+(\frac{b}{2})^2$
左边整理为完全平方式，右边通分计算，得：
$(x+\frac{b}{2})^2=\frac{b^2-4c}{4}$
根据平方根的意义，只有非负数才有平方根，因此要能开平方求根，需满足右边的常数非负，即$\frac{b^2-4c}{4}≥0$，由于分母4为正数，等价于$b^2-4c≥0$，此时可根据平方根的意义求出方程的解。
【答案】
$\frac{b}{2}$，$\frac{b^2-4c}{4}$，$≥$，平方根
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根的意义
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础步骤和开方的前提条件，是一元二次方程求解的核心基础内容，熟练掌握配方技巧是后续学习求根公式、解决一元二次方程相关问题的关键。
【难度系数】
0.8
首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心思路：利用完全平方公式将方程左边变形为完全平方式，右边化为常数，再通过开平方求解。第一步先移项，把常数项移到等号右侧；第二步配方，给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式；接下来要开平方求根，需要保证等号右边的常数是非负数，依据平方根的意义，只有非负数才有平方根，才能进行开方运算。
【解析】
解：对原方程$x^2+bx+c=0$移项，得：
$x^2+bx=-c$
根据完全平方公式的结构，给方程两边同时加上一次项系数$b$一半的平方$(\frac{b}{2})^2$，可得：
$x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=-c+(\frac{b}{2})^2$
左边整理为完全平方式，右边通分计算，得：
$(x+\frac{b}{2})^2=\frac{b^2-4c}{4}$
根据平方根的意义，只有非负数才有平方根，因此要能开平方求根，需满足右边的常数非负，即$\frac{b^2-4c}{4}≥0$，由于分母4为正数，等价于$b^2-4c≥0$，此时可根据平方根的意义求出方程的解。
【答案】
$\frac{b}{2}$，$\frac{b^2-4c}{4}$，$≥$，平方根
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根的意义
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础步骤和开方的前提条件，是一元二次方程求解的核心基础内容，熟练掌握配方技巧是后续学习求根公式、解决一元二次方程相关问题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 下列是小聪解方程$x^2 -8x -3=0$的步骤：
$x^2 -8x=3.$ ①
$x^2 -2·x·4 +4^2=3,$ ②
$(x-4)^2=3,$ ③
$x-4=\pm\sqrt{3},$ ④
$x_1=4+\sqrt{3}, x_2=4-\sqrt{3}.$ ⑤
小聪的解法是从步骤
$x^2 -8x=3.$ ①
$x^2 -2·x·4 +4^2=3,$ ②
$(x-4)^2=3,$ ③
$x-4=\pm\sqrt{3},$ ④
$x_1=4+\sqrt{3}, x_2=4-\sqrt{3}.$ ⑤
小聪的解法是从步骤
②
开始出现错误的.（填序号）答案
2. ②
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的正误判断，解题思路为：先回忆配方法的正确操作流程，再逐步骤核对小聪的解题过程。配方法的核心是：移项后，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式仍然成立，据此即可找到出错的步骤。
【解析】
我们按照配方法的正确步骤逐一核对：
1. 步骤①：将常数项移到等号右侧，得到$x^2 -8x=3$，操作正确；
2. 步骤②：要将左边配成完全平方式，需要给左边加上一次项系数一半的平方（一次项系数为-8，一半的平方为$4^2=16$），根据等式的基本性质，等号右侧也要同时加16，正确的式子应为$x^2 -2·x·4 +4^2=3+16$，但小聪仅在左侧加了$4^2$，右侧没有加，因此步骤②开始出错。
【答案】
②
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法解方程的基础易错题，易错点是配方时忽略等式两边需要同时加相同的数，牢记配方法的操作规则即可轻松答对。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的正误判断，解题思路为：先回忆配方法的正确操作流程，再逐步骤核对小聪的解题过程。配方法的核心是：移项后，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式仍然成立，据此即可找到出错的步骤。
【解析】
我们按照配方法的正确步骤逐一核对：
1. 步骤①：将常数项移到等号右侧，得到$x^2 -8x=3$，操作正确；
2. 步骤②：要将左边配成完全平方式，需要给左边加上一次项系数一半的平方（一次项系数为-8，一半的平方为$4^2=16$），根据等式的基本性质，等号右侧也要同时加16，正确的式子应为$x^2 -2·x·4 +4^2=3+16$，但小聪仅在左侧加了$4^2$，右侧没有加，因此步骤②开始出错。
【答案】
②
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法解方程的基础易错题，易错点是配方时忽略等式两边需要同时加相同的数，牢记配方法的操作规则即可轻松答对。
【难度系数】
0.8
3. 在空格中填上适当的数或式：
(1) $x^2 -6x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；(3) $x^2 + \_\_\_\_\_\_ +9 = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $x^2 +7x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；(4) $x^2 - \_\_\_\_\_\_ + \frac{25}{16} = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
