登录
17. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$.
（1）求证：不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）若$△ ABC$的两边$AB$，$AC$的长是这个方程的两个实数根，第三边$BC$的长为5，当$△ ABC$是等腰三角形时，求三角形的周长.
（1）求证：不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）若$△ ABC$的两边$AB$，$AC$的长是这个方程的两个实数根，第三边$BC$的长为5，当$△ ABC$是等腰三角形时，求三角形的周长.
答案
（1）证明：
在一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$中，
判别式$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2+k)$
$=4k^2+4k+1 -4k^2 -4k$
$=1$
$\because \Delta=1＞0$，
$\therefore$ 不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
---
（2）解：
由（1）可知，方程总有两个不相等的实数根，
又$\because △ ABC$是等腰三角形，第三边$BC=5$，
$\therefore$ 腰长必为5，即$x=5$是方程的其中一个实数根。
将$x=5$代入方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，得：
$25 -5(2k+1) +k^2 +k =0$
整理得：$k^2 -9k +20=0$
解得：$k_1=4$，$k_2=5$。
当$k=4$时，原方程为$x^2-9x+20=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=5$，
此时三角形三边长为$5,5,4$，满足三角形三边关系，周长为$5+5+4=14$。
当$k=5$时，原方程为$x^2-11x+30=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=6$，
此时三角形三边长为$5,5,6$，满足三角形三边关系，周长为$5+5+6=16$。
综上，$△ ABC$的周长为$\boldsymbol{14}$或$\boldsymbol{16}$。
在一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$中，
判别式$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2+k)$
$=4k^2+4k+1 -4k^2 -4k$
$=1$
$\because \Delta=1＞0$，
$\therefore$ 不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
---
（2）解：
由（1）可知，方程总有两个不相等的实数根，
又$\because △ ABC$是等腰三角形，第三边$BC=5$，
$\therefore$ 腰长必为5，即$x=5$是方程的其中一个实数根。
将$x=5$代入方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，得：
$25 -5(2k+1) +k^2 +k =0$
整理得：$k^2 -9k +20=0$
解得：$k_1=4$，$k_2=5$。
当$k=4$时，原方程为$x^2-9x+20=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=5$，
此时三角形三边长为$5,5,4$，满足三角形三边关系，周长为$5+5+4=14$。
当$k=5$时，原方程为$x^2-11x+30=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=6$，
此时三角形三边长为$5,5,6$，满足三角形三边关系，周长为$5+5+6=16$。
综上，$△ ABC$的周长为$\boldsymbol{14}$或$\boldsymbol{16}$。
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是计算判别式Δ，根据判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，因此只需代入方程的系数化简Δ，判断其是否恒大于0即可。
（2）由（1）可知方程的两个根不相等，而△ABC是等腰三角形，第三边BC长为5，因此AB、AC两边中必有一边长为5（即x=5是方程的根），先将x=5代入方程求出k的取值，再将k代回方程求出另一根，最后验证三边长是否满足三角形三边关系，再计算对应周长即可。
【解析】
（1）证明：
在一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$中，
判别式$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2+k)$
$=4k^2+4k+1 -4k^2 -4k$
$=1$
$\because \Delta=1＞0$，
$\therefore$ 不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：
由（1）可知，方程总有两个不相等的实数根，
又$\because △ ABC$是等腰三角形，第三边$BC=5$，
$\therefore$ 腰长必为5，即$x=5$是方程的其中一个实数根。
将$x=5$代入方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，得：
$25 -5(2k+1) +k^2 +k =0$
整理得：$k^2 -9k +20=0$
解得：$k_1=4$，$k_2=5$。
当$k=4$时，原方程为$x^2-9x+20=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=5$，
此时三角形三边长为$5,5,4$，满足三角形三边关系，周长为$5+5+4=14$。
当$k=5$时，原方程为$x^2-11x+30=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=6$，
此时三角形三边长为$5,5,6$，满足三角形三边关系，周长为$5+5+6=16$。
综上，$△ ABC$的周长为14或16。
【答案】
（1）不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）$\boldsymbol{14}$或$\boldsymbol{16}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，将一元二次方程的知识点和等腰三角形的性质相结合，考查了分类讨论的数学思想，解题时需注意验证三角形三边的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是计算判别式Δ，根据判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，因此只需代入方程的系数化简Δ，判断其是否恒大于0即可。
