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7. 将方程$(x-1)^2 +5=(3x+2)(2x-3)$化为一般形式是。
答案
$\boldsymbol{5x^2 - 3x -12 = 0}$
解析
【分析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），解题时首先要分别展开方程左右两边的整式，再通过移项把所有项移到等号一侧，保证另一侧为0，接着合并同类项，最后将二次项系数化为正数，即可得到方程的一般形式。
【解析】
1. 分别展开方程左右两边的式子：
左边：$(x-1)^2+5 = x^2 - 2x + 1 + 5 = x^2 - 2x + 6$
右边：$(3x+2)(2x-3) = 6x^2 - 9x + 4x - 6 = 6x^2 - 5x - 6$
2. 移项，将右侧所有项移到左侧，使等号右侧为0：
$x^2 - 2x + 6 - 6x^2 + 5x + 6 = 0$
3. 合并同类项：
$-5x^2 + 3x + 12 = 0$
4. 为符合一般形式的书写习惯，将二次项系数化为正数，等式两边同时乘$-1$，得：
$5x^2 - 3x - 12 = 0$
【答案】
$\boldsymbol{5x^2 - 3x -12 = 0}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式、整式乘法、合并同类项
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查一元二次方程一般形式的化简要求，计算时要注意整式展开的符号正确性，以及合并同类项的准确性，化简时通常把二次项系数调整为正整数即可。
【难度系数】
0.8
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），解题时首先要分别展开方程左右两边的整式，再通过移项把所有项移到等号一侧，保证另一侧为0，接着合并同类项，最后将二次项系数化为正数，即可得到方程的一般形式。
【解析】
1. 分别展开方程左右两边的式子：
左边：$(x-1)^2+5 = x^2 - 2x + 1 + 5 = x^2 - 2x + 6$
右边：$(3x+2)(2x-3) = 6x^2 - 9x + 4x - 6 = 6x^2 - 5x - 6$
2. 移项，将右侧所有项移到左侧，使等号右侧为0：
$x^2 - 2x + 6 - 6x^2 + 5x + 6 = 0$
3. 合并同类项：
$-5x^2 + 3x + 12 = 0$
4. 为符合一般形式的书写习惯，将二次项系数化为正数，等式两边同时乘$-1$，得：
$5x^2 - 3x - 12 = 0$
【答案】
$\boldsymbol{5x^2 - 3x -12 = 0}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式、整式乘法、合并同类项
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查一元二次方程一般形式的化简要求，计算时要注意整式展开的符号正确性，以及合并同类项的准确性，化简时通常把二次项系数调整为正整数即可。
【难度系数】
0.8
8. 一元二次方程的两根分别为$2+\sqrt{3}$，$2-\sqrt{3}$，这个方程的一般形式可以为.
答案
解：
由一元二次方程根与系数的关系，计算得：
两根之和：$(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$，
两根之积：$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=1$，
取二次项系数为1，可得该方程的一个一般形式为$x^2-4x+1=0$。
由一元二次方程根与系数的关系，计算得：
两根之和：$(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$，
两根之积：$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=1$，
取二次项系数为1，可得该方程的一个一般形式为$x^2-4x+1=0$。
解析
【分析】
本题要求根据已知的一元二次方程的两根写出方程的一般形式，可从一元二次方程根与系数的关系入手解题。首先回忆规律：若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，当二次项系数为1时，方程可表示为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，因此只需先计算出两根之和、两根之积，再代入上述式子即可得到所求方程，通常取二次项系数为1时得到的方程形式最简便。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系计算：
1. 计算两根之和：$(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$
2. 计算两根之积：利用平方差公式可得$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
3. 取二次项系数为1，代入对应方程形式，即可得到该方程的一个一般形式。
【答案】
$x^2-4x+1=0$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 平方差公式 3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的逆向应用，解题时要注意一次项系数的符号与两根之和的符号相反，计算两根积时使用平方差公式可有效降低运算量，只要保证二次项系数不为0，所得方程均符合要求。
【难度系数】
0.8
本题要求根据已知的一元二次方程的两根写出方程的一般形式，可从一元二次方程根与系数的关系入手解题。首先回忆规律：若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，当二次项系数为1时，方程可表示为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，因此只需先计算出两根之和、两根之积，再代入上述式子即可得到所求方程，通常取二次项系数为1时得到的方程形式最简便。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系计算：
1. 计算两根之和：$(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$
2. 计算两根之积：利用平方差公式可得$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
3. 取二次项系数为1，代入对应方程形式，即可得到该方程的一个一般形式。
【答案】
$x^2-4x+1=0$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 平方差公式 3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的逆向应用，解题时要注意一次项系数的符号与两根之和的符号相反，计算两根积时使用平方差公式可有效降低运算量，只要保证二次项系数不为0，所得方程均符合要求。
【难度系数】
0.8
9. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程$x^2 -8x +15=0$的一个实数根，则该三角形的面积是________.