(1) $x^2 -6x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；(3) $x^2 + \_\_\_\_\_\_ +9 = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $x^2 +7x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；(4) $x^2 - \_\_\_\_\_\_ + \frac{25}{16} = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
3. (1) 9,3 (2) $\frac{49}{4}$,$\frac{7}{2}$ (3) $6x$,3 (4) $\frac{5}{2}x$,$\frac{5}{4}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即二次三项式需满足“首平方、尾平方，首尾2倍在中央，符号与前一个一致”。本题中所有式子的二次项均为$x^2$，对应公式里的$a^2$，因此分两种情况推导未知项：①若已知一次项，常数项为一次项系数一半的平方，括号内的常数为一次项系数的一半，注意符号与一次项一致；②若已知常数项，一次项为常数项算术平方根与$x$乘积的2倍，括号内的常数为常数项的算术平方根，符号与一次项一致。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，本题中$a=x$，逐个计算如下：
(1) 一次项为$-6x$，即$-2bx=-6x$，解得$b=3$，则常数项为$b^2=3^2=9$，故依次填9、3；
(2) 一次项为$+7x$，即$2bx=7x$，解得$b=\frac{7}{2}$，则常数项为$b^2=(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，故依次填$\frac{49}{4}$、$\frac{7}{2}$；
(3) 常数项为$9$，即$b^2=9$，结合右边括号为加号得$b=3$，则一次项为$2bx=2×3· x=6x$，故依次填$6x$、3；
(4) 常数项为$\frac{25}{16}$，即$b^2=\frac{25}{16}$，结合右边括号为减号得$b=\frac{5}{4}$，则一次项为$2bx=2×\frac{5}{4}· x=\frac{5}{2}x$，故依次填$\frac{5}{2}x$、$\frac{5}{4}$。
【答案】
(1) $9$，$3$；(2) $\frac{49}{4}$，$\frac{7}{2}$；(3) $6x$，$3$；(4) $\frac{5}{2}x$，$\frac{5}{4}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是整式变形的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的掌握，做题时需注意各项的符号和系数对应关系，熟练后可快速完成配方运算，为后续解一元二次方程等内容打好基础。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即二次三项式需满足“首平方、尾平方，首尾2倍在中央，符号与前一个一致”。本题中所有式子的二次项均为$x^2$，对应公式里的$a^2$，因此分两种情况推导未知项：①若已知一次项，常数项为一次项系数一半的平方，括号内的常数为一次项系数的一半，注意符号与一次项一致；②若已知常数项，一次项为常数项算术平方根与$x$乘积的2倍，括号内的常数为常数项的算术平方根，符号与一次项一致。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，本题中$a=x$，逐个计算如下：
(1) 一次项为$-6x$，即$-2bx=-6x$，解得$b=3$，则常数项为$b^2=3^2=9$，故依次填9、3；
(2) 一次项为$+7x$，即$2bx=7x$，解得$b=\frac{7}{2}$，则常数项为$b^2=(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，故依次填$\frac{49}{4}$、$\frac{7}{2}$；
(3) 常数项为$9$，即$b^2=9$，结合右边括号为加号得$b=3$，则一次项为$2bx=2×3· x=6x$，故依次填$6x$、3；
(4) 常数项为$\frac{25}{16}$，即$b^2=\frac{25}{16}$，结合右边括号为减号得$b=\frac{5}{4}$，则一次项为$2bx=2×\frac{5}{4}· x=\frac{5}{2}x$，故依次填$\frac{5}{2}x$、$\frac{5}{4}$。
【答案】
(1) $9$，$3$；(2) $\frac{49}{4}$，$\frac{7}{2}$；(3) $6x$，$3$；(4) $\frac{5}{2}x$，$\frac{5}{4}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是整式变形的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的掌握，做题时需注意各项的符号和系数对应关系，熟练后可快速完成配方运算，为后续解一元二次方程等内容打好基础。
【难度系数】
0.8
4. 将一元二次方程$x^2 - 4x + 1 = 0$化为$(x - a)^2 = b$的形式，则$a - b$的值为
-1
。答案
4. -1
解析
【分析】
本题需要用配方法将给定的一元二次方程转化为指定的完全平方形式，再计算a-b的值。解题思路如下：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，第三步对比目标形式确定a、b的取值，最后代入计算a-b即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 4x + 1 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 4x = -1$
2. 一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，给等号两边同时加4：
$x^2 - 4x + 4 = -1 + 4$
3. 左侧整理为完全平方形式：$(x-2)^2=3$
