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12. 已知多项式 $ A=(x-2)^2 + (1+x)(2-x) - 3(m+2) $。
（1）化简多项式 $ A $；
（2）若 $ (x+m)^2 = 8 $，求 $ A $ 的值。
（1）化简多项式 $ A $；
（2）若 $ (x+m)^2 = 8 $，求 $ A $ 的值。
答案
12. (1) $A=-3x-3m$ (2) $A=\pm6\sqrt{2}$
解析
【分析】
（1）化简多项式A时，先利用完全平方公式展开$(x-2)^2$，再用多项式乘多项式法则计算$(1+x)(2-x)$，之后去括号，合并同类项即可得到最简结果；（2）先将第（1）问得到的A的最简式提取公因式，变形为含有$(x+m)$的形式，再根据已知的$(x+m)^2=8$求出$x+m$的取值，整体代入计算即可得到A的值。
【解析】
（1）化简多项式A：
$\begin{aligned}A&=(x-2)^2 + (1+x)(2-x) - 3(m+2)\\&=x^2 -4x +4 + (2 -x +2x -x^2) -3m -6\\&=x^2 -4x +4 + 2 +x -x^2 -3m -6\\&=(x^2 -x^2) + (-4x +x) + (4+2-6) -3m\\&=-3x -3m\end{aligned}$
（2）求A的值：
由（1）得$A=-3x-3m=-3(x+m)$，
$\because (x+m)^2=8$，
$\therefore x+m=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$，
当$x+m=2\sqrt{2}$时，$A=-3×2\sqrt{2}=-6\sqrt{2}$；
当$x+m=-2\sqrt{2}$时，$A=-3×(-2\sqrt{2})=6\sqrt{2}$；
综上，$A=\pm6\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $A=-3x-3m$；(2) $A=\pm6\sqrt{2}$
【知识点】
整式的化简，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于代数基础运算题，既考查了整式乘法、合并同类项等基础运算能力，也考查了整体代入的数学思想，第二问需注意开平方后有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）化简多项式A时，先利用完全平方公式展开$(x-2)^2$，再用多项式乘多项式法则计算$(1+x)(2-x)$，之后去括号，合并同类项即可得到最简结果；（2）先将第（1）问得到的A的最简式提取公因式，变形为含有$(x+m)$的形式，再根据已知的$(x+m)^2=8$求出$x+m$的取值，整体代入计算即可得到A的值。
【解析】
（1）化简多项式A：
$\begin{aligned}A&=(x-2)^2 + (1+x)(2-x) - 3(m+2)\\&=x^2 -4x +4 + (2 -x +2x -x^2) -3m -6\\&=x^2 -4x +4 + 2 +x -x^2 -3m -6\\&=(x^2 -x^2) + (-4x +x) + (4+2-6) -3m\\&=-3x -3m\end{aligned}$
（2）求A的值：
由（1）得$A=-3x-3m=-3(x+m)$，
$\because (x+m)^2=8$，
$\therefore x+m=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$，
当$x+m=2\sqrt{2}$时，$A=-3×2\sqrt{2}=-6\sqrt{2}$；
当$x+m=-2\sqrt{2}$时，$A=-3×(-2\sqrt{2})=6\sqrt{2}$；
综上，$A=\pm6\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $A=-3x-3m$；(2) $A=\pm6\sqrt{2}$
【知识点】
整式的化简，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于代数基础运算题，既考查了整式乘法、合并同类项等基础运算能力，也考查了整体代入的数学思想，第二问需注意开平方后有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. 解关于$x$的方程：$7 - bx^2 = x^2 + 6(b ≠ -1).$
答案