答案
解：解方程$x^2 -8x +15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
由三角形三边关系，两边长为3和4时，第三边长3或5均满足$4-3＜x＜4+3$，均符合三角形三边要求。
①当第三边长为3时，三角形三边长为3，3，4，是等腰三角形：
底边上的高$h=\sqrt{3^2 - (\frac{4}{2})^2}=\sqrt{5}$，
面积$S=\frac{1}{2} × 4 × \sqrt{5}=2\sqrt{5}$；
②当第三边长为5时，三角形三边长为3，4，5：
$\because 3^2 +4^2=25=5^2$，
$\therefore$ 该三角形为直角三角形，两条直角边长为3和4，
面积$S=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$。
综上，该三角形的面积是$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$。
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
由三角形三边关系，两边长为3和4时，第三边长3或5均满足$4-3＜x＜4+3$，均符合三角形三边要求。
①当第三边长为3时，三角形三边长为3，3，4，是等腰三角形：
底边上的高$h=\sqrt{3^2 - (\frac{4}{2})^2}=\sqrt{5}$，
面积$S=\frac{1}{2} × 4 × \sqrt{5}=2\sqrt{5}$；
②当第三边长为5时，三角形三边长为3，4，5：
$\because 3^2 +4^2=25=5^2$，
$\therefore$ 该三角形为直角三角形，两条直角边长为3和4，
面积$S=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$。
综上，该三角形的面积是$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$。
解析
【分析】
解题时首先需要求解一元二次方程得到第三边的可能取值，接下来根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）判断这些取值是否都能构成三角形，最后对符合条件的第三边长度分情况讨论，分别计算对应三角形的面积即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
解方程$x^2 -8x +15=0$，因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
2. 验证三边关系：
已知三角形两边长为3和4，
当第三边为3时，$3+3＞4$，$4-3＜3$，满足三角形三边关系；
当第三边为5时，$3+4＞5$，$5-3＜4$，满足三角形三边关系，因此两个根均有效。
3. 分情况计算面积：
①当第三边长为3时，三角形三边长为3，3，4，为等腰三角形：
底边上的高$h=\sqrt{3^2 - (\frac{4}{2})^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，
面积$S=\frac{1}{2} × 4 × \sqrt{5}=2\sqrt{5}$；
②当第三边长为5时，三角形三边长为3，4，5：
$\because 3^2 +4^2=25=5^2$，根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，直角边为3和4，
面积$S=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
【知识点】
一元二次方程求解、三角形三边关系、三角形面积计算
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合基础题，解题时要注意分类讨论思想的运用，求出第三边的可能值后需先验证是否满足三角形三边关系，再计算对应面积，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要求解一元二次方程得到第三边的可能取值，接下来根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）判断这些取值是否都能构成三角形，最后对符合条件的第三边长度分情况讨论，分别计算对应三角形的面积即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
解方程$x^2 -8x +15=0$，因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
2. 验证三边关系：
已知三角形两边长为3和4，
当第三边为3时，$3+3＞4$，$4-3＜3$，满足三角形三边关系；
当第三边为5时，$3+4＞5$，$5-3＜4$，满足三角形三边关系，因此两个根均有效。
3. 分情况计算面积：
①当第三边长为3时，三角形三边长为3，3，4，为等腰三角形：
底边上的高$h=\sqrt{3^2 - (\frac{4}{2})^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，
面积$S=\frac{1}{2} × 4 × \sqrt{5}=2\sqrt{5}$；
②当第三边长为5时，三角形三边长为3，4，5：
$\because 3^2 +4^2=25=5^2$，根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，直角边为3和4，