对比$(x - a)^2 = b$的形式，可得$a=2$，$b=3$，因此$a-b=2-3=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
配方法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意配方时需给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加或仅给单侧加的错误。
【难度系数】
0.8
本题需要用配方法将给定的一元二次方程转化为指定的完全平方形式，再计算a-b的值。解题思路如下：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，第三步对比目标形式确定a、b的取值，最后代入计算a-b即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 4x + 1 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 4x = -1$
2. 一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，给等号两边同时加4：
$x^2 - 4x + 4 = -1 + 4$
3. 左侧整理为完全平方形式：$(x-2)^2=3$
对比$(x - a)^2 = b$的形式，可得$a=2$，$b=3$，因此$a-b=2-3=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
配方法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意配方时需给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，避免出现漏加或仅给单侧加的错误。
【难度系数】
0.8
5. 用配方法解方程$x^2 -6x=16$，应在方程两边同时加上 （
A.6
B.9
C.16
D.36
B
）A.6
B.9
C.16
D.36
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的核心规则：当二次项系数为1时，需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，这样方程左边就能构成完全平方式，方便后续求解。本题方程已经整理为“二次项+一次项=常数项”的形式，且二次项系数是1，直接按照规则计算需要添加的数即可。
【解析】
已知方程为$x^2 -6x=16$，二次项系数为1，一次项系数为$-6$。
第一步：计算一次项系数一半的值：$\frac{-6}{2}=-3$；
第二步：计算该值的平方：$(-3)^2=9$；
因此需要在方程两边同时加上9，此时左边可化为完全平方式$(x-3)^2$，符合配方法的要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握二次项系数为1时的配方规则，熟练记忆配方时添加的常数的计算方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的核心规则：当二次项系数为1时，需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，这样方程左边就能构成完全平方式，方便后续求解。本题方程已经整理为“二次项+一次项=常数项”的形式，且二次项系数是1，直接按照规则计算需要添加的数即可。
【解析】
已知方程为$x^2 -6x=16$，二次项系数为1，一次项系数为$-6$。
第一步：计算一次项系数一半的值：$\frac{-6}{2}=-3$；
第二步：计算该值的平方：$(-3)^2=9$；
因此需要在方程两边同时加上9，此时左边可化为完全平方式$(x-3)^2$，符合配方法的要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握二次项系数为1时的配方规则，熟练记忆配方时添加的常数的计算方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
6. 一元二次方程$x^2 - 3x - \frac{7}{4}=0$配方后可化为（
A.$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{7}{4}$
B.$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{7}{4}$
C.$(x+\frac{3}{2})^2=4$
D.$(x-\frac{3}{2})^2=4$
D
）A.$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{7}{4}$
B.$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{7}{4}$
C.$(x+\frac{3}{2})^2=4$
D.$(x-\frac{3}{2})^2=4$
答案
6. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的配方法变形，解题思路如下：首先回忆配方法的步骤，对于二次项系数为1的一元二次方程，第一步先将常数项移到等号右侧；第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第三步将左侧整理为完全平方的形式，右侧合并常数项即可得到配方后的结果，再对比选项选出答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 3x - \frac{7}{4}=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 3x = \frac{7}{4}$
2. 配方：一次项系数为$-3$，其一半的平方为$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，在等号两边同时加上$\frac{9}{4}$，得：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{7}{4} + \frac{9}{4}$
3. 整理：左侧可写成完全平方形式，右侧合并常数项，得：