（2）由（1）可知方程的两个根不相等，而△ABC是等腰三角形，第三边BC长为5，因此AB、AC两边中必有一边长为5（即x=5是方程的根），先将x=5代入方程求出k的取值，再将k代回方程求出另一根，最后验证三边长是否满足三角形三边关系，再计算对应周长即可。
【解析】
（1）证明：
在一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$中，
判别式$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2+k)$
$=4k^2+4k+1 -4k^2 -4k$
$=1$
$\because \Delta=1＞0$，
$\therefore$ 不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：
由（1）可知，方程总有两个不相等的实数根，
又$\because △ ABC$是等腰三角形，第三边$BC=5$，
$\therefore$ 腰长必为5，即$x=5$是方程的其中一个实数根。
将$x=5$代入方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，得：
$25 -5(2k+1) +k^2 +k =0$
整理得：$k^2 -9k +20=0$
解得：$k_1=4$，$k_2=5$。
当$k=4$时，原方程为$x^2-9x+20=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=5$，
此时三角形三边长为$5,5,4$，满足三角形三边关系，周长为$5+5+4=14$。
当$k=5$时，原方程为$x^2-11x+30=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=6$，
此时三角形三边长为$5,5,6$，满足三角形三边关系，周长为$5+5+6=16$。
综上，$△ ABC$的周长为14或16。
【答案】
（1）不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）$\boldsymbol{14}$或$\boldsymbol{16}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，将一元二次方程的知识点和等腰三角形的性质相结合，考查了分类讨论的数学思想，解题时需注意验证三角形三边的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
18. 第二届江苏省城市足球联赛热度高涨，引爆全网，某旅行社顺势推出“跟着苏超去旅行”活动. 1月份，该活动的报名人数有1 500人，随着“苏超”热度不断提升，3月份，活动报名人数达到2 160人. 若每月报名人数的增长率相同，请求出该活动报名人数的月平均增长率.
答案
解：设该活动报名人数的月平均增长率为$x$。
根据题意，得
$1500(1+x)^2 = 2160$
两边同除以1500，得
$(1+x)^2 = 1.44$
直接开平方，得
$1+x = \pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，所以$x=-2.2$不符合题意，舍去。
则$x=0.2=20\%$。
答：该活动报名人数的月平均增长率为20%。
根据题意，得
$1500(1+x)^2 = 2160$
两边同除以1500，得
$(1+x)^2 = 1.44$
直接开平方，得
$1+x = \pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，所以$x=-2.2$不符合题意，舍去。
则$x=0.2=20\%$。
答：该活动报名人数的月平均增长率为20%。
解析
【分析】
本题是平均增长率类应用题，解题思路可分为三步：首先明确平均增长率问题的核心等量关系：初始量×(1+月平均增长率)^增长次数 = 最终量，本题中1月报名人数1500人为初始量，3月报名人数2160人为最终量，从1月到3月共增长2次；其次设月平均增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程；最后解方程后结合增长率为正的实际要求，舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：设该活动报名人数的月平均增长率为$x$。
根据题意，得：
$1500(1+x)^2 = 2160$
两边同除以1500，得：
$(1+x)^2 = 1.44$
直接开平方，得：
$1+x = \pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，所以$x=-2.2$不符合题意，舍去。
则$x=0.2=20\%$。
答：该活动报名人数的月平均增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程应用、增长率问题、一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查平均增长率等量关系的应用，解题时需注意计算结果要符合实际意义，舍去不合理的根，掌握核心公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题是平均增长率类应用题，解题思路可分为三步：首先明确平均增长率问题的核心等量关系：初始量×(1+月平均增长率)^增长次数 = 最终量，本题中1月报名人数1500人为初始量，3月报名人数2160人为最终量，从1月到3月共增长2次；其次设月平均增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程；最后解方程后结合增长率为正的实际要求，舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：设该活动报名人数的月平均增长率为$x$。
根据题意，得：
$1500(1+x)^2 = 2160$
两边同除以1500，得：
$(1+x)^2 = 1.44$
直接开平方，得：
$1+x = \pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，所以$x=-2.2$不符合题意，舍去。
则$x=0.2=20\%$。
答：该活动报名人数的月平均增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程应用、增长率问题、一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查平均增长率等量关系的应用，解题时需注意计算结果要符合实际意义，舍去不合理的根，掌握核心公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
19. 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m²的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m²的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
答案
解：
（1）设垂直于外墙的边AB的长为x m，则平行于外墙的边BC的长为(70 + 2 - 2x) m，即(72 - 2x) m。
由题意得：
$x(72 - 2x) = 640$
整理得：$x^2 - 36x + 320 = 0$
解得：$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x=16$时，$72 - 2x = 40$；