面积$S=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
【知识点】
一元二次方程求解、三角形三边关系、三角形面积计算
【点评】
本题属于代数与几何结合的综合基础题，解题时要注意分类讨论思想的运用，求出第三边的可能值后需先验证是否满足三角形三边关系，再计算对应面积，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
10. 已知$m$是方程$x^2 - 3x - 20 = 0$的根，则代数式$1 + 3m - m^2$的值为。
答案
$\boldsymbol{-19}$
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式，再观察所求代数式的结构，通过变形将已知的关于m的等式整体代入，无需计算m的具体值，即可快速求出代数式的值，这样能简化运算，避免计算错误。
【解析】
∵ m是方程$x^2 - 3x - 20 = 0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程，得：$m^2 - 3m - 20 = 0$，
整理可得：$m^2 - 3m = 20$。
对所求代数式变形：
$1 + 3m - m^2 = 1 - (m^2 - 3m)$，
将$m^2 - 3m = 20$代入上式，得：
$1 - 20 = -19$。
【答案】
$\boldsymbol{-19}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题考查利用方程根的性质求代数式的值，运用整体思想可以避免求解一元二次方程，简化计算过程，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式，再观察所求代数式的结构，通过变形将已知的关于m的等式整体代入，无需计算m的具体值，即可快速求出代数式的值，这样能简化运算，避免计算错误。
【解析】
∵ m是方程$x^2 - 3x - 20 = 0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程，得：$m^2 - 3m - 20 = 0$，
整理可得：$m^2 - 3m = 20$。
对所求代数式变形：
$1 + 3m - m^2 = 1 - (m^2 - 3m)$，
将$m^2 - 3m = 20$代入上式，得：
$1 - 20 = -19$。
【答案】
$\boldsymbol{-19}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题考查利用方程根的性质求代数式的值，运用整体思想可以避免求解一元二次方程，简化计算过程，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
11. 若关于$x$的方程$(x-9)^2 = m + 4$可以用直接开平方法求解，那么$m$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{m≥ -4}$
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的要求：对于形如$a^2=b$的方程，只有当$b≥0$时，方程才有实数解，可以用直接开平方法求解。本题中方程左边是$(x-9)^2$，根据平方的性质，任意实数的平方都是非负数，因此要让方程能够用直接开平方法求解，等号右边的$m+4$也必须是非负数，据此列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方均为非负数，
∴ 要使方程$(x-9)^2 = m+4$可以用直接开平方法求解，需满足等号右侧的代数式非负，
即 $m + 4 ≥ 0$，
移项解得 $m ≥ -4$。
【答案】
$\boldsymbol{m≥ -4}$
【知识点】
直接开平方法适用条件、平方的非负性、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是明确直接开平方法解方程的前提，结合平方数的非负性列不等式求解，只要掌握相关基础概念就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解这道题，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的要求：对于形如$a^2=b$的方程，只有当$b≥0$时，方程才有实数解，可以用直接开平方法求解。本题中方程左边是$(x-9)^2$，根据平方的性质，任意实数的平方都是非负数，因此要让方程能够用直接开平方法求解，等号右边的$m+4$也必须是非负数，据此列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方均为非负数，
∴ 要使方程$(x-9)^2 = m+4$可以用直接开平方法求解，需满足等号右侧的代数式非负，
即 $m + 4 ≥ 0$，
移项解得 $m ≥ -4$。
【答案】
$\boldsymbol{m≥ -4}$
【知识点】
直接开平方法适用条件、平方的非负性、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是明确直接开平方法解方程的前提，结合平方数的非负性列不等式求解，只要掌握相关基础概念就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