$(x - \frac{3}{2})^2 = 4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法
2. 完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，解题时要注意移项要变号，配方时等式左右两边需同时加相同的常数，避免只给左边加项漏加右边的错误，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的配方法变形，解题思路如下：首先回忆配方法的步骤，对于二次项系数为1的一元二次方程，第一步先将常数项移到等号右侧；第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第三步将左侧整理为完全平方的形式，右侧合并常数项即可得到配方后的结果，再对比选项选出答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 3x - \frac{7}{4}=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 3x = \frac{7}{4}$
2. 配方：一次项系数为$-3$，其一半的平方为$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，在等号两边同时加上$\frac{9}{4}$，得：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{7}{4} + \frac{9}{4}$
3. 整理：左侧可写成完全平方形式，右侧合并常数项，得：
$(x - \frac{3}{2})^2 = 4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法
2. 完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，解题时要注意移项要变号，配方时等式左右两边需同时加相同的常数，避免只给左边加项漏加右边的错误，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 将一元二次方程$x^2 + 2\sqrt{3}x +1=0$的左边配方成完全平方之后，右边的常数应该是（
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.3
C
）A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.3
答案
7. C
解析
【分析】
要解决这道题，需回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，此时左边可化为完全平方式，右侧合并后的结果就是所求的常数。按照这个流程逐步计算即可得到答案。
【解析】
对一元二次方程$x^2 + 2\sqrt{3}x +1=0$进行配方：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 + 2\sqrt{3}x = -1$
2. 配方：一次项系数为$2\sqrt{3}$，它的一半是$\sqrt{3}$，平方为$(\sqrt{3})^2=3$，方程左右两边同时加3，得
$x^2 + 2\sqrt{3}x +3 = -1 +3$
左边整理为完全平方式：$(x+\sqrt{3})^2 = 2$
因此配方后右边的常数为2。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作流程，解题时注意二次项系数为1时，添加的常数项是一次项系数一半的平方，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，此时左边可化为完全平方式，右侧合并后的结果就是所求的常数。按照这个流程逐步计算即可得到答案。
【解析】
对一元二次方程$x^2 + 2\sqrt{3}x +1=0$进行配方：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 + 2\sqrt{3}x = -1$
2. 配方：一次项系数为$2\sqrt{3}$，它的一半是$\sqrt{3}$，平方为$(\sqrt{3})^2=3$，方程左右两边同时加3，得
$x^2 + 2\sqrt{3}x +3 = -1 +3$
左边整理为完全平方式：$(x+\sqrt{3})^2 = 2$
因此配方后右边的常数为2。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作流程，解题时注意二次项系数为1时，添加的常数项是一次项系数一半的平方，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
8. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 8x + a = 0 $ 配方后得到方程 $ (x + 4)^2 = a $，则 $ a $ 的值为（
A.2
B.4
C.6
D.8
D
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
8. D
解析
【分析】
本题考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤，先将原方程的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，得到配方后的通用形式；再将其与题干给出的配方后方程对照，即可得到关于a的一元一次方程，求解就能得到a的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 8x + a = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 + 8x = -a$
2. 配方：一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，给方程左右两边同时加16，得：
$x^2 + 8x + 16 = -a + 16$
3. 将左侧化为完全平方式，得：$(x+4)^2 = 16 - a$
4. 由题可知配方后方程为$(x+4)^2 = a$，因此可得等式：
$16 - a = a$
