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20. 先阅读材料，再解决问题：
解方程$(x-1)^2 -5(x-1)+4=0$时，我们可以将$x-1$看成一个整体，设$x-1=y$，则原方程可化为$y^2 -5y +4=0$，解得$y_1=1$，$y_2=4$。当$y=1$时，即$x-1=1$，解得$x=2$；当$y=4$时，即$x-1=4$，解得$x=5$。所以原方程的解为$x_1=2$，$x_2=5$。
请利用这种方法解方程：$(3x+5)^2 -4(3x+5)+3=0$。
解方程$(x-1)^2 -5(x-1)+4=0$时，我们可以将$x-1$看成一个整体，设$x-1=y$，则原方程可化为$y^2 -5y +4=0$，解得$y_1=1$，$y_2=4$。当$y=1$时，即$x-1=1$，解得$x=2$；当$y=4$时，即$x-1=4$，解得$x=5$。所以原方程的解为$x_1=2$，$x_2=5$。
请利用这种方法解方程：$(3x+5)^2 -4(3x+5)+3=0$。
答案
解：设$3x+5=y$，则原方程可化为$y^2 - 4y + 3 = 0$，
因式分解得$(y-1)(y-3)=0$，
解得$y_1=1$，$y_2=3$。
当$y=1$时，即$3x+5=1$，
解得$x=-\frac{4}{3}$；
当$y=3$时，即$3x+5=3$，
解得$x=-\frac{2}{3}$。
所以原方程的解为$x_1=-\frac{4}{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
因式分解得$(y-1)(y-3)=0$，
解得$y_1=1$，$y_2=3$。
当$y=1$时，即$3x+5=1$，
解得$x=-\frac{4}{3}$；
当$y=3$时，即$3x+5=3$，
解得$x=-\frac{2}{3}$。
所以原方程的解为$x_1=-\frac{4}{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
观察待解方程的结构，发现方程中多次出现整体“3x+5”，因此可以参照材料给出的换元法，将“3x+5”设为新的未知数y，把原方程转化为关于y的一元二次方程，先求解y的值，再将y的值代回“3x+5=y”中求解x，即可得到原方程的解，这种方法能简化方程结构，降低解题难度。
【解析】
解：设$3x+5=y$，则原方程可化为$y^2 - 4y + 3 = 0$，
因式分解得$(y-1)(y-3)=0$，
解得$y_1=1$，$y_2=3$。
当$y=1$时，即$3x+5=1$，
解得$x=-\frac{4}{3}$；
当$y=3$时，即$3x+5=3$，
解得$x=-\frac{2}{3}$。
所以原方程的解为$x_1=-\frac{4}{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
$x_1=-\frac{4}{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；整体思想
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，解题关键是识别出方程中的相同整体，通过换元将陌生的复杂方程转化为熟悉的基础一元二次方程求解，最后不要忘记回代计算原未知数的解，体现了化繁为简的化归思想。
【难度系数】
0.8
观察待解方程的结构，发现方程中多次出现整体“3x+5”，因此可以参照材料给出的换元法，将“3x+5”设为新的未知数y，把原方程转化为关于y的一元二次方程，先求解y的值，再将y的值代回“3x+5=y”中求解x，即可得到原方程的解，这种方法能简化方程结构，降低解题难度。
【解析】
解：设$3x+5=y$，则原方程可化为$y^2 - 4y + 3 = 0$，
因式分解得$(y-1)(y-3)=0$，
解得$y_1=1$，$y_2=3$。
当$y=1$时，即$3x+5=1$，
解得$x=-\frac{4}{3}$；
当$y=3$时，即$3x+5=3$，
解得$x=-\frac{2}{3}$。
所以原方程的解为$x_1=-\frac{4}{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
$x_1=-\frac{4}{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；整体思想
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，解题关键是识别出方程中的相同整体，通过换元将陌生的复杂方程转化为熟悉的基础一元二次方程求解，最后不要忘记回代计算原未知数的解，体现了化繁为简的化归思想。
【难度系数】
0.8
21. 阅读下面的例题：分解因式 $x^2 + 2x -1$。
解：令 $x^2 + 2x -1 =0$，得到一个关于 $x$ 的一元二次方程。
∵ $a=1$，$b=2$，$c=-1$，
∴ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$。解得 $x_1 = -1 + \sqrt{2}$，$x_2 = -1 - \sqrt{2}$。
∴ $x^2 +2x -1 = (x -x_1)(x -x_2) = [x - (-1 + \sqrt{2})][x - (-1 - \sqrt{2})] = (x +1 - \sqrt{2})(x +1 + \sqrt{2})$。
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法解答下列问题：
（1）已知代数式 $x^2 -2x -k$ 对应的方程解为－3 和5，则代数式 $x^2 -2x -k$ 分解后为 ，$k$ 的值为 ；
（2）将代数式 $x^2 -4x +2$ 分解因式。
解：令 $x^2 + 2x -1 =0$，得到一个关于 $x$ 的一元二次方程。