12. 当实数m时，方程$x^2 + (2m + 3)x + m^2 = 0$有两个负实数根。
答案
$\boldsymbol{≥ -\dfrac{3}{4}且m≠ 0}$
解析
【分析】
要确定方程有两个负实数根时m的取值范围，需分三步思考：①首先方程是一元二次方程（本题二次项系数为1，已满足不为0的要求），要存在两个实数根，需判别式Δ≥0；②两个根均为负数，根据根与系数的关系，两根之和应小于0；③两个负数相乘为正，因此两根之积应大于0。联立三个条件得到不等式组，求解不等式组的公共解集即可得到m的取值范围。
【解析】
设方程$x^2 + (2m + 3)x + m^2 = 0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据两个根均为负实数，需同时满足以下三个条件：
1. 判别式非负，保证有两个实数根：
$\Delta=(2m+3)^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$
展开化简：$4m^2 + 12m + 9 - 4m^2 ≥ 0$
即$12m + 9 ≥ 0$，解得$m ≥ -\dfrac{3}{4}$。
2. 两根之和小于0：
由韦达定理得$x_1 + x_2 = -(2m+3) ＜ 0$
化简得$2m + 3 ＞ 0$，解得$m ＞ -\dfrac{3}{2}$。
3. 两根之积大于0：
由韦达定理得$x_1x_2 = m^2 ＞ 0$，解得$m ≠ 0$。
取三个解集的公共部分，可得$m$的取值范围。
【答案】
$\boldsymbol{≥ -\dfrac{3}{4}且m≠ 0}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是典型的一元二次方程根的分布问题，解题时需注意不要遗漏判别式非负的前提条件，同时要注意两根之积为正的条件中需排除$m=0$的特殊情况，解决这类问题的核心是将根的性质转化为对应的代数不等式，联立求解后取公共解集即可。
【难度系数】
0.6
要确定方程有两个负实数根时m的取值范围，需分三步思考：①首先方程是一元二次方程（本题二次项系数为1，已满足不为0的要求），要存在两个实数根，需判别式Δ≥0；②两个根均为负数，根据根与系数的关系，两根之和应小于0；③两个负数相乘为正，因此两根之积应大于0。联立三个条件得到不等式组，求解不等式组的公共解集即可得到m的取值范围。
【解析】
设方程$x^2 + (2m + 3)x + m^2 = 0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据两个根均为负实数，需同时满足以下三个条件：
1. 判别式非负，保证有两个实数根：
$\Delta=(2m+3)^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$
展开化简：$4m^2 + 12m + 9 - 4m^2 ≥ 0$
即$12m + 9 ≥ 0$，解得$m ≥ -\dfrac{3}{4}$。
2. 两根之和小于0：
由韦达定理得$x_1 + x_2 = -(2m+3) ＜ 0$
化简得$2m + 3 ＞ 0$，解得$m ＞ -\dfrac{3}{2}$。
3. 两根之积大于0：
由韦达定理得$x_1x_2 = m^2 ＞ 0$，解得$m ≠ 0$。
取三个解集的公共部分，可得$m$的取值范围。
【答案】
$\boldsymbol{≥ -\dfrac{3}{4}且m≠ 0}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是典型的一元二次方程根的分布问题，解题时需注意不要遗漏判别式非负的前提条件，同时要注意两根之积为正的条件中需排除$m=0$的特殊情况，解决这类问题的核心是将根的性质转化为对应的代数不等式，联立求解后取公共解集即可。
【难度系数】
0.6
13. 已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$与$cx^2+bx+a=0$（其中$ac≠0$，$a≠c$）有一个相同的根，则这个根为。
答案
$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程公共根问题，解题思路如下：第一步，设两个方程的公共根为α，根据方程根的定义，公共根代入两个方程均成立，得到两个关于α的等式；第二步，将两个等式作差消去含b的一次项，整理后进行因式分解；第三步，结合题目给出的a≠c的条件，排除a-c=0的情况，进而求出α的值，最后验证所求根是否符合要求即可。
【解析】
设两个方程相同的根为$α$，根据一元二次方程根的定义，将$α$分别代入两个方程可得：
$aα^2 + bα + c = 0$ ①
$cα^2 + bα + a = 0$ ②
用①式减去②式，得：
$aα^2 + bα + c - (cα^2 + bα + a) = 0$
整理得：$(a - c)α^2 + (c - a) = 0$
提取公因式得：$(a - c)(α^2 - 1) = 0$
已知$a ≠ c$，因此$a - c ≠ 0$，则需满足$α^2 - 1 = 0$，解得$α = 1$或$α = -1$。
验证：将$x=1$代入两个方程，均得$a+b+c=0$，成立；将$x=-1$代入两个方程，均得$a - b + c=0$，成立，故这两个根均为公共根。
【答案】
$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