5. 解上述一元一次方程：移项得$2a=16$，解得$a=8$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，注意配方时方程左右两边要同时加相同的数，保证等式成立，再结合题意列方程求解即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤，先将原方程的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，得到配方后的通用形式；再将其与题干给出的配方后方程对照，即可得到关于a的一元一次方程，求解就能得到a的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 8x + a = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 + 8x = -a$
2. 配方：一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，给方程左右两边同时加16，得：
$x^2 + 8x + 16 = -a + 16$
3. 将左侧化为完全平方式，得：$(x+4)^2 = 16 - a$
4. 由题可知配方后方程为$(x+4)^2 = a$，因此可得等式：
$16 - a = a$
5. 解上述一元一次方程：移项得$2a=16$，解得$a=8$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，注意配方时方程左右两边要同时加相同的数，保证等式成立，再结合题意列方程求解即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
9.若$x^2 +6$与$4x -3$互为相反数，则$x$的值为
-3或-1
.答案
9. -3或-1
解析
【分析】
首先根据相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，可列出关于x的方程，将方程整理为一元二次方程的标准形式后，选择因式分解法求解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵ $x^2 +6$ 与 $4x -3$ 互为相反数
∴ $(x^2 +6)+(4x -3)=0$
整理得：$x^2 +4x +3 = 0$
因式分解得：$(x+1)(x+3)=0$
∴ $x+1=0$ 或 $x+3=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-3$
【答案】
-3或-1
【知识点】
相反数的性质；一元二次方程的解法；因式分解的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握相反数的性质，能根据题意正确列出一元二次方程，再灵活选择解法求解即可，计算量较小。
【难度系数】
0.8
首先根据相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，可列出关于x的方程，将方程整理为一元二次方程的标准形式后，选择因式分解法求解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵ $x^2 +6$ 与 $4x -3$ 互为相反数
∴ $(x^2 +6)+(4x -3)=0$
整理得：$x^2 +4x +3 = 0$
因式分解得：$(x+1)(x+3)=0$
∴ $x+1=0$ 或 $x+3=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-3$
【答案】
-3或-1
【知识点】
相反数的性质；一元二次方程的解法；因式分解的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握相反数的性质，能根据题意正确列出一元二次方程，再灵活选择解法求解即可，计算量较小。
【难度系数】
0.8
10. 对一元二次方程$x^2 -6x + m =0$配方，得$(x -n)^2 =10$，则$m +n =$
2
答案
10. 2
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用配方法的规则对原一元二次方程进行配方，再将得到的配方结果和题目给出的$(x-n)^2=10$做对比，对应系数相等即可分别求出$n$和$m$的值，最后计算$m+n$的结果即可。配方法的核心是将方程左边凑成完全平方式，步骤为：先移项把常数项移到等号右侧，再给左右两边同时加上一次项系数一半的平方。
【解析】
对一元二次方程$x^2 -6x + m =0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 6x = -m$
2. 配方：一次项系数为$-6$，它的一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给等式左右两边同时加9：
$x^2 -6x +9 = -m +9$
左边可写成完全平方式，即：$(x-3)^2 = 9 - m$
已知题中给出配方结果为$(x-n)^2=10$，对比两个配方后的式子可得：
$n=3$，$9 - m =10$
解$9 - m =10$得$m=9-10=-1$
因此$m + n = -1 + 3 = 2$
【答案】
2
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，重点考查对配方法步骤的掌握程度，通过对应系数相等求参数，只要熟练掌握配方法的操作规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以利用配方法的规则对原一元二次方程进行配方，再将得到的配方结果和题目给出的$(x-n)^2=10$做对比，对应系数相等即可分别求出$n$和$m$的值，最后计算$m+n$的结果即可。配方法的核心是将方程左边凑成完全平方式，步骤为：先移项把常数项移到等号右侧，再给左右两边同时加上一次项系数一半的平方。
【解析】
对一元二次方程$x^2 -6x + m =0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 6x = -m$
2. 配方：一次项系数为$-6$，它的一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给等式左右两边同时加9：
$x^2 -6x +9 = -m +9$
左边可写成完全平方式，即：$(x-3)^2 = 9 - m$
已知题中给出配方结果为$(x-n)^2=10$，对比两个配方后的式子可得：