13. $7 - bx^2 = x^2 + 6$，移项，得$x^2 + bx^2 =1$，$(1+b)x^2=1$，$\because b≠-1$，$\therefore b+1≠0$，$\therefore x^2=\frac{1}{1+b}$，当$b＞-1$时，$x=\pm\frac{\sqrt{1+b}}{1+b}$；当$b＜-1$时，无解
解析
【分析】
这是一道含参数$b$的一元二次方程求解问题，解题思路如下：第一步先通过移项、合并同类项把方程整理为“系数$× x^2=$常数”的形式；第二步结合题目给出的$b≠-1$的条件，确定$x^2$的系数不为0，可将$x^2$的系数化为1；第三步结合平方根的性质（只有非负数才有实数平方根），分情况讨论$1+b$的正负，判断方程是否有实数解，有解时求出对应的$x$的值即可。
【解析】
解：对$7 - bx^2 = x^2 + 6$移项，得：
$x^2 + bx^2 = 7 - 6$
合并同类项，得：
$(1+b)x^2=1$
$\because b≠-1$，$\therefore 1+b≠0$
方程两边同时除以$1+b$，得：
$x^2=\frac{1}{1+b}$
当$1+b＞0$，即$b＞-1$时，根据平方根的定义化简得：$x=\pm\sqrt{\frac{1}{1+b}}=\pm\frac{\sqrt{1+b}}{1+b}$；
当$1+b＜0$，即$b＜-1$时，$\frac{1}{1+b}＜0$，负数没有实数平方根，此时方程无实数解。
【答案】
当$b＞-1$时，$x=\pm\frac{\sqrt{1+b}}{1+b}$；当$b＜-1$时，无解
【知识点】
一元二次方程解法，平方根的性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查含参数的一元二次方程的求解，解题时要注意利用已知的参数限制条件，同时结合平方根的取值要求对参数的取值范围分类讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
这是一道含参数$b$的一元二次方程求解问题，解题思路如下：第一步先通过移项、合并同类项把方程整理为“系数$× x^2=$常数”的形式；第二步结合题目给出的$b≠-1$的条件，确定$x^2$的系数不为0，可将$x^2$的系数化为1；第三步结合平方根的性质（只有非负数才有实数平方根），分情况讨论$1+b$的正负，判断方程是否有实数解，有解时求出对应的$x$的值即可。
【解析】
解：对$7 - bx^2 = x^2 + 6$移项，得：
$x^2 + bx^2 = 7 - 6$
合并同类项，得：
$(1+b)x^2=1$
$\because b≠-1$，$\therefore 1+b≠0$
方程两边同时除以$1+b$，得：
$x^2=\frac{1}{1+b}$
当$1+b＞0$，即$b＞-1$时，根据平方根的定义化简得：$x=\pm\sqrt{\frac{1}{1+b}}=\pm\frac{\sqrt{1+b}}{1+b}$；
当$1+b＜0$，即$b＜-1$时，$\frac{1}{1+b}＜0$，负数没有实数平方根，此时方程无实数解。
【答案】
当$b＞-1$时，$x=\pm\frac{\sqrt{1+b}}{1+b}$；当$b＜-1$时，无解
【知识点】
一元二次方程解法，平方根的性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查含参数的一元二次方程的求解，解题时要注意利用已知的参数限制条件，同时结合平方根的取值要求对参数的取值范围分类讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
14. 某程序员在计算机上设置了如下程序：将二次多项式$A$的二次项系数乘2作为一次多项式$B$的一次项系数，将二次多项式$A$的一次项系数作为一次多项式$B$的常数项，从而得到一次多项式. 例如，$A=3x^2 -4x +5$，$A$经过程序处理得到$B=(2×3)x -4=6x -4$. 关于$x$的二次多项式$A$经过程序处理得到关于$x$的一次多项式$B$. 已知$A=-2x^2 +4x -k$.
(1) 若$A + kB$的结果中不含$x$的一次项，求关于$x$的方程$A + kB =0$的解.
(2) 是否存在$k$，使得$k^2A + B^2$的值为定值？若存在，请求出$k$的值及定值；若不存在，请说明理由.
(1) 若$A + kB$的结果中不含$x$的一次项，求关于$x$的方程$A + kB =0$的解.
(2) 是否存在$k$，使得$k^2A + B^2$的值为定值？若存在，请求出$k$的值及定值；若不存在，请说明理由.