一元二次方程根的定义、因式分解、等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程公共根问题的基础典型题，核心解题技巧是通过设公共根、代入作差的方式消去冗余参数，简化计算过程，解题时需注意题目给出的限定条件，避免出现多余解。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程公共根问题，解题思路如下：第一步，设两个方程的公共根为α，根据方程根的定义，公共根代入两个方程均成立，得到两个关于α的等式；第二步，将两个等式作差消去含b的一次项，整理后进行因式分解；第三步，结合题目给出的a≠c的条件，排除a-c=0的情况，进而求出α的值，最后验证所求根是否符合要求即可。
【解析】
设两个方程相同的根为$α$，根据一元二次方程根的定义，将$α$分别代入两个方程可得：
$aα^2 + bα + c = 0$ ①
$cα^2 + bα + a = 0$ ②
用①式减去②式，得：
$aα^2 + bα + c - (cα^2 + bα + a) = 0$
整理得：$(a - c)α^2 + (c - a) = 0$
提取公因式得：$(a - c)(α^2 - 1) = 0$
已知$a ≠ c$，因此$a - c ≠ 0$，则需满足$α^2 - 1 = 0$，解得$α = 1$或$α = -1$。
验证：将$x=1$代入两个方程，均得$a+b+c=0$，成立；将$x=-1$代入两个方程，均得$a - b + c=0$，成立，故这两个根均为公共根。
【答案】
$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
一元二次方程根的定义、因式分解、等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程公共根问题的基础典型题，核心解题技巧是通过设公共根、代入作差的方式消去冗余参数，简化计算过程，解题时需注意题目给出的限定条件，避免出现多余解。
【难度系数】
0.7
14. 一元二次方程的两根之差为1，这个方程可以为。
答案
解：设该一元二次方程的两根分别为2和1，
则两根之和为$2+1=3$，两根之积为$2×1=2$，
由一元二次方程根与系数的关系，可得所求方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$。
答案不唯一
则两根之和为$2+1=3$，两根之积为$2×1=2$，
由一元二次方程根与系数的关系，可得所求方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$。
答案不唯一
解析
【分析】
这是一道开放性试题，解题时可先根据“两根之差为1”的条件，任意选取两个差为1的实数作为方程的两根，再利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和与两根之积，最后根据两根与系数的对应关系构造出符合要求的方程即可，答案不唯一。
【解析】
先选取两个差为1的数作为方程的两根，例如选两根分别为1和2，满足2-1=1的要求：
1. 计算两根之和：$1+2=3$
2. 计算两根之积：$1×2=2$
3. 根据一元二次方程根与系数的关系，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，代入可得所求方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$。
本题答案不唯一，只要满足两根之差为1的一元二次方程均符合要求。
【答案】
$x^2 - 3x + 2 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的构造
【点评】
本题属于开放型基础题，重点考查对一元二次方程根与系数关系的灵活运用，解题思路多样，除了用根与系数关系构造方程外，也可先设定二次项系数，再调整系数满足两根差为1的要求，整体门槛较低。
【难度系数】
0.8
这是一道开放性试题，解题时可先根据“两根之差为1”的条件，任意选取两个差为1的实数作为方程的两根，再利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和与两根之积，最后根据两根与系数的对应关系构造出符合要求的方程即可，答案不唯一。
【解析】
先选取两个差为1的数作为方程的两根，例如选两根分别为1和2，满足2-1=1的要求：
1. 计算两根之和：$1+2=3$
2. 计算两根之积：$1×2=2$
3. 根据一元二次方程根与系数的关系，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，代入可得所求方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$。
本题答案不唯一，只要满足两根之差为1的一元二次方程均符合要求。
【答案】
$x^2 - 3x + 2 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的构造
【点评】
本题属于开放型基础题，重点考查对一元二次方程根与系数关系的灵活运用，解题思路多样，除了用根与系数关系构造方程外，也可先设定二次项系数，再调整系数满足两根差为1的要求，整体门槛较低。
【难度系数】
0.8
15. 解下列方程：
(1) $(x+2)^2 -9=0$；
(2) $3x^2=16x$；
(3) $x^2 +4x +3=0$；
(4) $4(x-1)^2=9(x-5)^2$；
(5) $x(x-2)=x-2$；
(6) $2x^2 -8x -1=0$。
(1) $(x+2)^2 -9=0$；
(2) $3x^2=16x$；
(3) $x^2 +4x +3=0$；