$n=3$，$9 - m =10$
解$9 - m =10$得$m=9-10=-1$
因此$m + n = -1 + 3 = 2$
【答案】
2
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，重点考查对配方法步骤的掌握程度，通过对应系数相等求参数，只要熟练掌握配方法的操作规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
11. 若关于$x$的一元二次方程$(x - a)^2 - 7 = 0$有两个正实数根，则整数$a$的最小值是
3
。答案
11. 3
解析
【分析】
解题时先利用直接开平方法求出一元二次方程的两个根，再结合两个根都是正实数的条件，可知较小的根也必须大于0，据此列出关于a的不等式，解出a的取值范围后，估算√7的大小，即可找到满足条件的最小整数a。
【解析】
首先对方程进行变形求解：
移项得：$(x - a)^2 = 7$
直接开平方得：$x - a = ±\sqrt{7}$
因此方程的两个根为：$x_1 = a + \sqrt{7}$，$x_2 = a - \sqrt{7}$
显然$x_2 ＜ x_1$，要使两个根都是正实数，只需较小的根$x_2 ＞ 0$，即：
$a - \sqrt{7} ＞ 0$
解得$a ＞ \sqrt{7}$
因为$\sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，所以大于$\sqrt{7}$的最小整数是3。
【答案】
3
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程 2.无理数的估算 3.不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先求出方程的根，再根据根的正负性建立不等式，结合无理数的估算得到整数解，熟练掌握一元二次方程的解法是做对本题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时先利用直接开平方法求出一元二次方程的两个根，再结合两个根都是正实数的条件，可知较小的根也必须大于0，据此列出关于a的不等式，解出a的取值范围后，估算√7的大小，即可找到满足条件的最小整数a。
【解析】
首先对方程进行变形求解：
移项得：$(x - a)^2 = 7$
直接开平方得：$x - a = ±\sqrt{7}$
因此方程的两个根为：$x_1 = a + \sqrt{7}$，$x_2 = a - \sqrt{7}$
显然$x_2 ＜ x_1$，要使两个根都是正实数，只需较小的根$x_2 ＞ 0$，即：
$a - \sqrt{7} ＞ 0$
解得$a ＞ \sqrt{7}$
因为$\sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，所以大于$\sqrt{7}$的最小整数是3。
【答案】
3
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程 2.无理数的估算 3.不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先求出方程的根，再根据根的正负性建立不等式，结合无理数的估算得到整数解，熟练掌握一元二次方程的解法是做对本题的前提。
【难度系数】
0.7
12. 若一元二次方程$x^2 - 4100625 = 0$的两根为$x_1 = 2025$，$x_2 = -2025$，则$x^2 - 4x - 4100621 = 0$的两根为
$x_1=2027,x_2=-2023$
。答案
12. $x_1=2027,x_2=-2023$
解析
【分析】
观察两个方程的常数项特征，可通过配方法将待求解的方程转化为与已知解的方程结构一致的形式。首先对待求方程移项，将常数项移到等号右侧，再对左侧含x的项配方，右侧相加后的常数恰好是已知方程的常数项，结合已知方程的解即可快速求出待求方程的两根，避免直接计算大数开方。
【解析】
解：对$x^2 - 4x - 4100621 = 0$移项，得：
$x^2 - 4x = 4100621$
配方，等号两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = 4100621 + 4$
整理得：$(x-2)^2 = 4100625$
由题可知$x^2=4100625$的两根为$\pm2025$，因此：
$x-2=2025$ 或 $x-2=-2025$
分别求解得：
$x_1=2025+2=2027$，$x_2=-2025+2=-2023$
【答案】
$x_1=2027,x_2=-2023$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题侧重考查一元二次方程解法的灵活运用，核心是利用转化思想，将陌生方程转化为已知解的方程形式，简化了大数开方的计算过程，能有效考查学生的观察能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
观察两个方程的常数项特征，可通过配方法将待求解的方程转化为与已知解的方程结构一致的形式。首先对待求方程移项，将常数项移到等号右侧，再对左侧含x的项配方，右侧相加后的常数恰好是已知方程的常数项，结合已知方程的解即可快速求出待求方程的两根，避免直接计算大数开方。
【解析】
解：对$x^2 - 4x - 4100621 = 0$移项，得：
$x^2 - 4x = 4100621$
配方，等号两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = 4100621 + 4$
整理得：$(x-2)^2 = 4100625$
由题可知$x^2=4100625$的两根为$\pm2025$，因此：
$x-2=2025$ 或 $x-2=-2025$
分别求解得：
$x_1=2025+2=2027$，$x_2=-2025+2=-2023$
【答案】
$x_1=2027,x_2=-2023$
【知识点】
配方法解一元二次方程；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题侧重考查一元二次方程解法的灵活运用，核心是利用转化思想，将陌生方程转化为已知解的方程形式，简化了大数开方的计算过程，能有效考查学生的观察能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