∵ $a=1$，$b=2$，$c=-1$，
∴ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$。解得 $x_1 = -1 + \sqrt{2}$，$x_2 = -1 - \sqrt{2}$。
∴ $x^2 +2x -1 = (x -x_1)(x -x_2) = [x - (-1 + \sqrt{2})][x - (-1 - \sqrt{2})] = (x +1 - \sqrt{2})(x +1 + \sqrt{2})$。
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法解答下列问题：
（1）已知代数式 $x^2 -2x -k$ 对应的方程解为－3 和5，则代数式 $x^2 -2x -k$ 分解后为 ，$k$ 的值为 ；
（2）将代数式 $x^2 -4x +2$ 分解因式。
答案
（1）$\boldsymbol{(x+3)(x-5)}$，$\boldsymbol{15}$；（2）$\boldsymbol{(x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})}$。
解析
【分析】
本题考查用求根法对二次三项式进行因式分解，解题思路如下：
（1）第一小问已知二次三项式对应方程的两个根，根据求根法的因式分解规则，直接将根代入分解公式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$（本题中$a=1$）即可得到分解结果；求$k$的值可以通过展开分解后的式子，与原式对比系数，或者将已知根代入对应方程求解即可。
（2）第二小问模仿例题的步骤，先令二次三项式等于0得到一元二次方程，用求根公式算出方程的两个根，再代入求根法分解公式即可完成因式分解。
【解析】
（1）已知代数式$x^2 -2x -k$对应方程的解为$x_1=-3$，$x_2=5$，根据求根法因式分解规则：
$x^2 -2x -k=(x - x_1)(x - x_2)=(x - (-3))(x - 5)=(x+3)(x-5)$
将$(x+3)(x-5)$展开得：$x^2 -5x +3x -15=x^2 -2x -15$，与原式$x^2 -2x -k$对比可得：$-k=-15$，解得$k=15$。
（2）分解$x^2 -4x +2$：
第一步，令$x^2 -4x +2=0$，这是关于$x$的一元二次方程，其中$a=1$，$b=-4$，$c=2$。
第二步，用求根公式计算方程的根：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$
即$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$。
第三步，代入求根法分解公式：
$x^2 -4x +2=(x - x_1)(x - x_2)=(x - (2+\sqrt{2}))(x - (2-\sqrt{2}))=(x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})$
【答案】
（1）$(x+3)(x-5)$，$15$；（2）$(x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})$
【知识点】
求根法因式分解，一元二次方程求根公式，代数式系数求解
【点评】
本题是材料阅读类题型，核心是掌握材料给出的求根法因式分解的逻辑，需要学生能够灵活运用一元二次方程求根公式解决因式分解问题，同时第一小问也可结合根与系数的关系快速求解，属于对基础因式分解方法的拓展考查。
【难度系数】
0.7
本题考查用求根法对二次三项式进行因式分解，解题思路如下：
（1）第一小问已知二次三项式对应方程的两个根，根据求根法的因式分解规则，直接将根代入分解公式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$（本题中$a=1$）即可得到分解结果；求$k$的值可以通过展开分解后的式子，与原式对比系数，或者将已知根代入对应方程求解即可。
（2）第二小问模仿例题的步骤，先令二次三项式等于0得到一元二次方程，用求根公式算出方程的两个根，再代入求根法分解公式即可完成因式分解。
【解析】
（1）已知代数式$x^2 -2x -k$对应方程的解为$x_1=-3$，$x_2=5$，根据求根法因式分解规则：
$x^2 -2x -k=(x - x_1)(x - x_2)=(x - (-3))(x - 5)=(x+3)(x-5)$
将$(x+3)(x-5)$展开得：$x^2 -5x +3x -15=x^2 -2x -15$，与原式$x^2 -2x -k$对比可得：$-k=-15$，解得$k=15$。
（2）分解$x^2 -4x +2$：
第一步，令$x^2 -4x +2=0$，这是关于$x$的一元二次方程，其中$a=1$，$b=-4$，$c=2$。
第二步，用求根公式计算方程的根：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$
即$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$。
第三步，代入求根法分解公式：
$x^2 -4x +2=(x - x_1)(x - x_2)=(x - (2+\sqrt{2}))(x - (2-\sqrt{2}))=(x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})$
【答案】
（1）$(x+3)(x-5)$，$15$；（2）$(x-2-\sqrt{2})(x-2+\sqrt{2})$
【知识点】
求根法因式分解，一元二次方程求根公式，代数式系数求解
【点评】
本题是材料阅读类题型，核心是掌握材料给出的求根法因式分解的逻辑，需要学生能够灵活运用一元二次方程求根公式解决因式分解问题，同时第一小问也可结合根与系数的关系快速求解，属于对基础因式分解方法的拓展考查。
【难度系数】
0.7