(4) $4(x-1)^2=9(x-5)^2$；
(5) $x(x-2)=x-2$；
(6) $2x^2 -8x -1=0$。
答案
解：
(1) 移项，得$(x+2)^2=9$，
开平方，得$x+2=\pm3$，
即$x+2=3$或$x+2=-3$，
解得$x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 移项，得$3x^2-16x=0$，
因式分解，得$x(3x-16)=0$，
即$x=0$或$3x-16=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=\frac{16}{3}$。
(3) 因式分解，得$(x+1)(x+3)=0$，
即$x+1=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
(4) 移项，得$4(x-1)^2-9(x-5)^2=0$，
由平方差公式因式分解，得$[2(x-1)+3(x-5)][2(x-1)-3(x-5)]=0$，
化简得$(5x-17)(-x+13)=0$，
即$5x-17=0$或$-x+13=0$，
解得$x_1=\frac{17}{5}$，$x_2=13$。
(5) 移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$，
因式分解，得$(x-2)(x-1)=0$，
即$x-2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
(6) 移项，二次项系数化为1，得$x^2-4x=\frac{1}{2}$，
配方，得$x^2-4x+4=\frac{1}{2}+4$，
即$(x-2)^2=\frac{9}{2}$，
开平方，得$x-2=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得$x_1=2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_2=2-\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
(1) 移项，得$(x+2)^2=9$，
开平方，得$x+2=\pm3$，
即$x+2=3$或$x+2=-3$，
解得$x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 移项，得$3x^2-16x=0$，
因式分解，得$x(3x-16)=0$，
即$x=0$或$3x-16=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=\frac{16}{3}$。
(3) 因式分解，得$(x+1)(x+3)=0$，
即$x+1=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
(4) 移项，得$4(x-1)^2-9(x-5)^2=0$，
由平方差公式因式分解，得$[2(x-1)+3(x-5)][2(x-1)-3(x-5)]=0$，
化简得$(5x-17)(-x+13)=0$，
即$5x-17=0$或$-x+13=0$，
解得$x_1=\frac{17}{5}$，$x_2=13$。
(5) 移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$，
因式分解，得$(x-2)(x-1)=0$，
即$x-2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
(6) 移项，二次项系数化为1，得$x^2-4x=\frac{1}{2}$，
配方，得$x^2-4x+4=\frac{1}{2}+4$，
即$(x-2)^2=\frac{9}{2}$，
开平方，得$x-2=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得$x_1=2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_2=2-\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
解一元二次方程时，需先观察方程的结构特征，灵活选择最简便的解法：①若方程可写成$(ax+b)^2=c(c\ge0)$的形式，优先选择直接开平方法；②若方程移项后左侧易因式分解，优先选择因式分解法；③若无法因式分解，再选择配方法或公式法。各小题思路如下：(1)移项后为平方等于常数的形式，用直接开平方法；(2)(3)(5)移项后可提取公因式或十字相乘因式分解，用因式分解法；(4)移项后符合平方差公式结构，用平方差因式分解求解；(6)无法因式分解，用配方法求解即可，注意不要随意两边除以含未知数的整式，避免漏根。
【解析】
(1) 移项，得$(x+2)^2=9$，
开平方，得$x+2=\pm3$，
即$x+2=3$或$x+2=-3$，
解得$x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 移项，得$3x^2-16x=0$，
因式分解，得$x(3x-16)=0$，
即$x=0$或$3x-16=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=\frac{16}{3}$。
(3) 因式分解，得$(x+1)(x+3)=0$，
即$x+1=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