当$x=20$时，$72 - 2x = 32$。
两个解均符合实际意义。
答：当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈。
（2）羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，则有：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得：$x^2 - 36x + 325 = 0$
该方程的判别式$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，
此一元二次方程没有实数根，因此不存在符合条件的羊圈。
即羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
（1）设垂直于外墙的边AB的长为x m，则平行于外墙的边BC的长为(70 + 2 - 2x) m，即(72 - 2x) m。
由题意得：
$x(72 - 2x) = 640$
整理得：$x^2 - 36x + 320 = 0$
解得：$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x=16$时，$72 - 2x = 40$；
当$x=20$时，$72 - 2x = 32$。
两个解均符合实际意义。
答：当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈。
（2）羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，则有：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得：$x^2 - 36x + 325 = 0$
该方程的判别式$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，
此一元二次方程没有实数根，因此不存在符合条件的羊圈。
即羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
这是一元二次方程在实际几何面积问题中的应用，解题思路如下：
1. 先确定未知数：设垂直于外墙的边长为x，注意BC边有2m宽的门不需要用栅栏，因此栅栏总长度加门的宽度等于2倍垂直边长加平行边长，平行边长可表示为(70+2-2x)m。
2. 第一问根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列方程，求解后检验解是否符合实际意义，得到对应的长和宽。
3. 第二问先假设面积能达到650m²，同样列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数根，若判别式小于0则无实根，说明无法达到该面积。
【解析】
（1）设垂直于外墙的边AB的长为x m，则平行于外墙的边BC的长为(70 + 2 - 2x) m，即(72 - 2x) m。
由题意得：
$x(72 - 2x) = 640$
整理得：$x^2 - 36x + 320 = 0$
解得：$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x=16$时，$72 - 2x = 40$；
当$x=20$时，$72 - 2x = 32$。
两个解均为正数，符合实际意义。
（2）羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，则有：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得：$x^2 - 36x + 325 = 0$
该方程的判别式$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，
此一元二次方程没有实数根，因此不存在符合条件的x值，即羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
（1）当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；
（2）羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的解法
3. 根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的围栏类面积问题，解题的关键是正确表示平行于外墙的边长，不要忽略门的宽度不需要占用栅栏长度；求解方程后要注意检验解是否符合实际意义，第二问通过根的判别式判断方程是否有实根即可确定方案是否存在，体现了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程在实际几何面积问题中的应用，解题思路如下：
1. 先确定未知数：设垂直于外墙的边长为x，注意BC边有2m宽的门不需要用栅栏，因此栅栏总长度加门的宽度等于2倍垂直边长加平行边长，平行边长可表示为(70+2-2x)m。
2. 第一问根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列方程，求解后检验解是否符合实际意义，得到对应的长和宽。
3. 第二问先假设面积能达到650m²，同样列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数根，若判别式小于0则无实根，说明无法达到该面积。
【解析】
（1）设垂直于外墙的边AB的长为x m，则平行于外墙的边BC的长为(70 + 2 - 2x) m，即(72 - 2x) m。
由题意得：
$x(72 - 2x) = 640$
整理得：$x^2 - 36x + 320 = 0$
解得：$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x=16$时，$72 - 2x = 40$；
当$x=20$时，$72 - 2x = 32$。
两个解均为正数，符合实际意义。
（2）羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，则有：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得：$x^2 - 36x + 325 = 0$
该方程的判别式$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，
此一元二次方程没有实数根，因此不存在符合条件的x值，即羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
（1）当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；
（2）羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的解法
3. 根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的围栏类面积问题，解题的关键是正确表示平行于外墙的边长，不要忽略门的宽度不需要占用栅栏长度；求解方程后要注意检验解是否符合实际意义，第二问通过根的判别式判断方程是否有实根即可确定方案是否存在，体现了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