答案
14. (1) $x_1=\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ (2) $k=\pm2\sqrt{2}$，当$k=2\sqrt{2}$时，定值为$16-16\sqrt{2}$；当$k=-2\sqrt{2}$时，定值为$16+16\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先根据题目给出的程序规则，由已知二次多项式A求出对应的一次多项式B。第(1)问：先计算A+kB的代数式，合并同类项后，根据“不含x的一次项”即一次项系数为0求出k的值，再将k代入方程A+kB=0，用直接开平方法求解即可。第(2)问：先展开k²A和B²，合并同类项后，若代数式的值为定值，则含x的二次项、一次项系数均为0，据此列方程求出k的值，再代入计算对应的定值即可。
【解析】
根据题意，由$A=-2x^2 +4x -k$，可得一次多项式$B=2×(-2)x +4=-4x+4$。
(1) 计算$A + kB$：
$\begin{aligned}A + kB&=(-2x^2 +4x -k)+k(-4x +4)\\&=-2x^2 +4x -k -4kx +4k\\&=-2x^2 +(4-4k)x +3k\end{aligned}$
∵ 结果中不含x的一次项，
∴ 一次项系数$4-4k=0$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$A + kB=0$，得：
$-2x^2 +3=0$，即$x^2=\frac{3}{2}$，
解得$x_1=\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
(2) 存在，理由如下：
计算$k^2A + B^2$：
$\begin{aligned}k^2A + B^2&=k^2(-2x^2 +4x -k)+(-4x +4)^2\\&=-2k^2x^2 +4k^2x -k^3 +16x^2 -32x +16\\&=(-2k^2 +16)x^2 +(4k^2 -32)x +(-k^3 +16)\end{aligned}$
若代数式的值为定值，则含x的项的系数均为0：
令$-2k^2 +16=0$，解得$k^2=8$，即$k=\pm2\sqrt{2}$。
此时$4k^2 -32=4×8 -32=0$，满足x的一次项系数为0。
① 当$k=2\sqrt{2}$时，定值为$-k^3 +16=-(2\sqrt{2})^3 +16=16-16\sqrt{2}$；
② 当$k=-2\sqrt{2}$时，定值为$-k^3 +16=-(-2\sqrt{2})^3 +16=16+16\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ (2) 存在，$k=\pm2\sqrt{2}$，当$k=2\sqrt{2}$时，定值为$16-16\sqrt{2}$；当$k=-2\sqrt{2}$时，定值为$16+16\sqrt{2}$
【知识点】
整式的运算，一元二次方程的解法，代数式定值判定
【点评】
本题结合新定义规则，考查整式运算、一元二次方程求解及定值问题的处理，解题关键是准确理解新定义得到B的表达式，再根据题目条件列方程求解，注意k的取值需分类讨论。
【难度系数】
0.6
首先根据题目给出的程序规则，由已知二次多项式A求出对应的一次多项式B。第(1)问：先计算A+kB的代数式，合并同类项后，根据“不含x的一次项”即一次项系数为0求出k的值，再将k代入方程A+kB=0，用直接开平方法求解即可。第(2)问：先展开k²A和B²，合并同类项后，若代数式的值为定值，则含x的二次项、一次项系数均为0，据此列方程求出k的值，再代入计算对应的定值即可。
【解析】
根据题意，由$A=-2x^2 +4x -k$，可得一次多项式$B=2×(-2)x +4=-4x+4$。
(1) 计算$A + kB$：
$\begin{aligned}A + kB&=(-2x^2 +4x -k)+k(-4x +4)\\&=-2x^2 +4x -k -4kx +4k\\&=-2x^2 +(4-4k)x +3k\end{aligned}$
∵ 结果中不含x的一次项，
∴ 一次项系数$4-4k=0$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$A + kB=0$，得：
$-2x^2 +3=0$，即$x^2=\frac{3}{2}$，
解得$x_1=\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
(2) 存在，理由如下：
计算$k^2A + B^2$：
$\begin{aligned}k^2A + B^2&=k^2(-2x^2 +4x -k)+(-4x +4)^2\\&=-2k^2x^2 +4k^2x -k^3 +16x^2 -32x +16\\&=(-2k^2 +16)x^2 +(4k^2 -32)x +(-k^3 +16)\end{aligned}$
若代数式的值为定值，则含x的项的系数均为0：
令$-2k^2 +16=0$，解得$k^2=8$，即$k=\pm2\sqrt{2}$。
此时$4k^2 -32=4×8 -32=0$，满足x的一次项系数为0。
① 当$k=2\sqrt{2}$时，定值为$-k^3 +16=-(2\sqrt{2})^3 +16=16-16\sqrt{2}$；
② 当$k=-2\sqrt{2}$时，定值为$-k^3 +16=-(-2\sqrt{2})^3 +16=16+16\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ (2) 存在，$k=\pm2\sqrt{2}$，当$k=2\sqrt{2}$时，定值为$16-16\sqrt{2}$；当$k=-2\sqrt{2}$时，定值为$16+16\sqrt{2}$
【知识点】
整式的运算，一元二次方程的解法，代数式定值判定
【点评】
本题结合新定义规则，考查整式运算、一元二次方程求解及定值问题的处理，解题关键是准确理解新定义得到B的表达式，再根据题目条件列方程求解，注意k的取值需分类讨论。
【难度系数】
0.6