(4) 移项，得$4(x-1)^2-9(x-5)^2=0$，
由平方差公式因式分解，得$[2(x-1)+3(x-5)][2(x-1)-3(x-5)]=0$，
化简得$(5x-17)(-x+13)=0$，
即$5x-17=0$或$-x+13=0$，
解得$x_1=\frac{17}{5}$，$x_2=13$。
(5) 移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$，
因式分解，得$(x-2)(x-1)=0$，
即$x-2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
(6) 移项，二次项系数化为1，得$x^2-4x=\frac{1}{2}$，
配方，得$x^2-4x+4=\frac{1}{2}+4$，
即$(x-2)^2=\frac{9}{2}$，
开平方，得$x-2=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得$x_1=2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_2=2-\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=-5$；(2)$x_1=0,x_2=\frac{16}{3}$；(3)$x_1=-1,x_2=-3$；(4)$x_1=\frac{17}{5},x_2=13$；(5)$x_1=2,x_2=1$；(6)$x_1=2+\frac{3\sqrt{2}}{2},x_2=2-\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解，配方法
【点评】
本组题为一元二次方程解法的基础训练题，解题时要根据方程结构灵活选择简便解法，提高解题效率；注意处理含公因式的方程时，不要直接两边除以含未知数的公因式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时，需先观察方程的结构特征，灵活选择最简便的解法：①若方程可写成$(ax+b)^2=c(c\ge0)$的形式，优先选择直接开平方法；②若方程移项后左侧易因式分解，优先选择因式分解法；③若无法因式分解，再选择配方法或公式法。各小题思路如下：(1)移项后为平方等于常数的形式，用直接开平方法；(2)(3)(5)移项后可提取公因式或十字相乘因式分解，用因式分解法；(4)移项后符合平方差公式结构，用平方差因式分解求解；(6)无法因式分解，用配方法求解即可，注意不要随意两边除以含未知数的整式，避免漏根。
【解析】
(1) 移项，得$(x+2)^2=9$，
开平方，得$x+2=\pm3$，
即$x+2=3$或$x+2=-3$，
解得$x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 移项，得$3x^2-16x=0$，
因式分解，得$x(3x-16)=0$，
即$x=0$或$3x-16=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=\frac{16}{3}$。
(3) 因式分解，得$(x+1)(x+3)=0$，
即$x+1=0$或$x+3=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
(4) 移项，得$4(x-1)^2-9(x-5)^2=0$，
由平方差公式因式分解，得$[2(x-1)+3(x-5)][2(x-1)-3(x-5)]=0$，
化简得$(5x-17)(-x+13)=0$，
即$5x-17=0$或$-x+13=0$，
解得$x_1=\frac{17}{5}$，$x_2=13$。
(5) 移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$，
因式分解，得$(x-2)(x-1)=0$，
即$x-2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
(6) 移项，二次项系数化为1，得$x^2-4x=\frac{1}{2}$，
配方，得$x^2-4x+4=\frac{1}{2}+4$，
即$(x-2)^2=\frac{9}{2}$，
开平方，得$x-2=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得$x_1=2+\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_2=2-\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=-5$；(2)$x_1=0,x_2=\frac{16}{3}$；(3)$x_1=-1,x_2=-3$；(4)$x_1=\frac{17}{5},x_2=13$；(5)$x_1=2,x_2=1$；(6)$x_1=2+\frac{3\sqrt{2}}{2},x_2=2-\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解，配方法
【点评】
本组题为一元二次方程解法的基础训练题，解题时要根据方程结构灵活选择简便解法，提高解题效率；注意处理含公因式的方程时，不要直接两边除以含未知数的公因式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8
16. 已知一元二次方程$2x^2 - mx - m = 0$的一个根是$-\dfrac{1}{2}$，求$m$的值和方程的另一个根.
答案
解：
把$x=-\dfrac{1}{2}$代入方程$2x^2 - mx - m = 0$，得：
$2×(-\dfrac{1}{2})^2 - m×(-\dfrac{1}{2}) - m = 0$
化简得：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}m - m = 0$
即$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}m = 0$
解得$m=1$。
将$m=1$代入原方程，得$2x^2 - x - 1 = 0$，
因式分解得$(2x+1)(x-1)=0$，
解得$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=1$。
综上，$m$的值为$1$，方程的另一个根为$1$。
把$x=-\dfrac{1}{2}$代入方程$2x^2 - mx - m = 0$，得：
$2×(-\dfrac{1}{2})^2 - m×(-\dfrac{1}{2}) - m = 0$
化简得：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}m - m = 0$
即$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}m = 0$
解得$m=1$。
将$m=1$代入原方程，得$2x^2 - x - 1 = 0$，
因式分解得$(2x+1)(x-1)=0$，
解得$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=1$。
综上，$m$的值为$1$，方程的另一个根为$1$。
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求参数和另一根，可按两步思路解题：第一步，根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将已知根$x=-\dfrac{1}{2}$代入原方程，可得到仅含参数$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值；第二步，将求出的$m$代回原方程，得到完整的一元二次方程，用因式分解法求解即可得到方程的另一个根。
【解析】
解：把$x=-\dfrac{1}{2}$代入方程$2x^2 - mx - m = 0$，得：
$2×(-\dfrac{1}{2})^2 - m×(-\dfrac{1}{2}) - m = 0$
化简得：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}m - m = 0$
即$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}m = 0$
解得$m=1$。
将$m=1$代入原方程，得$2x^2 - x - 1 = 0$，
因式分解得$(2x+1)(x-1)=0$，
解得$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=1$。
【答案】
$m$的值为$1$，方程的另一个根为$1$。
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程；一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，核心考查方程根的定义的运用，解题逻辑清晰，运算难度低，是对一元二次方程基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的一个根，求参数和另一根，可按两步思路解题：第一步，根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将已知根$x=-\dfrac{1}{2}$代入原方程，可得到仅含参数$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值；第二步，将求出的$m$代回原方程，得到完整的一元二次方程，用因式分解法求解即可得到方程的另一个根。
【解析】
解：把$x=-\dfrac{1}{2}$代入方程$2x^2 - mx - m = 0$，得：
$2×(-\dfrac{1}{2})^2 - m×(-\dfrac{1}{2}) - m = 0$
化简得：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}m - m = 0$
即$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}m = 0$
解得$m=1$。
将$m=1$代入原方程，得$2x^2 - x - 1 = 0$，
因式分解得$(2x+1)(x-1)=0$，
解得$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=1$。
【答案】
$m$的值为$1$，方程的另一个根为$1$。
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程；一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，核心考查方程根的定义的运用，解题逻辑清晰，运算难度低，是对一元二次方程基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
